1、 微专题57 放缩法证明数列不等式 一、基础知识： 在前面的章节中，也介绍了有关数列不等式的内容，在有些数列的题目中，要根据不等 式的性质通过放缩，将问题化归为我们熟悉的内容进行求解。本节通过一些例子来介绍利用 放缩法证明不等式的技巧 1、放缩法证明数列不等式的理论依据不等式的性质： （1）传递性：若,ab bc，则ac（此性质为放缩法的基础，即若要证明ac，但无 法直接证明，则可寻找一个中间量b，使得ab，从而将问题转化为只需证明bc即可 ） （2）若,ab cd，则acbd，此性质可推广到多项求和： 若 12 1 ,2 , n afafaf n，则: 12 12 n aaafff n （3
2、）若需要用到乘法，则对应性质为：若0,0abcd，则acbd，此性质也可推 广到多项连乘，但要求涉及的不等式两侧均为正数 注：这两条性质均要注意条件与结论的不等号方向均相同 2、放缩的技巧与方法： （1）常见的数列求和方法和通项公式特点： 等差数列求和公式： 1 2 n n aa Sn ， n aknm（关于n的一次函数或常值函数） 等比数列求和公式： 1 1 1 1 n n aq Sq q ， n n ak q（关于n的指数类函数） 错位相减：通项公式为“等差等比”的形式 裂项相消：通项公式可拆成两个相邻项的差，且原数列的每一项裂项之后正负能够相消， 进而在求和后式子中仅剩有限项 （2）与求
3、和相关的不等式的放缩技巧： 在数列中， “求和看通项” ，所以在放缩的过程中通常从数列的通项公式入手 在放缩时要看好所证不等式中不等号的方向，这将决定对通项公式是放大还是缩小（应与 所证的不等号同方向） 在放缩时，对通项公式的变形要向可求和数列的通项公式靠拢，常见的是向等比数列与可 裂项相消的数列进行靠拢。 若放缩后求和发现放“过”了，即与所证矛盾，通常有两条道路选择：第一个方法是微调： 看能否让数列中的一些项不动，其余项放缩。从而减小放缩的程度，使之符合所证不等式； 第二个方法就是推翻了原有放缩，重新进行设计，选择放缩程度更小的方式再进行尝试。 （3）放缩构造裂项相消数列与等比数列的技巧：
4、裂项相消：在放缩时，所构造的通项公式要具备“依项同构”的特点，即作差的两项可视 为同一数列的相邻两项（或等距离间隔项） 等比数列：所面对的问题通常为“ n S 常数”的形式，所构造的等比数列的公比也要满足 0,1q ，如果题目条件无法体现出放缩的目标，则可从所证不等式的常数入手， ，常数可 视为 1 1 a q 的形式，然后猜想构造出等比数列的首项与公比，进而得出等比数列的通项公式， 再与原通项公式进行比较，看不等号的方向是否符合条件即可。例如常数 1 2 2 = 1 3 1 4 ，即可猜 想该等比数列的首项为 1 2 ，公比为 1 4 ，即通项公式为 1 2 4 n 。 注：此方法会存在风险
5、，所猜出的等比数列未必能达到放缩效果，所以是否选择利用等比数 列进行放缩，受数列通项公式的结构影响 （4）与数列中的项相关的不等式问题： 此类问题往往从递推公式入手，若需要放缩也是考虑对递推公式进行变形 在有些关于项的不等式证明中， 可向求和问题进行划归， 即将递推公式放缩变形成为可 “累 加”或“累乘”的形式，即 1nn aaf n 或 1n n a f n a （累乘时要求不等式两侧均为正 数） ，然后通过“累加”或“累乘”达到一侧为 n a，另一侧为求和的结果，进而完成证明 3、常见的放缩变形： （1） 2 111 11n nnn n ，其中2,nnN：可称 2 1 n 为“进可攻，退可
6、守” ，可依照 所证不等式不等号的方向进行选择。 注：对于 2 1 n ，可联想到平方差公式，从而在分母添加一个常数，即可放缩为符合裂项相消特 征的数列，例如： 22 111111 111211nnnnnn ，这种放缩的尺度要小于 （1）中的式子。此外还可以构造放缩程度更小的，如： 22 2 1141111 1 41 21 212 2121 4 nnnnnn n （2） 12 nnn ，从而有： 212 2121 11 nnnn nnnnn 注：对于 1 n 还可放缩为： 1 2,2,nnnnN n （3）分子分母同加常数：0,0 ,0,0 bbmbbm bamabm aamaam 此结论容易
7、记混，通常在解题时，这种方法作为一种思考的方向，到了具体问题时不妨先构 造出形式再验证不等关系。 （4） 1 2 1 2222 21 2121 2221 21 21 nnnn nnnnnn n 1 11 2, 2121 nn nnN 可推广为： 1 2 1 11111 1 nnnn nnnnnn n kkkk kkkkkkk k 1 11 2,2, , 11 nn nkk nN kk 二、典型例题： 例 1：已知数列 n a的前n项和为 n S，若 1 4211 nn Sna ，且 1 1a （1）求证：数列 n a是等差数列，并求出 n a的通项公式 （2）设 1 n nn b aS ，数列
8、 n b的前n项和为 n T，求证： 3 2 n T 解： （1） 1 4211 nn Sna 1 42312 nn Snan 1 42123 nnn anana 2n 即 1 1 21 2121 21 n nn n an nana an 13 122 21235 , 23253 nn nn anana anana 13 122 21 235 23 253 nn nn aaann aaann 即 2 21 2 3 n an n a 2 21 3 n n aa ，由 1 4211 nn Sna 令1n 可得： 122 413Saa 212 n ann ，验证 1 1a 符合上式 21 n an
9、2 n Sn （2） 由（1）得： 2 11 21 21 n b nn nn 1 1b 可知当2n 时， 111111 21222121 n b nnnnn nnn 121 111111 1 22231 nn Tbbbb nn 113 11 22n 不等式得证 例 2： 设数列 n a满足： 11 1,3, nn aaa nN ， 设 n S为数列 n b的前n项和， 已知 1 0b ， 11 2, nn bbSS nN （1）求数列 , nn ab的通项公式 （2）求证：对任意的nN 且2n ，有 2233 1113 2 nn ababab 解： （1） 1 3 nn aa n a为公比是3
10、的等比数列 11 1 33 nn n aa 在 n b中，令1n ， 11111 21bbSSb 21 nn bS 11 21 nn bS 11 2222 nnnnn bbb nbb n b是公比为2的等比数列 11 1 22 nn n bb （2）证明： 112 111 323 nnn nn ab 2233 111 nn ababab 1 1 2 1 11 3 11313 11 1 33232 1 3 n n n 例 3：已知正项数列 n a的前n项和为 n S，且 1 2, nn n aS nN a （1）求证：数列 2 n S是等差数列 （2 2）记数列）记数列 3 12 111 2,
11、nnn n bS T bbb ，证明：，证明： 131 1 21 n T nn 解： （1） 1 1 11 222 nnnnn nnn aSSSSn aSS 1 1 1 nn nn SS SS 22 1 1 nn SS 2 n S为等差数列 （2）思路：先利用（1）可求出 n S的公式进而求出2 n bn n，则 11 2 n bn n ，考虑进行放 缩求和，结合不等号的方向向裂项相消的形式进行放缩。 解：令1n 代入 1 2 nn n aS a 可得： 111 1 1 21aaa a 即 1 1S 由 2 n S为等差数列可得： 22 1 1 n SSnn n Sn 2 n bn n 11
12、2 n bn n 考虑先证 31 2 n T n 1111111 2 2111 n nnnn n bnnnnn n nnnn 2n 时 1 1111111131 11 222231 n T bnnnn 1n 时， 1 13 1 22 T 31 2 n T n 再证 1 1 1 n T n 1111111 2111 n nnnn bnnnnn n nnnn 111111 11 22311 n T nnn 综上所述： 131 1 21 n T nn 小炼有话说：本题在证明中用到一个常见的根式放缩： 111 11 121 nnnn nnnnn 例 4：已知数列 n a满足 2 11 1 2,2 1,
13、 nn aaa nN n （1）求证：数列 2 n a n 是等比数列，并求出数列 n a的通项公式 （2 2）设）设 n n n c a ，求证：，求证： 12 17 24 n ccc 解： （1） 2 2 1 2 11 2 12 nnn n aaa nn 1 22 2 1 nn aa n n 2 n a n 是公比为2的等比数列 1 1 22 22 1 nn n aa n 2 2n n an （2）思路： 1 2 n n n n c an ，无法直接求和，所以考虑放缩成为可求和的通项公式（不等号： ） ，若要放缩为裂项相消的形式，那么需要构造出“顺序同构”的特点。观察分母中有n， 故分子分
14、母通乘以1n，再进行放缩调整为裂项相消形式。 解： 11 21 2 n nn n nn c ann n 而 1 21111 1 221 21 2 nnnn nnn nnn nn n 所以 1 1111 2 1 21 21 22 n nnnn nn cn n nn nnn 12123 34451 111111 3 24 24 25 21 22 n nn cccccc nn 1111117117 282424224224 nn nn 3n 0 n c 112123 1617 2424 cccccc 小炼有话说： （1）本题先确定放缩的类型，向裂项相消放缩，从而按“依序同构”的目标进 行构造，在构造
15、的过程中注意不等号的方向要与所证一致。 （2）在求和过程中需要若干项不动，其余进行放缩，从而对求和的项数会有所要求（比如本 题中3n才会有放缩的情况） ，对于较少项数要进行验证。 例：已知数列 n a的前n项和31 , nn Snan nnN，且 3 17a （1）求 1 a （2）求数列 n a的前n项和 n S （3）设数列 n b的前n项和 n T，且满足 n n n b S ，求证： 2 32 3 n Tn 解： （1）在31 , nn Snan nnN中，令2,3nn可得： 12221 123312 266 31816 aaaaa aaaaaa 12 5,11aa （2）31 nn
16、Snan n 11 1312 nn Snann 可得： 11 1611161 nnnnn ananannanan 2n 1 6 nn aa n a是公差为 6 的等差数列 1 6161 n aann 2 31613132 nn Snan nnnn nnn （3）由（2）可得： 2 1 3232 n n b nnn 1223 3231 2322 323231 n bnn nnnn 12 2 52853231 3 nn Tbbbnn 22 32232 33 nn 例 6：已知数列 n a满足 1 1 1 1 ,2, 4 12 n nn n a aannN a （1）试判断数列 1 1 n n a
17、是否为等比数列，并说明理由 （2）设 21 sin 2 nn n ba ，数列 n b的前n项和为 n T，求证：对任意的 4 , 7 n nN T 解： （1） 1 1 11 1 1212 1 12 n n n n nn nnn n aa a aaa a 1 11 1212 121121 nnnn nnnn aaaa 1 1 n n a 为公比是2的等比数列 （2） 思路： 首先由 （1） 可求出 n a的通项公式 1 1 321 nnn a ， 对于 21 sin 2 n 可发现n为奇数时， 21 sin1 2 n ，n为偶数时， 21 sin1 2 n ，结合 n a通项公 式可将其写成
18、 1 21 sin1 2 n n ，从而求出 1 1 3 21 n n c ，无法直接求和，所以考虑 对通项公式进行放缩，可联想到等比数列，进而 11 11 3 213 2 n nn c ，求和后与所证不 等式右端常数比较后再进行调整（需前两项不动）即可。 解： 1 1 1 13 a ，由（1）可得： 111 1 11 11232 nnn n aa 1 1 321 nnn a 而 1 21 sin1 2 n n 1 11 2111 sin 23 21 321 n nnnn n n ba 11 11 3 213 2 n nn b 当3n 时， 1212 231 111 3 23 23 2 nn
19、n Tbbbbb 2 11 1 122 11111474 1 47476847 1 2 n 因为 n b为正项数列 123n TTTT 4 , 7 n nN T 例 7：已知数列 n a满足： 1 3 2 a ，且 1 1 3 2, 21 n n n na annN an （1）求数列 n a的通项公式 （2 2）证明：对于一切正整数）证明：对于一切正整数n，均有，均有 12 2! n a aan 解： （1） 1 1 3 21 n n n na a an 11 111 2121121 3333 nn nnnnnn anannnn anaaaaa 设 n n n b a 即 1 21 33 n
20、n bb 1 1 11 3 nn bb 1 n b为公比是 1 3 的等比数列 1 1 1 11 3 n n bb 而 1 1 12 3 b a 1 1 3 n n b 3 31 n n n n nn a b （2）思路：所证不等式可化简为： 12 12 333 2 31 3131 n n ，由于是连乘形式，所以考虑 放缩为分子分母可相消的特点，观察分母的形式为31 n ，所以结合不等号方向，将分子向 该形式转化： 1 33231 31333 31 nnn nn n 2n，再根据右边的值对左边放缩的程度进行 调整即可。 证明：所证不等式为： 12 12 333 !2! 31 3131 n n
21、nn 等价于证明： 12 12 333 2 31 3131 n n 设 3 31 n n n c 1 33231 2 31333 31 nnn n nn n cn 34 1212 231 313131 3 313 313 31 n n n c ccc c 22 3 9 313 93243 23 2 8 8 32 8 8 3128 nn nn n 112 33 927 2,2 22 816 cc c 即不等式得证 小炼有话说： （1）对于一侧是连乘形式的表达式，在放缩时可考虑通过分子分母相消达到化 简式子的目的。与裂项相消相似按照“依序同构”的原则构造。 （2）本题中用到了分式放缩的常用方法：通
22、过分子分母加上相同的数达到放缩目的，但要注 意不等号的方向（建议验证） ，常用的放缩公式为：0,0 bbc abc aac （分子小与 分母） ，0,0 aac abc bbc （分子大于分母） 例 8：已知函数 2ln ,10 b f xaxx f x （1）若函数 f x在1x 处切线斜率为0， 2 1 1 1 1 n n afn an ，已知 1 4a ， 求证：22 n an （2）在（1）的条件下，求证： 12 1112 1115 n aaa 解： （1） 2 2b fxa xx 10 01 20110 f aba abbf 2 2 1 11211 nnn aanann 整理后可得：
23、 2 2 1 1 nn aann 2 1 21 nnn aana 下面用数学归纳法证明：22 n an 当1n 时， 1 422an成立 假设nk kN 成立，则1nk时 1 21 kkk aaak 22 k ak 1 222 145212 k akkk 1nk 时，不等式成立 ,22 n nNan （2） 2 1 2121 nnnnn aanaaan 由（1）可知22 n an 1 21 nn aa 1 1 111 121 121 nn nn aa aa 21 121 1111111 1212121 n nnn aaaa 121 111111 1 111122 n n aaaa 1 1 1
24、2 1212 1 1 1525 1 2 n n a 例 9： 已知数列 n a的各项均为正值， 对nN ， 2 12 141 ,log1 nnnnn aaaba ， 且 1 1a （1）求数列, nn a b的通项公式 （2 2）当）当7k 且且kN 时，证明对时，证明对nN ，都有，都有 121 11113 2 nnnnk bbbb 成立成立 解： （1） 2 1 141 nnn aaa 2 222 11 44121 nnnnn aaaaa 由0 n a 可得： 1 21 nn aa 1 121 nn aa 1 n a为公比是2的等比数列 1 1 11 22 nn n aa 21 n n a
25、 n bn （2）思路：所证不等式为： 11113 1212nnnnk 左边含有两个变量，考虑通过 消元简化所证不等式。设 111 11 k T nnnk ，则只需证明：min 3 2 k T，易知 k T为 递增数列。所以只需证明8k ，即 1113 1812nnn ，左边共7n项，结合 3 2 的特 点可考虑将7n项分为 3 组： 111111 1212222 nn n nnnnnn 个个 22 111111 22141442 nn nnnnn 个个 44 111111 44181882 nn nnnnn 个个 ，再求和即证不等式 解：所证不等式 121 11113 2 nnnnk bbb
26、b 由（1）可得： 11113 1212nnnnk 只需证： min 11113 1212nnnnk 设 111 11 k T nnnk 1 111111 1(1) 111 kk TT nnn knnnk 111 0 11nknknkn k T为递增数列 8k 8 min 111 181 k TT nnn 只需证 1113 1812nnn 111111111 18121241481nnnnnnnnn 而 111111 1212222 nn n nnnnnn 个个 22 111111 22141442 nn nnnnn 个个 44 111111 44181882 nn nnnnn 个个 1111
27、113 1812222nnn 例 10： 数列 n a是公差不为零的等差数列， 5 6a ， 数列 n b满足： 111 2 3,1 nn bbbbb （1）当2n 时，求证： 1 1 1 n n n b b b （2）当 3 1a 且 3 aN 时， 12 35 , n kkk a a aaa为等比数列 求 3 a 当 3 a取最小值时，求证： 12 123 1111111 4 111 n nkkk bbbbaaa 解： （1）由 11 2 1 nn bbbb 可得： 11 2 1 nn bbbb 1 21 12, nn bbbbnnN 两式相除可得： 1 1 1 n n n b b b （
28、 2 ） 思 路 ： 本 题 的 突 破 口 在 于 n k a既 在 等 差 数 列 n a中 ， 又 在 等 比 数 列 12 35 , n kkk a a aaa中，从而在两个不同风格的数列中 n k a均能够用 3 a进行表示，然后便 得到 n k与 3 a的关系式，抓住 3 , n k aN 的特点即可求出 3 a的值 n a为等差数列 533 6 22 aaa d 3 33 6 33 2 n knn a aakdak 另一方面， 12 35 , n kkk a a aaa为等比数列 5 33 6a q aa 1 1 33 3 6 n n n k aaqa a 1 3 33 3 66
29、 3 2 n n a aak a 111 33 333 3 3 3 666 1211 3332 66 6 1 2 nnn n aa aaa k a a a 1 3 3 6 1 6 1 n a a 可视为以1为首项， 3 6 a 为公比的等比数列前1n 项和 3333 6666 32 152 nn n k aaaa n kN 33 66 ,2 n nNN aa 3 aN 3 a能够被 6 整除 3 1a 且 35 6aa 3 2a或 3 3a 经检验： 3 2a 或 3 3a 均符合题意 思路：所证不等式两侧均为数列求和的形式，所以先观察两侧是否有能直接求和的式子， 从而化简一侧的表达式，由（1
30、）和（2）可知， 1 1 1 n n n b b b ， 1 2 3 n n k a ，所以对于右 侧， 1 11 12 31 n n k a 显然无法直接找到求和方法。而对于 1 n b ，虽然没有通项公式，但可 对 1 1 1 n n n b b b 向可求和的方式进行变形，得到 1 111 2 11 nnn n bbb ，从而可想到利 用裂项相消的方式进行求和，得到 12312 111121 3 nn bbbbbbb 。对于右侧 12 111 111 n kkk aaa 只能考虑进行放缩，针对 1 11 12 31 n n k a 的特点可向等比 数 列 靠 拢 ， 结 合 不 等 号
31、方 向 可 得 ： 11 111 12 313 n nn k a 。 所 以 12 11111 1 11163 n n kkk aaa 。 于 是 所 证 的 不 等 式 就 变 为 只 需 证 明 1 1 2 2122 333n n bbb ，即证明 1 1 2 12 3n n bbb ，考虑对 1 2 1 n bbb 进行放缩，抓住 1 3b 这个特点，由已知可得 n b为递增数列，则3 n b ，但右侧为 1 221 33 3 nn ，无法直接放缩 证明，所以要对 1 2 1 n bbb 的放缩进行调整，计算出 123 ,b b b可得 4 123 12 3bb b ，进而 431 12
32、1234 111212 333 nn nn bbbbb bbb ，但此时只能证明4n 时，不等式成立。对于 1,2,3n 有限的项，逐次验证即可。 由（1）可得： 1 1 1 n n n b b b 1 1 11 11 11 nnn nnn b bb b bb 1 111 11 nnn bbb 1 111 11 nnn bbb 2n 123 1111 n bbbb 123341 1111111 111111 nn bbbbbbb 121 111 11 n bbb 111 2 3,1 nn bbbbb 11 2 1 nn bbbb 123111 21 2 111111121 3 nnn bbbb
33、bbbbbbbb 当 3 2a 时， 1 2 3 n n k a 11 111 12 313 n nn k a 12 231 11 1 93 111111 1 111333 1 3 n n n kkk aaa 11 1 63 n 12 1 111112122 4411 111633333 n nnn kkk aaa 只需证明： 1 1 2 2122 3 333n n n bbb 即可 即证明： 1 1 2 12 3n n bbb 由 111 2 3,1 nn bbbbb 可知 n b为递增数列 1 32 n bbn 由 111 2 3,1 nn bbbbb 可得： 2131 2 14,113b
34、bbbb 4 1 2 3 381 3 4 13156 22 bb b 4 1 2 3 12 3bb b 3n 时，3 n b 11 3 n b 3n 时， 431 1 21 2 34 111212 333 nn nn bbbbb bbb 当3n 时，可知 4 1 23 12 3bb b 成立 1 1 2 12 3n n bbb 得证 3n 时， 1 1 2 2122 3 333n n n bbb 12 123 1111111 4 111 n nkkk bbbbaaa 成立 当1n 时， 1 1 1114 ,4 3117 k ba 1 14 17b 当2n 时， 12 117 12bb ， 12 1111 44 111753 kk aa 12 12 1111 4 11 kk bbaa 综上所述： 12 123 1111111 4 111 n nkkk bbbbaaa 恒成立
