1、 2020 届百校联考高考百日冲刺金卷届百校联考高考百日冲刺金卷 全国全国卷卷理数理数(二二) 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的题目要求的. 1.已知集合 |6Ax x且 * xN， 则A的非空真子集的个数为（ ） A、30 B、31 C、62 D、63 2.已知复数z满足：(1)1 3zii ，则|z （ ） A、2 B、4 C、 5 D、5 3.已知 31 sin 23 ， 则cos（ ） A. 1 3 B. 1 3 C. 2 2 3 D. 2
2、2 3 4.李冶，真定栾城(今河北省石家庄市栾城区)人.金元时期的数学家.与杨辉、秦九韶、朱世杰并称为“宋元数 学四大家”.在数学上的主要贡献是天元术(设未知数并列方程的方法)，用以研究直角三角形内切圆和旁切圆 的性质.李冶 所著测圆海镜中有一道题：甲乙同立于乾隅，乙向东行不知步数而立，甲向南直行，多 于乙步，望见乙复就东北斜行，与乙相会，二人共行一千六百步，又云南行不及斜行八十步，问通弦几何. 翻译过来是：甲乙两人同在直角顶点C处，乙向东行走到处，甲向南行走到A处，甲看到乙，便从A走 到处，甲乙二人共行走 1600 步，AB比AC长 80 步，若按如图所示的程序框图执行求AB，则判断框 中应
3、填入的条件为（ ） A、 222 ?xzy B、 222 ?xyz C、 222 ?yzx D、 ?xy 5.已知袋中有 3 个红球，n个白球，有放回的摸球 2 次，恰 1 红 1 白的概率是 12 25 ，则n （ ） A、1 B、2 C、6 D、7 6.已知双曲线 22 :1 45 xy C，圆 22 1:( 3)16Fxy.Q是双曲线C右支上的一个动点，以Q为圆心作 圆Q与圆 1 F相外切，则以下命题正确的是（ ） A、 Q过双曲线C的右焦点 B、 Q过双曲线C的右顶点 C、 Q过双曲线C的左焦点 D、 Q过双曲线C的左顶点 7.在ABC中，5AB，3AC ，4BC ，ABC内有一点O，
4、 满足：COCBCA， 且0， 0， 432，则CO的最小值为（ ） A、1 B、2 C、 2 D、 2 2 8.已知函数sin()(0,(0,2 )yx 的一条对称轴为 6 x ，且( )f x在 4 , 3 上单调，则 的最大值为（ ） A、 5 2 B、3 C、 7 2 D、 8 3 9.已知椭圆 22 22 :1(0) xy Eab ab 的上顶点为B， 右焦点为F， 延长BF交椭圆E于点C. (1)BFFC，则椭圆E的离心率e（ ） A、 1 1 B、 1 1 C、 、 2 2 1 1 D、 2 2 1 1 10.已知 01 (1 2 )n n n xaa xa x， 其中 01 2
5、43 n aaa， 则 012 1231 n aaaa n （ ） A.182 B. 182 3 C. 91 3 D. 182 9 11.某几何体三视图如图所示，则该几何体中，最长的棱的长度为（ ） A、 6 B、 2 2 C、3 D、2 3 12.已知函数 ln ( ) ax f x x ，( )e1(e x g x 为自然对数的底数). (0,)x ,使得( )( )f xg x成立， 则 实数a的最小值为（ ） A、1 B、 e C、2 D、 ln2 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分分. 13. 已知 2 ( )lg()f xxxax是偶函数
6、， 则(21)( )fxf x 的解集为 . 14.已知x，y满足线性约束条件 2 0 2 2 0 xy x kxy ，目标函数2zxy 的最大值为 2，则实数k的取值范 围是 . 15.已知点(0,0)O，(4,0)A，M是圆 22 :(2)1Cxy上一点，则 | | OM AM 的最小值为 16.公路北侧有一幢楼，高为 60 米，公路与楼脚底面在同一平面上.一人在公路上向东行走，在点A处测得 楼顶的仰角为 45 ， 行走 80 米到点B处， 测得仰角为 30 ， 再行走 80 米到点C处， 测得仰角为.则 tan . 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤三、解答题：解答应写出
7、文字说明，证明过程或演算步骤. 17.已知数列 n a满足 1 1 3 a ， 2 4 15 a ，且数列 41 n n a a 是等差数列. ()求数列 n a的通项公式； ()求数列 n a的前n项和 n S. 18.如图， 在四棱锥PABCD中，2PAAD，1ABBCCD，/BCAD，90PAD ,PBA 为锐角，平面PAB 平面PBD. () 证明：PA 平面ABCD； () 求平面PCD与平面PAB所成锐二面角的余弦值. 19.直线l过点(4,0)， 且交抛物线 2 2(0)ypx p于,A B两点，90AOB . ()求p； ()过点( 1,0)的直线交抛物线于,M N两点，抛物线
8、上是否存在定点Q，使直线,MQ NQ斜率之和为定 值，若存在，求出Q点坐标，若不存在，说明理由. 20.某养鸡厂在荒山上散养天然土鸡，城里有 7 个饭店且每个饭店一年有 300 天需要这种土鸡，A饭店每天 需要的数量是 1418 之间的一个随机数，去年A饭店这 300 天里每天需要这种土鸡的数量x (单位：只)的 统计情况如下表： x 14 15 16 17 18 频数 45 60 75 60 60 这 300 天内(假设这 7 个饭店对这种土鸡的需求量一样)，养鸡厂每天出栏土鸡7 (1418)aa剟只，送到城里 的这 7 个饭店，每个饭店a只，每只土鸡的的成本是 40 元，以每只 70 元的
9、价格出售，超出饭店需求量的 部分以每只56a元的价钱处理. ()若16a ，求养鸡厂当天在A饭店得到的利润y (单位：元) 关于需求量x (单位：只，xN) 的函 数解析式； ()以表中记录的各需求量的频率作为各需求量发生时的概率， 若养鸡厂计划一天出栏 112 只或 119 只土鸡， 为了获取最大利润，你认为养鸡厂一天应该出栏 112 只还是 119 只? 21.已知函数 2 2 ,0 ( ) 4e 2 ,0 x x f x x x ，( )ln()g xxa. ()若( )f x，( )g x有公共点M，且在点M处有相同的切线，求点M的坐标； ()判定函数( )( )( )h xf xg
10、x在0,)上的零点个数. 22.【选修 4 一 4：坐标系与参数方程】 在平面直角坐标系xOy中， 直线l的参数方程为 2cos ( 1sin xt t yt 为参数) ， 以坐标原点为极点， x轴 的正半轴为极轴建立极坐标系，椭圆C的极坐标方程为 2 22 48 3cos4sin ()当 3 时，把直线l的参数方程化为普通方程，把椭圆C的极坐标方程化为直角坐标方程； ()直线l交椭圆C于A，B两点，且A，B中点为 0(2,1) M，求直线l的斜率. 23.【选修 4 一 5：不等式选讲】 已知函数( ) |2|f xxax. ()若( ) 3f x 恒成立，求实数a的取值范围； () ( )
11、f xx的解集为2,m，求a和m. 2020 届百校联考高考百日冲刺金卷届百校联考高考百日冲刺金卷 全国全国卷卷理数理数(答案解析答案解析) (二二) 1.A 【解析】1,2,3,4,5A，故子集个数为 5 232，非空真子集个数为 30. 2.C 【解析】 1 3(1 3 )(1) 2 12 iii zi i ，故|5z . 3.B 【解析】 3331 sinsincoscossincos 2223 ， 故 1 cos 3 4.A 【解析】由题知，,ACx ABy BCz， 由勾股定理可知 222 xzy，故选 A. 5.B【解析】恰 1 红 1 白的概率为： 1 2 312 C2 3325
12、 n n nn 6.A 【解析】Q与 1 F相外切， 可得： 1 4 QQ RFQR， 而 12 24FQFQa， 故 2Q FQR， 故Q过右焦点 2 F. 7.C 【解析】 设 1 2 CMCB， 2 3 CNCA， 1323 22 2232 COCBCACBCACMCN， 由 3 43221 2 ，故,O M N共线， 等腰直角CMN中， CO的最小值为点C到MN的 距离，则CO的最小值为2. 8.D 【解析】函数sin()yx的对称轴可表示为：() 6 k xk Z， ( )f x在 4 , 3 上单调可得 0 kZ，使得 0 0 6 14 63 k k , 解得 00 62 1 73
13、 kk剟 又. 0 0,0,1,2,3k， 当 0 k 3 时，可取最大值为 8 3 9.A 【解析】设 00 ,C x y， 则由 0 0 0 0 (1)c x cxc BFFC bby y 代入椭圆E的方程， 整理得： 2 2 22 (1)1 1e 2 2 2 11 (1)1 e ， 1 1 e . 10.B 【解析】令1x .得；32435 n n. 由于 626 55 51 0150 1 (1 2 ) (1 2 ) 2626 a xa xx xaa xa xa x ， 即 626 51 0 (12 ) 1226 a xa xx a x ， 626 51 0 (1 2 ) 1226 a
14、xa xx a xC 令0x，解得 1 12 C ， 令x 1，得 0512 182 12363 aaaa 11.C 【 解 析 】 该 几 何 体 嵌 入 棱 长 为2的 正 方 体 ， 即 四 面 体ABCD， 计 算 得 ： 5,2 2,3,6,5ABACADBDCD，故最长的棱为3AD. 12.A 【解析】 ln e1 x ax x ， 化为：( 0 ,)x ，eln( ) x a xxxx ， 11 ( )(1)e1(1) e xx xxx xx . 令 1 ( )exh x x ，则 2 1 ( )e0 x h x x . 故( )h x为增函数. 1 0 2 h ，(1)h， 故
15、( )0h x 有唯一解，设为 0 x.且 0 0 1 ex x ， 00 lnxx . 在 0 0,x上，( )0( )0h xx； 在 0, x 上，( )0( )0h xx. 故 0 0000000 0 1 ( )eln1 x xxxxxxxx x ， 故a的最小值为 1. 13. 1 ,1 3 【解析】( )f x是偶函数，故 2 ( )lg()g xxax为奇函数，(0)01ga. 对 121211 000xxg xg xx g x 22 x g x，即( )f x在(0,)上为增函数. 2 (21)( )|21|(21)fxf xxxx剟 2 1 1 3 xx剟? 14. ( 1,
16、2 【解析】 目标函数化为2yxz，2z 时， 可知： 最优解在直线220xy上， 而(0,2)在可行域内， 且满足220xy. 故可知：实数k的取值范围是( 1,2. 15. 1 3 【解析】设点( , )M x y ，则 222 222 | |(4) OMxy AMxy 又因为 22 (2)1xy，则 22 1 (2)yx ， 故 2 2 |4310 1 |413413 OMx AMxx ，1,3x， 则 2 2 | | OM AM 的最小值为 1 9 ，故 | | OM AM 的最小值为 1 3 . 16. 3 77 77 【解析】如图，O为楼脚，OP为楼高，则60OP.求得：60,60
17、 3OAOB. 由余弦定理得： 222 2cosOAABOBAB OBABO， 222 2cosOCBCOBBC OBOBC， 两式相加得： 22222 230800OAOCABOBOC， 则20 77OC ， 故 603 77 tan 7720 77 . 17.【解析】(I)设 41 n n n a b a ， 则 12 1,2bb， 故 1 1 n bbnn ， 即 2 2 4141 n n n an na an . ()由 2 22 111111 1 4144148 2121 n n a nnnn 得 1 111111 48 13352121 n n S nn 2 2(21) nn n
18、18.【解析】()作AMPB于M， 则由平面PAB 平面PBDAM平面PBDAMBD. 取AD中点为Q，则/ /1BCQDBQCDQD 90QAABD 又PBA为锐角， 点,M B不重合. DBAB DB DBAM 平面PABDBPA， 又因为PAAD， 所以PA 上平面ABCD. ()取AQ中点H，以点A为原点，以,HB AD AP方向分别为x轴、y轴、z轴正方向建立如图所示的 空间直角坐标系， 则 3 13 3 (0,0,0),0 ,0 ,(0,2,0), (0,0,2) 2222 ABCDP . 由() 的证明知：平面PAB的法向量为 3 3 ,0 22 BD 设平面PCD的一个法向量为
19、( , , )mx y z， 则 220 0 31 00 22 yz m PD xym CD ， 令1(1, 3, 3)xm ， 33 3 7 22 cos, 7| |37 m BD m BD mBD . 19.【解析】()设 1122 ,A x yB x y， 则由 22 2 12 1 2121212 900040 22 yy AOBx xy yy yy yp pp ， 设直线:4l xmy， 2 2ypx整理得 22 2804802ypmypppp ()设 00 , MMNN Q x yM xyN xy， :1MN xty，代入 2 4yx整理得： 2 440yty， 4 ,4 MNMN
20、yyt y y 则 0N00 NQ 22 00N0 44 MM MQ MM yyyyyy kk yyxxxx 0 22 0 44 N N yy yy 00 44 MN yyyy 00 22 0000 4 24 24 44 MN MNMN yyyyt yyyyy yyyt 0 2 0 0 0 16 2 4 4 4 y t y yt y 当且仅当 2 00 0 4 24 yy y 时，此式为定值， 解得 0 2y ， 故(1,2)Q或(1, 2) 20.【解析】()当xa时， 2 (7040)(5640) ()(14)16yxaaxa xaa， 当x a时，30ya， 2 * (14)16, 30
21、 , a xaaxa yx a x a N , 当16a 时， * 30 ,16 480,16 x x yx x N ()若出栏 112 只，则16a ， 由()知当16a 时， * 30 ,16 480,16 x x yx x N 记 1 Y表示养鸡厂当天在一个饭店获得的利润. 1 Y可取 420，450，480， 11 4200.15,4500.2P YP Y， 1 4800.65P Y ， 1 Y的分布列为： 1 Y 420 450 480 P 0.15 0.2 0.65 1 420 0.15450 0.2480 0.65465E Y 若出栏 119 只，则17a ， 记 2 Y表示养鸡
22、厂当天在一个饭店获得的利润. 当 2 Y时， * 3117,17 510,17 xx yx x N ， 2 Y可取 417，448，479，510， 22 4170.15,4480.2P YP Y， 22 4790.25,5100.4P YP Y， 2 Y的分布列为： 2 Y 417 448 479 510 P 0.15 0.2 0.65 0.4 2 417 0.15448 0.2479 0.25 510 0.4475.9E Y 综上可知， 12 77E YE Y，则养鸡厂出栏 119 只时，利润最大. 21.【解析】()设 00 ,M x y， 则当 0 0x 时， 2 0 0 2 0 2
23、0 ln(*) 4e 1 (*) 2e x xa x xa 由(*)得： 2 0 0 2e xa x ,代入(*)得： 22 2 0 0 2 0 2e lnln 2eln 4e x x x 对函数 2 2 2 ( )ln 2eln 4e x xx，求导得： 2 1 ( )0 2e x x x 故( )x为增函数，且(2e)0.故 0 2ex 当 0 0x 时 00 00 0 2ln 1ln2 2ln1 222 xxa xx xa 综上，M的坐标为(2 ,1)e或 ln2 ,ln2 2 . ()由()知： 0 2ex 时，ea， 2 2 ( )ln() 4e x h xxa 故ea时， 222
24、111 ( ),( )0 2ee2e(e) x h xh x xx ， 故( )h x 有唯一零点为：2e, ( )(2e)0xh xh， 故( )h x有唯一零点. 当ea时， 22 22 ( )ln()ln(e) 0, ( ) 4e4e xx h xxaxh x无零点. 当e1a 时，( )h x 在0,)上至多 1 个零点，( )h x在(0,)上至少 2 个零点. 而(0)ln0, (2e)1 ln(2e)0.hahax 时，( )h x 故( )h x在(0,2e),(2e,)上各 1 个零点. 当1a 时， 2 1 ( ) 2e x h x xa .满足：(0)0h，(2e)0h，
25、 故在(0,2e)上，( )h x 仅 1 个零点. 设为m，在(0,)m上，( )h x为减函数，在( ,)m 上，( )h x为增函数. 而 1 (0)0, ( )(0)0,hh mhx a 时，( )h x . 故仅在( ,)m 上有 1 个零点. 综上得( )h x：当ea时，( )h x有 0 个零点；当ea或1a 时，有 1 个零点；当e1a 时，( )h x有 2 个零点. 22.【解析】()直线l的普通方程为：312 30xy ； 椭圆C的直角坐标方程为： 22 1 1612 xy . ()将直线l的参数方程代入椭圆C的直角坐标方程整理得： 22 3sin(12cos8sin )320tt， 由题意得： 12 0tt， 故 3 12cos8sin0tan 2 k 所以直线l的斜率为 3 2 23. 【解析】(I) |2|()(2)| |2|xaxxaxa， 当且仅当()(2)0xa x时取等， 故( )f x最小值为|2|a， |2|35aa厖或1a ()由不等式解集的意义可知：2x时， (2)2f，即|2| 2a，解得：0a或 4. 0a时，( )yf x与yx图象可知：不合题意舍去. 4a时，比较( )yf x与yx图象， 由yx与26yx解得：6x， 即 m=6， 综上，4,6am.
