1、 平面向量公式平面向量公式 1 1、向量的加法、向量的加法 向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。 AB+BC=AC。 a+b=(x+x，y+y)。 a+0=0+a=a。 向量加法的运算律： 交换律：a+b=b+a； 结合律：(a+b)+c=a+(b+c)。 2 2、向量的减法、向量的减法 如果 a、b 是互为相反的向量，那么 a=-b，b=-a，a+b=0. 0 的反向量为 0 AB-AC=CB. 即“共同起点，指向被减” a=(x,y) b=(x,y) 则 a-b=(x-x,y-y). 3 3、数乘向量、数乘向量 实数和向量 a 的乘积是一个向量，记作a，且a=a。 当0 时，a 与
2、a 同方向； 当0 时，a 与 a 反方向； 当=0 时，a=0，方向任意。 当 a=0 时，对于任意实数，都有a=0。 注：按定义知，如果a=0，那么=0 或 a=0。 实数叫做向量 a 的系数，乘数向量a 的几何意义就是将表示向量 a 的有向线 段伸长或压缩。 当1 时，表示向量 a 的有向线段在原方向（0）或反方向（0） 上伸长为原来的倍； 当1 时，表示向量 a 的有向线段在原方向（0）或反方向（0） 上缩短为原来的倍。 数与向量的乘法满足下面的运算律 结合律：(a)b=(ab)=(ab)。 向量对于数的分配律（第一分配律）：(+)a=a+a. 数对于向量的分配律（第二分配律）：(a+
3、b)=a+b. 数乘向量的消去律： 如果实数0 且a=b，那么 a=b。 如果 a0 且 a=a，那么=。 4 4、向量的的数量积、向量的的数量积 定义：已知两个非零向量 a,b.作 OA=a,OB=b,则角 AOB 称作向量 a 和向量 b 的夹 角,记作a,b并规定 0a,b 定义：两个向量的数量积（内积、点积）是一个数量,记作 ab.若 a、b 不共线, 则 ab=|a|b|cosa,b；若 a、b 共线,则 ab=+-ab. 向量的数量积的坐标表示：ab=xx+yy. 向量的数量积的运算律 ab=ba（交换律）； (a)b=(ab)(关于数乘法的结合律)； （a+b)c=ac+bc（分
4、配律）； 向量的数量积的性质 aa=|a|的平方. ab =ab=0. |ab|a|b|. 向量的数量积与实数运算的主要不同点 1、向量的数量积不满足结合律,即：(ab)ca(bc)；例如：(ab)2a2 b2. 2、向量的数量积不满足消去律,即：由 ab=ac (a0),推不出 b=c. 3、|ab|a|b| 4、由 |a|=|b| ,推不出 a=b 或 a=-b. 5 5、向量的向量积、向量的向量积 定义：两个向量 a 和 b 的向量积（外积、叉积）是一个向量,记作 ab.若 a、b 不共线,则 ab 的模是：ab=|a|b|sina,b；ab 的方向是：垂直 于 a 和 b,且 a、b
5、和 ab 按这个次序构成右手系.若 a、b 共线,则 ab=0. 向量的向量积性质： ab是以 a 和 b 为边的平行四边形面积. aa=0. ab=ab=0. 向量的向量积运算律 ab=-ba； （a）b=（ab）=a（b）； （a+b）c=ac+bc. 注：向量没有除法,“向量 AB/向量 CD”是没有意义的. 6 6、向量的三角形不等式、向量的三角形不等式 1、a-ba+ba+b； 当且仅当 a、b 反向时,左边取等号； 当且仅当 a、b 同向时,右边取等号. 2、a-ba-ba+b. 当且仅当 a、b 同向时,左边取等号； 当且仅当 a、b 反向时,右边取等号. 7 7、定比分点、定比
6、分点 定比分点公式（向量 P1P=向量 PP2） 设 P1、P2 是直线上的两点,P 是 l 上不同于 P1、P2 的任意一点.则存在一个实数 ,使 向量 P1P=向量 PP2,叫做点 P 分有向线段 P1P2 所成的比. 若 P1（x1,y1),P2(x2,y2),P(x,y),则有 OP=(OP1+OP2)(1+)；（定比分点向量公式） x=(x1+x2)/(1+), y=(y1+y2)/(1+).（定比分点坐标公式） 我们把上面的式子叫做有向线段 P1P2 的定比分点公式 8 8、三点共线定理、三点共线定理 若 OC=OA+OB,且+=1 ,则 A、B、C 三点共线 三角形重心判断式 在
7、ABC 中，若 GA+GB+GC=O,则 G 为ABC 的重心 编辑本段向量共线的重要条件 若 b0，则 a/b 的重要条件是存在唯一实数，使 a=b。 a/b 的重要条件是 xy-xy=0。 零向量 0 平行于任何向量。 编辑本段向量垂直的充要条件 ab 的充要条件是 ab=0。 ab 的充要条件是 xx+yy=0。 零向量 0 垂直于任何向量. 平面向量是在二维平面内既有方向 (direction)又有大小 (magnitude)的量，物理学中也称作矢量，与之相对的是只有 大小、没有方向的数量（标量） 。平面向量用 a,b,c 上面加一 个小箭头表示，也可以用表示向量的有向线段的起点和终点 字母表示。以下是整理出来的平面向量的公式
