1、一、连续函数的算数运算一、连续函数的算数运算 第十节三、初等函数的连续性三、初等函数的连续性 机动 目录 上页 下页 返回 结束 连续函数的运算与性质 第一章 四、闭区间上连续函数的性质四、闭区间上连续函数的性质*五、一致连续性五、一致连续性 二、反函数与复合二、反函数与复合函数函数的连续性的连续性 定理定理2.连续单调递增连续单调递增 函数的反函数函数的反函数xx cot,tan在其定义域内连续一、连续函数的算术运算一、连续函数的算术运算定理定理1.在某点连续的在某点连续的有限个有限个函数经函数经有限次有限次和和,差差,积积,(利用极限的四则运算法则证明利用极限的四则运算法则证明)连续xx
2、cos,sin商商(分母不为分母不为 0)运算运算,结果仍是一个在该点连续的函数结果仍是一个在该点连续的函数.例如例如,例如例如,xysin在,22上连续单调递增，其反函数xyarcsin(递减).(证明略)在 1,1 上也连续单调递增.递增递增(递减)也连续单调也连续单调机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、反函数与复合函数的连续性二、反函数与复合函数的连续性定理定理3.连续函数的复合函数是连续的连续函数的复合函数是连续的.xey 在),(上连续 单调 递增,其反函数xyln在),0(上也连续单调递增.证证:设函数)(xu,0连续在点 x.)(00ux,)(0连续在点函数uxfy.)()(
3、lim00ufufuu于是)(lim0 xfxx)(lim0ufuu)(0uf)(0 xf故复合函数)(xf.0连续在点 x又如又如,且即机动 目录 上页 下页 返回 结束 例如例如,xy1sin是由连续函数链),(,sinuuy,1xu),0()0,(x因此xy1sin在),0()0,(上连续.复合而成,xyoxy1sin机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理定理4.4.若若函数函数,)(lim0axxxa)(uf则有则有)(lim0 xfxx)(limufau)(af)(limxfax在点在点处连续，处连续，机动 目录 上页 下页 返回 结束 xxx)1ln(lim0求例例1解解xxx)
4、1ln(lim0 xxx10)1ln(lim)1(limln10 xxxeln1例例2)1cos(limxxx求解解)1cos(limxxxxxxxxxx1)1)(1(coslimxxx11coslimxxx11limcos0cos1(P71例1)(P71例2)xxxsin30)21(lim求例例3解解:xxsin3)21(因为6sin21)21(xxxxxxxsin30)21(lim所以6sin21)21(lim0 xxxxx6sin210)21(limxxxxx6e(P71例3)法一法一.)21(limsin30 xxx法二法二原式ex0lim)21ln(sin3xxex0limx36e说
5、明说明:若,0)(lim0 xuxx则有)()(1lim0 xvxxxu,)(lim0 xvxxe)(1ln)(lim0 xuxvxxe)()(lim0 xuxvxx机动 目录 上页 下页 返回 结束 x2三、初等函数的连续性三、初等函数的连续性1.基本初等函数在定义域内连续基本初等函数在定义域内连续2.连续函数经四则运算仍连续连续函数经四则运算仍连续3.连续函数的复合函数连续连续函数的复合函数连续一切初等函数在一切初等函数在定义区间内定义区间内连续连续(举例见举例见P72)例如例如,21xy的连续区间为1,1(端点为单侧连续)xysinln的连续区间为Znnn,)12(,2(1cosxy的定
6、义域为Znnx,2因此它无连续点而机动 目录 上页 下页 返回 结束 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例4210sin 2coslim.1xxxx ex求21sin2cos1:1.xfxx exDx xRx 解 显然，初等函数的定义域为且21210sin2cossin2coslim.011xxxxx exx eexxx0 x 因此，它在点处连续，从而有)()(lim00 xfxfxx有的极限在定义区间内某点求初等函数一般地,)(,0 xxf机动 目录 上页 下页 返回 结束 4.幂指函数幂指函数)0)()()()(xuxuxfxv函数.称为幂指函数)()(ln)()(xvxuxvexu因为
7、)(ln)(xuxve,)(lim,0)(lim00bxvaxuxxxx若则有)(lim)(000)(lim)(limxvxxxvxxxxxuxuba110)2(limxxxex求例例5解解:1221(P72例5)110)2(limxxxex11lim00)2(limxxxxex例622lim1xxxx求22lim1xxxx解21lim 11xxx221121lim 11xxxxx221121lim11xxxxx22lim1121lim 11xxxxxx01.e注意注意:若函数在若函数在开区间开区间上连续上连续,结论不一定成立结论不一定成立.四四、闭区间上连续函数的性质、闭区间上连续函数的性质
8、定理定理5.5.（最值定理）（最值定理）在在闭区间闭区间上连续的函数在该区间上连续的函数在该区间即即:设设,)(baCxfxoyab)(xfy 12则则,21ba使使)(min)(1xffbxa)(max)(2xffbxa上一定有最大值和最小值上一定有最大值和最小值.或在闭区间内或在闭区间内有间断有间断(证明略)点点,机动 目录 上页 下页 返回 结束 (P73定理7)例如例如,)1,0(,xxy无最大值和最小值 xoy1121,31,110,1)(xxxxxxfxoy1122也无最大值和最小值 又如又如,机动 目录 上页 下页 返回 结束,)(baxf在因此bxoya)(xfy 12mM定理
9、定理6.由定理 5 可知有,)(max,xfMbax)(min,xfmbax,bax故证证:设,)(baCxf,)(Mxfm有上有界.定理定理7.(零点定理),)(baCxf至少有一点,),(ba且使xyoab)(xfy.0)(f0)()(bfaf机动 目录 上页 下页 返回 结束(证明略)在闭区间上连续的函数在该区间上有界.(P73定理8)(P73定理9)的为函数则称如果)(,0)(00 xfxxf零点.定理定理8.(介值定理)设,)(baCxf且,)(Aaf,)(BABbf则对 A 与 B 之间的任一数 C,一点,),(ba证证:作辅助函数Cxfx)()(则,)(baCx 且)()(ba
10、)(CBCA0故由零点定理知,至少有一点,),(ba使,0)(即.)(Cf推论推论:Abxoya)(xfy BC使.)(Cf至少有在闭区间上的连续函数必取得介于最小值与最大值之间的任何值.机动 目录 上页 下页 返回 结束(P73定理10)例例7.证明方程01423 xx一个根.证证:显然,1,014)(23Cxxxf又,01)0(f02)1(f故据零点定理,至少存在一点,)1,0(使,0)(f即01423在区间)1,0(内至少有小结 目录 上页 下页 返回 结束(P74 例6)例例8.,)(baCxf且,)(aaf,)(bbf证明:,),(ba证证:,)()(xxfxF,)(baCxF则且故
11、由零点定理知,至少有一点,),(ba使,0)()(fF即.)(f使.)(f存在(P74例7),0)()(aafaF,0)()(bbfbF设 作辅助函数内容小结内容小结基本初等函数在定义域内在定义域内连续连续函数的四则运算四则运算的结果连续连续函数的反函数反函数连续连续函数的复合函数复合函数连续1.初等函数在定义区间内连续说明说明:分段函数在界点处是否连续需讨论其 左、右连续性.机动 目录 上页 下页 返回 结束 初等函数在定义区间内连续2.闭区间上连续函数的性质则设,)(baCxf在)().1xf上达到最大值与最小值;上可取最大与最小值之间的任何值;4).当0)()(bfaf时,),(ba使.
12、0)(f必存在,ba上有界;在)().2xf,ba在)().3xf,ba机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习思考与练习,)(.10连续在点若xxf是否连在问02)(,)(xxfxf续?反例,1,1)(xf x 为有理数 x 为无理数)(xf处处间断,)(,)(2xfxf处处连续.反之是否成立?提示提示:“反之”不成立.第十节 目录 上页 下页 返回 结束 则,2,0)(aCxf,)2()0(aff证明至少存在,0a使.)()(aff提示提示:令)()()(xfaxfx则,0)(aCx 易证0)()0(a2.设一点习题课 目录 上页 下页 返回 结束 作业作业P75 1,2(3),(5),(6);3;8 (P76题9),4,0)(上连续在闭区间xf备用题备用题 13xex至少有一个不超过 4 的 证证：证明令1)(3xexxf且)0(f13e)4(f1434e003e根据零点定理,)4,0(,0)(f使原命题得证.)4,0(内至少存在一点在开区间显然正根.机动 目录 上页 下页 返回 结束
