1、离散型随机变量的期望说案离散型随机变量的期望说案 高中数学第三册（选修）第一章第 2 节第一课时 福建师大附中数学组：李沪君 一、一、教材分析教材分析 教材的地位和作用教材的地位和作用 期望是概率论和数理统计的重要概念之一，是反映随机变量取值分布的特征数，学习期 望将为今后学习概率统计知识做铺垫。同时，它在市场预测，经济统计，风险与决策等领域 有着广泛的应用，为今后学习数学及相关学科产生深远的影响。 教学重点与难点教学重点与难点 重点：重点：离散型随机变量期望的概念及其实际含义。 难点：难点：离散型随机变量期望的实际应用。 理论依据理论依据 本课是一节概念新授课，而概念本身具有一定的抽象性，学
2、生难以理解，因此把 对离散性随机变量期望的概念的教学作为本节课的教学重点。此外，学生初次应 用概念解决实际问题也较为困难，故把其作为本节课的教学难点。 二、教学目标二、教学目标 知识与技能目标知识与技能目标 通过实例，让学生理解离散型随机变量期望的概念，了解其实际含义。 会计算简单的离散型随机变量的期望，并解决一些实际问题。 过程与方法目标过程与方法目标 经历概念的建构这一过程，让学生进一步体会从特殊到一般的思想，培养学生归纳、概 括等合情推理能力。 通过实际应用，培养学生把实际问题抽象成数学问题的能力和学以致用的数学应用意 识。 情感与态度目标情感与态度目标 通过创设情境激发学生学习数学的情
3、感，培养其严谨治学的态度。在学生分析问题、解 决问题的过程中培养其积极探索的精神，从而实现自我的价值。 三、教法选择三、教法选择 引导发现法 四、学法指导四、学法指导 “授之以鱼，不如授之以渔” ，注重发挥学生的主体性，让学生在学习中学会怎样发现问 题、分析问题、解决问题。 五五、教学的基本流程设计教学的基本流程设计 六、六、教学过程教学过程 教学 环节教学内容设计意图设计意图 创 设 情 境 引 入 新 课 情境一 某商场要将单价分别为 18 kg 元， 24 kg 元， 36 kg 元的 3 种糖果按 3：2：1 的比例混合销售，其中混合糖果中每 一颗糖果的质量都相等，如何对混合糖果定价才
4、合理？ 情境二 若此商场经理打算在国庆节那天在商场外举行促 销活动，如果不遇到雨天可获得经济效益 10 万元，如果 遇到雨天则要损失 4 万元，据 9 月 30 日气象台预报国庆 节那天有雨的概率是 40%， 则此商场平均可获得经济效益 多少元？ 情境一情境一 和和 情境二情境二 中的问题所涉及的是中的问题所涉及的是 生活中常见的一种商生活中常见的一种商 业现象，问题的生活化业现象，问题的生活化 可激发学生的兴趣和可激发学生的兴趣和 求知欲望，同样这样的求知欲望，同样这样的 问题也影响学生的思问题也影响学生的思 维方式，学会用数学的维方式，学会用数学的 视野关注身边的数学视野关注身边的数学。
5、建 构 概 念 学生在未学习期望的概念之前解法可能如下： 情境一解答： 根据混合糖果中 3 种糖果的比例可知在 1kg 的混合糖果 中，3 种糖果的质量分别是 2 1 kg， 3 1 kg 和 6 1 kg，则混合 糖果的合理价格应该是18 2 1 +24 3 1 +36 6 1 =23 （ kg 元） 情境二解答： 商场平均可获经济效益为 100.6-40.4=4.4(万元) 为了将两个式子中的数字与随机变量的取值及其 概率建立关系，归纳出期望的定义。 接着引导学生分析情境一 混合糖果中每颗糖果的质量都相等 在混合糖果中任取一粒糖果，它的单价为 18 kg 元， 24 kg 元或 36 kg
6、 元的概率分别为 2 1 ，3 1 和 6 1 ，若用表示这 颗糖果的价格，则每千克混合糖果的合理价格表示为 18P（=18）+24P（=24）+36P（=36） 分析情境二得 这两个问题的解决将这两个问题的解决将 为归纳出期望的定义为归纳出期望的定义 作铺垫。作铺垫。 情境屋（引入新课） （1 分钟） 实例库 （建构概念、 理解概念） （20 分钟） 快乐套餐（实际应用） （21 分钟） 点金帚（归纳总结） （2.5 分钟） 沉思阁（课后探究） （0.5 分钟） 商场平均可获经济效益为 10P （=10） + （-4） P （=-4） 细心的学生会发现以细心的学生会发现以 上两式从形式上具有
7、上两式从形式上具有 某种相似性，通过比某种相似性，通过比 较，归纳出离散型随机较，归纳出离散型随机 变量期望的定义。变量期望的定义。 归纳是一种重要的推归纳是一种重要的推 理方法，由具体结论归理方法，由具体结论归 纳概括出定义能使学纳概括出定义能使学 生的感性认识升华到生的感性认识升华到 理性认识，培养学生从理性认识，培养学生从 特殊到一般的认知方特殊到一般的认知方 法。法。 比较两式、归纳定义 一般地,若离散型随机变量的概率分布为 1 x 2 x 3 x n x P 1 p 2 p 3 p n p 则称 为的数学期望或均值,数学期望又简称为期望。 用文字语言描述抽象的数学公式 E= 1 x
8、1 p+ 2 x 2 p+ n x n p+ 即：离散型随机变量的数学期望即为随机变量取值与相 应概率分别相乘后相加。 加深公式记忆加深公式记忆 理 解 概 念 练习 1：离散型随机变量的概率分布 1100 P0.010.99 1求可能取值的算术平均数。 2求的期望。 解答如下 、可能取值的算术平均数为 5 .50 2 1001 、E=10.01+1000.99=99.01 弄清数学概念、理解数弄清数学概念、理解数 学概念是学生学好数学概念是学生学好数 学的基础和前提，为了学的基础和前提，为了 加深学生对概念的理加深学生对概念的理 解解， 设置以设置以下下 4 4 道练习道练习。 其中练习其中
9、练习 1 1 是为了让学是为了让学 生进一步理解期望是生进一步理解期望是 反映随机变量在随机反映随机变量在随机 试验中取值的平均值试验中取值的平均值， 它是概率意义下的平它是概率意义下的平 均值，不同于相应数值均值，不同于相应数值 的算术平均数。的算术平均数。 所设置的两个问题将所设置的两个问题将 学生的注意力转而集学生的注意力转而集 中到对解题过程的分中到对解题过程的分 析，求得答案，进而通析，求得答案，进而通 过对比，发现以下两个过对比，发现以下两个 结论结论 、随机变量、随机变量相应数相应数 值的算术平均数并不值的算术平均数并不 能真正体现能真正体现的期望。的期望。 因为因为取值取值 1
10、00100 的概率的概率 nn pxpxpxE 2211 练习 2： 随机抛掷一个骰子， 求所得骰子的点数的期望。 结论： 若)()()( 21n xPxPxP 则 E= 1 x n 1 + 2 x n 1 + n x n 1 = n xxx n . 21 练习 3：篮球运动员在比赛中每次罚球中得 1 分，罚不中 得 0 分。已知某运动员罚球命中的概率为 0.7，那 么他罚球 1 次的得分的均值是多少？ 当学生求得 E=0.7 后， 提出问题：均值为 0.7 分的含义是什么？ （让学生理解所求得的 E=0.7 即为罚球 1 次平均得 0.7 分.我们也说他只能期望得 0.7 分.） 练习 4:
11、甲、乙两名射手一次射击中的得分为两个相互独 立的随机变量与,且，的分布列为 123 P0.30.10.6 两人的技术情况如何两人的技术情况如何? ? 请解释你所得结论的实际含义请解释你所得结论的实际含义? ? 123 P0.30.40.3 比比取值取值 1 1 的概率大得的概率大得 多。多。 、随机变量取值的算、随机变量取值的算 术平均数即为术平均数即为 )100() 1(PP 时的期望。时的期望。 练习练习 2 2 与结论与结论相统相统 一，更进一步说明一，更进一步说明取取 不同数值时的概率都不同数值时的概率都 相等时，随机变量相等时，随机变量的的 期望与相应数值的算期望与相应数值的算 术平
12、均数相等。术平均数相等。 这两道练习都是为了这两道练习都是为了 进一步理解期望的含进一步理解期望的含 义。义。 注意事项注意事项 1、区别与 E 随机变量是可变的，可取不同的值。 而期望 E是不变的，由的分布列唯一确定，所以称 之为概率分布的数学期望，它反映了取值的平均水平。 2、区别随即机变量的期望与相应数值的算术平均数。 期望表示随机变量在随机试验中取值的平均值，它是 概率意义下的平均值，不同于相应数值的算术平均数。 例 1：有一批数量很大的产品，其次品率是 15 。对这 批产品进行抽查，每次抽出 1 件，如果抽出次品，则 抽查终止，否则继续抽查，直到抽到次品，但抽查次但抽查次 数最多不超
13、过数最多不超过 1010 次次。求抽查次数的期望。 教师强调：一般地，在产品抽查中已说明产品数量很大 生活中蕴涵数学知识生活中蕴涵数学知识, , 数学知识又能解决生数学知识又能解决生 活中的问题。两道例题活中的问题。两道例题 与生活密切联系与生活密切联系, ,让学让学 生感受数学在生活及生感受数学在生活及 社会各个领域中的广社会各个领域中的广 泛应用。泛应用。 实 际 应 用 时，各次抽查结果可以认为是相互独立的。 解题中注意：取 110 的整数，前 k-1 次取到正品，而 第 k 次取到次品的概率是 P（= =k）=15. 085. 0 1 k （k=1k=1，2 2，3 3，,9,9） P
14、（= =10）=185. 0 9 解完此例题后归纳求离散型随机变量期望的步骤： 1、确定离散型随机变量的取值。 2、写出分布列，并检查分布列的正确与否。 、求出期望。 例 2：目前由于各种原因，许多人选择租车代步，租车行 业生意十分兴隆，但由于租车者以新手居多，车辆受 损事故频频发生。据统计，一年中一辆车受损的概率 为 0.03。 现保险公司拟开设一年期租车保险,一辆车一 年的保费为 1000 元,若在一年内该车受损,则保险公司 需赔偿 3000 元。 1一年内，一辆车保险公司平均收益多少？ 一辆车一年的保险费为 1000 元，若在一年内该车 受损,则保险公司需赔偿n元，一年中一辆车受损的概
15、率为 0.03，则赔偿金n至少定为多少元，保险公司才 不亏本? 若一辆车一年的保险费为m元，若在一年内该车 受损,则保险公司需赔偿n元，一年中一辆车受损的概 率为p，则m,n，p应满足什么关系，保险公司方可 盈利。 解法一： 每辆车每年保险公司平均获利=保险费-赔偿费 当平均获利0 时保险公司方可盈利。 故0 npm即 p m n 时方可盈利。 解法二： 设表示盈利数，则随机变量的分布列为 mnm P p1 p E=pnmpm)()1 (=0 npm即 p m n 时方可 盈利。 相对问题相对问题 3 3，将具体问，将具体问 题数字化。题数字化。 解法二回归概念本质解法二回归概念本质， 紧扣应
16、用概念解决实紧扣应用概念解决实 际问题。际问题。 归 纳 总 结 你有哪些收获？ 一个概念，两个注意，三个步骤。 让学生知道理解概念是关键，掌握公式是前提，实际应 用是深化。 小结除了注重知识，还小结除了注重知识，还 注重引导学生对解题注重引导学生对解题 思路和方法的总结，可思路和方法的总结，可 切实提高学生分析问切实提高学生分析问 题、解决问题的能力题、解决问题的能力， 并让学生养成良好的并让学生养成良好的 学习数学的方法和习学习数学的方法和习 惯。惯。 作业基础题、课后探究题 七、评价分析七、评价分析 1 1、评价学生学习过程、评价学生学习过程 本节课在情境创设，例题设置中注重与实际生活联
17、系，让学生体会数学的应用价值，在 教学中注意观察学生是否置身于数学学习活动中，是否精神饱满、兴趣浓厚、探究积极，并 愿意与老师、同伴交流自己的想法。 2 2、评价学生的基础知识、基本技能和发现问题、评价学生的基础知识、基本技能和发现问题、解决问题的能力解决问题的能力 教学中通过学生回答问题，学生举例，归纳总结等方面反馈学生对知识的理解、运用， 教师根据反馈信息适时点拨，同时从新课标评价理念出发，鼓励学生发表自己的观点、充分 质疑，并抓住学生在语言、思想等方面的的亮点给予表扬，树立自信心，帮助他们积极向上。 教学设计教学设计“说明说明” 本节的教学有如下特点： （1） 、注重情境创设，联系生活实际，关注身边数学。 （2） 、期望概念的教学是本节课的重点，本节突出概念的建构，通过实例，引导学生分析， 并归纳出定义；通过练习，层层递进，加深学生对概念的理解，帮助学生把握概念的本 质特征，使学生的思维活起来；通过例题分析，让学生体会学习期望的意义。本节课以 现实问题引入，以生活中的实例结束，让学生认识到数学源于生活，又应用于生活，生 活中处处有数学。
