1、科学与逻辑方法论第第 讲讲 悖悖 论论 PARADOXPARADOX 要知道自己是否为勇者吗？要知道自己是否为勇者吗？要知道自己是否为仁者吗？要知道自己是否为仁者吗？要知道自己是否为智者吗？要知道自己是否为智者吗？什么是悖论？什么是悖论？先从两个熟悉的悖论实例谈起先从两个熟悉的悖论实例谈起 芝诺悖论芝诺悖论 说谎者悖论说谎者悖论 低估说谎者悖论和其它悖论的重要低估说谎者悖论和其它悖论的重要性，把它们当作诡辩或笑料，从科学进性，把它们当作诡辩或笑料，从科学进步的角度看来是十分危险的。事实上，步的角度看来是十分危险的。事实上，我们在这里处于一种荒谬的境地，我们我们在这里处于一种荒谬的境地，我们被迫
2、肯定一个假句子。被迫肯定一个假句子。如果我们认真如果我们认真对待自己的工作，就不能容忍这个事实。对待自己的工作，就不能容忍这个事实。我们必须找出它的原因我们必须找出它的原因。-塔斯基塔斯基 一个认识共同体，被迫接受一个假句子。一个认识共同体，被迫接受一个假句子。这就是悖论。这就是悖论。这里被迫的含义是：这里被迫的含义是：第一，假句子是明显的，因而是显然不第一，假句子是明显的，因而是显然不可接受的；第二，找不到得出假句子的推理可接受的；第二，找不到得出假句子的推理错在哪里；第三，找不到得出假句子的前提错在哪里；第三，找不到得出假句子的前提错在哪里。错在哪里。因此，悖论具有以下本质特征：因此，悖论
3、具有以下本质特征：第一，它相对于某个认识共同体而言。第一，它相对于某个认识共同体而言。第二，它是一个论证。第二，它是一个论证。第三，它的前提是公认正确的背景知识。第三，它的前提是公认正确的背景知识。第四，它的推理在逻辑上无误。第四，它的推理在逻辑上无误。第五，它的结论明显虚假（其中最为典第五，它的结论明显虚假（其中最为典型的是自相矛盾）。型的是自相矛盾）。注意，第二、第三两点都是相对于认识共同体注意，第二、第三两点都是相对于认识共同体而言的。而言的。关于佯悖关于佯悖 “理发师悖论理发师悖论”“以子之茅，攻子之盾以子之茅，攻子之盾”“理发师悖论理发师悖论”是罗素悖论的俗本是罗素悖论的俗本或拟化形
4、式。或拟化形式。为什么罗素悖论称为悖论，而为什么罗素悖论称为悖论，而“理理发师悖论发师悖论”只是佯悖？只是佯悖？逻辑学家为什么对悖论感兴趣？逻辑学家为什么对悖论感兴趣？悖论是对认识共同体的共识，即公认悖论是对认识共同体的共识，即公认正确的背景知识的挑战。正确的背景知识的挑战。“根号根号2”的解悖开始了一个新的数学的解悖开始了一个新的数学时代！时代！对于人类认识共同体来说，任何悖对于人类认识共同体来说，任何悖论终将被证明是佯悖！论终将被证明是佯悖！悖论的两种思考模式：悖论的两种思考模式：哲学思辩哲学思辩 逻辑分析逻辑分析 芝诺悖论：关于运动的哲学思辩。芝诺悖论：关于运动的哲学思辩。哲学思辩的力量
5、。哲学思辩的力量。哲学思辩的软肋。哲学思辩的软肋。警惕：莫使辩证法成为逻辑矛盾和诡辩警惕：莫使辩证法成为逻辑矛盾和诡辩的庇护所。（的庇护所。（-张家龙：论逻辑悖论张家龙：论逻辑悖论）解决悖论三原则：解决悖论三原则：第一，消除悖论；（不要出了火海，又第一，消除悖论；（不要出了火海，又入油锅）；入油锅）；第二，代价尽量小；（尽量保留一切有第二，代价尽量小；（尽量保留一切有价值的东西）价值的东西）第三，自然。第三，自然。悖论的分类悖论的分类 语形语形 （syntactic）语义语义 （semantic）语用语用 （pragmatic）集合论集合论-语形悖论及其研究语形悖论及其研究 素朴集合论素朴集合
6、论 概括规则：对于任一性质，所有具有该概括规则：对于任一性质，所有具有该性质的对象就构成一个集合。所有不具有该性质的对象就构成一个集合。所有不具有该性质的对象不属于该集合。性质的对象不属于该集合。对任一性质对任一性质P，存在唯一的集合存在唯一的集合A：对任对任一对象一对象a，aA iff P（a）（iff=if and only if=当且仅当）当且仅当）两种性质：两种性质：自有性质：例如，自有性质：例如，“可理解可理解”这种性质自身这种性质自身是可理解的。因此，是可理解的。因此，“可理解可理解”是自有性质。是自有性质。非自有性质：例如，非自有性质：例如，“红红”这种性质自身并这种性质自身并不
7、红，因此，不红，因此，“红红”是非自有性质。是非自有性质。如果如果P是自有性质，则是自有性质，则P（P）成立；成立；如果如果P是非自有性质，则是非自有性质，则 P（P）成立。成立。思考 以下哪些性质是自有的，哪些是非自有的？以下哪些性质是自有的，哪些是非自有的？诚实诚实 大于等于大于等于6的偶数的偶数 具有科学研究的价值具有科学研究的价值 不具有科学研究的价值不具有科学研究的价值 可用汉语准确表达可用汉语准确表达 只能用汉语准确表达只能用汉语准确表达 思考 以下哪些性质是自有的，哪些是非自有的？以下哪些性质是自有的，哪些是非自有的？诚实诚实 （非自有）（非自有）大于等于大于等于6的偶数的偶数
8、（非自有）（非自有）具有科学研究的价值具有科学研究的价值（自有）（自有）不具有科学研究的价值不具有科学研究的价值（非自有）（非自有）可用汉语准确表达可用汉语准确表达 （自有）（自有）只能用汉语准确表达只能用汉语准确表达 （非自有）（非自有）现在的问题是：现在的问题是：非自有性质本身是自有的，还是非自有的？非自有性质本身是自有的，还是非自有的？非自有性质是自有的非自有性质是自有的 =非自有性质具有非自有性质非自有性质具有非自有性质 =非自有性质是非自有的非自有性质是非自有的 非自有性质是非自有的非自有性质是非自有的 =非自有性质具有非自有的性质非自有性质具有非自有的性质 =非自有性质是自有的。非
9、自有性质是自有的。因此，因此，非自有性质是自有的非自有性质是自有的非自有性质是非自有的非自有性质是非自有的 悖论！悖论！为什么称这种类型的悖论为语形悖论？为什么称这种类型的悖论为语形悖论？非自有性质非自有性质P可在二阶逻辑中得到形式定义：可在二阶逻辑中得到形式定义：X（P（X）X（X）（1）读作：对于任一性质读作：对于任一性质X，X具有性质具有性质P，当且仅当且仅当当X不具有性质不具有性质X。这就形式地定义了非自有性质这就形式地定义了非自有性质P。既然（既然（1）式对任一性质）式对任一性质X成立，其中自然包括成立，其中自然包括性质性质P。因此，由对（因此，由对（1）式作全称限定，即在（）式作全
10、称限定，即在（1）式中消去全称量词式中消去全称量词 X，并用并用P替换替换X，得：得：（P（P）P（P）（2）（2）式的意思正是：式的意思正是：非自有性质是自有的非自有性质是自有的非自有性质是非自有的非自有性质是非自有的 性质分两类：性质分两类：“非自有非自有”性质和性质和“自有自有”性性质。质。类似地，集合分两类：类似地，集合分两类：第一类不以自己为元素，即满足第一类不以自己为元素，即满足“非自有非自有”。例如例如“人人”这个集合不是人。这个集合不是人。第二类以自己为元素，即满足第二类以自己为元素，即满足“自有自有”。例。例如如“可用语言表达的对象可用语言表达的对象”这个集合自身也是可这个集
11、合自身也是可用语言表达的。用语言表达的。现在问：上述第一类集合，即所有不以自己现在问：上述第一类集合，即所有不以自己为元素的集合所构成的集合，是否以自己为元素？为元素的集合所构成的集合，是否以自己为元素？“非自有性质非自有性质”确定了这样一个集合确定了这样一个集合S，这一集合称为这一集合称为罗素集罗素集：S以并且只以所有不以自己为元素的集合以并且只以所有不以自己为元素的集合作为自己的元素。作为自己的元素。现在的问题是：现在的问题是：S是否以自己为元素？是否以自己为元素？显然有显然有 S以自己为元素以自己为元素S S不以自己为元素。不以自己为元素。这就是罗素悖论。这就是罗素悖论。最大基数悖论最大
12、基数悖论 康托定理：对任一集合康托定理：对任一集合S，S的幂集的的幂集的基数大于基数大于S的基数。（已证）的基数。（已证）现考虑所有集合的集合现考虑所有集合的集合T。（1）由康托定理：由康托定理：T的幂集的基数大的幂集的基数大于于T的基数。的基数。（2）由幂集的定义，可知）由幂集的定义，可知T的幂集的的幂集的元素都为集合，因此，元素都为集合，因此，T的幂集为的幂集为T的子集，的子集，其基数不大于其基数不大于T的基数。的基数。矛盾！矛盾！罗素悖论引起的震动罗素悖论引起的震动 第三次数学危机！第三次数学危机！集合论集合论-语形悖论的消解语形悖论的消解 罗素的分支类型论罗素的分支类型论 从素朴集合论
13、到公理集合论从素朴集合论到公理集合论 罗素的分支类型论罗素的分支类型论 恶性循环原则：恶性循环原则：“凡牵涉到一个汇集的全体者，它本身凡牵涉到一个汇集的全体者，它本身不能是该汇集的一分子不能是该汇集的一分子”-罗素罗素 总体不能包含只有通过这个总体来定义的分子。总体不能包含只有通过这个总体来定义的分子。-张家龙张家龙 “非自有非自有”性质性质所确定的集合所确定的集合 红红 诚实诚实 善善 不具有科学不具有科学 研究价值研究价值 非自有非自有 在上面图示的集合中，在上面图示的集合中，“非自有非自有”是总是总体性质。体性质。“红红”尽管具有这种性质，但尽管具有这种性质，但“红红”的定义不必涉及这种
14、总体性质。的定义不必涉及这种总体性质。“善善”、“诚实诚实”等也是如此。但是，等也是如此。但是，“非自有非自有”的的定义必须涉及这种总体性质。因此，根据恶定义必须涉及这种总体性质。因此，根据恶性循环原则，性循环原则，“非自有非自有”不能作为这个集合不能作为这个集合的分子。的分子。恶性循环原则：恶性循环原则：任何集合不能以自己作为分子。任何集合不能以自己作为分子。x（xx）分支类型论目标：恶性循环原则。分支类型论目标：恶性循环原则。性质的性质的“型型”和和“级级”性质的性质的“型型”类型类型0：个体：个体 -这朵花这朵花 类型类型1：个体的性质：个体的性质 -红红 类型类型2：个体的性质的性质：
15、个体的性质的性质 -鲜艳鲜艳 类型类型n：个体的个体的n1类型的性质的性质类型的性质的性质 性质的性质的“级级”在类型在类型n的性质中（的性质中（n1），），如果某个性如果某个性质的定义不要依据总体性质，则属于质的定义不要依据总体性质，则属于0级；某级；某个性质的定义，如果要用到个性质的定义，如果要用到n级性质的总体性级性质的总体性质，由属于质，由属于n+1级。级。罗素规定：罗素规定：每一类型的性质只有当其使用于低于它的那个每一类型的性质只有当其使用于低于它的那个类型的对象时，才是有意义的。类型的对象时，才是有意义的。每一级的性质只有当其使用于低于它的级别的每一级的性质只有当其使用于低于它的级
16、别的性质时，才是有意义的。性质时，才是有意义的。n+1级的性质，决不能包含在级的性质，决不能包含在n级性质中。级性质中。问某个问某个n+1级性质是否具有相应的级性质是否具有相应的n级性质，这级性质，这个问题是没有意义的。个问题是没有意义的。这个规定确实可以消解罗素悖论。这个规定确实可以消解罗素悖论。“非自有非自有”性质性质所确定的集合所确定的集合 红红 诚实诚实 善善 不具有科学不具有科学 研究价值研究价值 非自有非自有 在上例中，在上例中，“红红”、“善善”、“诚实诚实”等的总体性质是等的总体性质是“非自有非自有”。“红红”、“善善”、“诚实诚实”尽管具有这种性质，但它尽管具有这种性质，但它
17、们的定义不必涉及这种总体性质。而们的定义不必涉及这种总体性质。而“非自非自有有”这种性质的定义必须涉及这种总体性质。这种性质的定义必须涉及这种总体性质。因此，如果因此，如果“红红”、“善善”、“诚实诚实”等性等性质属于质属于n级，则级，则“非自有非自有”这种性质属于这种性质属于n+1级。级。“非自有非自有”这种性质是否非自有？这种性质是否非自有？这个问题实际上是问：这个问题实际上是问：一个一个n+1级的性质是否具有级的性质是否具有n+1级性质？级性质？这个问题是不成立的。因为这个问题是不成立的。因为n+1级的性质只能为级的性质只能为m（mn）级性质所具有。）级性质所具有。类似地，不难理解，对于
18、任何集合类似地，不难理解，对于任何集合x（相应于某相应于某种性质），问种性质），问 xx 是否成立是没有意义的。是否成立是没有意义的。因此，对于罗素悖论因此，对于罗素悖论S S，问问 SS 是否成立是没有意义的。是否成立是没有意义的。这就消解了罗素悖论。这就消解了罗素悖论。对罗素解悖方案的思考对罗素解悖方案的思考 解决悖论三原则：解决悖论三原则：第一，消除悖论；（不要出了火海，又第一，消除悖论；（不要出了火海，又入油锅）；入油锅）；第二，代价尽量小；（尽量保留一切有第二，代价尽量小；（尽量保留一切有价值的东西）价值的东西）第三，自然。第三，自然。根据罗素解悖方案，以下问题都成为伪问题。这很根据
19、罗素解悖方案，以下问题都成为伪问题。这很不自然。不自然。以下哪些性质是自有的，哪些是非自有的？以下哪些性质是自有的，哪些是非自有的？诚实诚实 大于等于大于等于6的偶数的偶数 具有科学研究的价值具有科学研究的价值 不具有科学研究的价值不具有科学研究的价值 可用汉语准确表达可用汉语准确表达 只能用汉语准确表达只能用汉语准确表达 恶性循环原则：恶性循环原则：“凡牵涉到一个汇集的全体者，它本身凡牵涉到一个汇集的全体者，它本身不能是该汇集的一分子不能是该汇集的一分子”-罗素罗素 总体不能包含只有通过这个总体来定义的分子。总体不能包含只有通过这个总体来定义的分子。-张家龙张家龙 拉姆赛（罗素的学生）提出了
20、一个例子：拉姆赛（罗素的学生）提出了一个例子：“这间房子里个子最高的那个人这间房子里个子最高的那个人”这个分子的定义显然要涉及所有分子的总体性这个分子的定义显然要涉及所有分子的总体性质。质。假设这个人假设这个人1.8m。则则 总体性质：不高于总体性质：不高于1.8m。上述定义必然涉及这个总体性质。上述定义必然涉及这个总体性质。根据罗素的恶性循环原则，上述定义被视为伪根据罗素的恶性循环原则，上述定义被视为伪定义。定义。很不自然！很不自然！也许这就是为什么人类认识共同体至今也许这就是为什么人类认识共同体至今未宣布罗素悖论为佯悖！未宣布罗素悖论为佯悖！从素朴集合论到公理集合论从素朴集合论到公理集合论
21、 公理集合论的基本思想公理集合论的基本思想 语义悖论及其研究语义悖论及其研究 多姿多彩的语义悖论多姿多彩的语义悖论 思考 （1）我说的话都是谎话。）我说的话都是谎话。（2）我说谎。）我说谎。为什么句（为什么句（1）不能称为悖论？句（）不能称为悖论？句（2）可以称）可以称为悖论？为悖论？分析分析 由句（由句（1）真，可推出句（）真，可推出句（1）假。（）假。（因此，句因此，句（1 1）不可能真，必为假。）不可能真，必为假。）由句（由句（1）假，（）假，（不能推出不能推出“我说的都不是谎我说的都不是谎话话”，只能推出，只能推出“我说的话有的不是谎话我说的话有的不是谎话”，因此，因此）不能推出句（不
22、能推出句（1）真。）真。因此，句（因此，句（1）是句假话，但不是悖论。）是句假话，但不是悖论。由句（由句（2）真，可推出句（）真，可推出句（2）假；由句（）假；由句（2）假，）假，可推出句（可推出句（2）真。因此，句（）真。因此，句（2）是悖论。）是悖论。比较以下两个悖论比较以下两个悖论（1）我说谎我说谎（2）本方框中的本方框中的 语句是假的语句是假的 嫌疑人悖论嫌疑人悖论 甲乙两人涉嫌作案被拘审。甲乙两人涉嫌作案被拘审。甲：我没作案。甲：我没作案。乙：我俩只有一人说真话。乙：我俩只有一人说真话。如果乙说真话，可推出：甲作案。如果乙说真话，可推出：甲作案。如果乙说假话，可推出：甲作案。（如果乙
23、说假话，可推出：甲作案。（思考：为什么思考：为什么）乙说真话或说假话，二者必居其一。乙说真话或说假话，二者必居其一。因此，不管甲事实上是否作案，只要乙说了上因此，不管甲事实上是否作案，只要乙说了上面这句话，都可合乎逻辑地推出：甲作案。面这句话，都可合乎逻辑地推出：甲作案。理查德悖论理查德悖论 自然数的任一性质均可用有限多的文字表达。如偶数、自然数的任一性质均可用有限多的文字表达。如偶数、奇数、素数、奇数、素数、3的倍数、能被的倍数、能被7整除的数，等等。现把所有这整除的数，等等。现把所有这些性质排序，序号均为自然数。如果一种性质的序号不具有些性质排序，序号均为自然数。如果一种性质的序号不具有此
24、种性质，则称该序号（自然数）为理查德数；否则就为非此种性质，则称该序号（自然数）为理查德数；否则就为非理查德数。例如，如果偶数这种性质的编号是理查德数。例如，如果偶数这种性质的编号是3，则，则3是一个是一个理查德数，因为理查德数，因为3不是偶数；如果奇数这种性质的编号是不是偶数；如果奇数这种性质的编号是5，则则5是非理查德数，因为是非理查德数，因为5是奇数。理查德数也是自然数的一是奇数。理查德数也是自然数的一个性质，因此，也有一个序号，记为个性质，因此，也有一个序号，记为n。现在问：现在问：n是否为理查德数？是否为理查德数？显然有显然有 n是理查德数，当且仅当是理查德数，当且仅当n不是理查德数
25、。不是理查德数。悖论！悖论！这些悖论的产生都涉及这些悖论的产生都涉及“直接自指直接自指”。悖论是否一定产生于悖论是否一定产生于“直接自指直接自指”呢？呢？以下这个中世纪学者构造的悖论其意义不以下这个中世纪学者构造的悖论其意义不涉及涉及“直接自指直接自指”：假定苏格拉底只说过唯一的一句话：假定苏格拉底只说过唯一的一句话：“柏拉图说谎。柏拉图说谎。”而柏拉图只说过唯一的一而柏拉图只说过唯一的一句话：句话：“苏格拉底说真话苏格拉底说真话”。问：苏格拉底的话是真话还是假话？问：苏格拉底的话是真话还是假话？题外思考：题外思考：有人说，苏格拉底和柏拉图一生中不可有人说，苏格拉底和柏拉图一生中不可能只说一句
26、话，因此，上述论证的假设不成能只说一句话，因此，上述论证的假设不成立，因此，论证本身及其结论都不能成立。立，因此，论证本身及其结论都不能成立。如果剖析这种似是而非的话？如果剖析这种似是而非的话？间接自指间接自指卡片悖论：卡片悖论：一张卡片的正面只写着：一张卡片的正面只写着：“本卡片反面本卡片反面的语句是假的的语句是假的”；同一张卡片的反面只写着：同一张卡片的反面只写着：“本卡片正本卡片正面的语句是真的面的语句是真的”思考思考 以下断定哪些能构成悖论？以下断定哪些能构成悖论？设有五个语句设有五个语句A、B、C、D、E。A和和B都真，都真，C和和D都假。都假。E断定：上述五个语句中，断定：上述五个
27、语句中，真语句比假语句多。真语句比假语句多。设有五个语句设有五个语句A、B、C、D、E。A和和B都真，都真，C和和D都假。都假。E断定：上述五个语句中，断定：上述五个语句中，假语句比真语句多。假语句比真语句多。2+2=5或者本析取句为假或者本析取句为假 2+2=4并且本合取句为真并且本合取句为真 （1）地球围绕太阳转）地球围绕太阳转 （2）太阳围绕地球转）太阳围绕地球转 （3）句（）句（1）是本方框）是本方框 中唯一的真语句中唯一的真语句 、和均悖、和均悖 和均不悖和均不悖 语义悖论和语形悖论的区别在哪里？语义悖论和语形悖论的区别在哪里？语形悖论，如罗素悖论：语形悖论，如罗素悖论：x（x S
28、x x）因此有：因此有：S S S S 语义悖论，如说谎者悖论：语义悖论，如说谎者悖论：本方框中的本方框中的 语句是假的语句是假的 语形悖论可形式地得出，不必涉及语形悖论可形式地得出，不必涉及语句的真假。语句的真假。语义悖论涉及语句的真假。语义悖论涉及语句的真假。语义悖论的消解语义悖论的消解 方案1 禁止语句自指。禁止语句自指。概念和语句的使用和提及概念和语句的使用和提及 任何概念和语句不得同时既使用又提及。任何概念和语句不得同时既使用又提及。禁止语句自指。禁止语句自指。“单独概念单独概念”不是单独概念。不是单独概念。这是个真句子，并不悖。此句中出现这是个真句子，并不悖。此句中出现的两个的两个
29、“单独概念单独概念”，前者被提及，但并，前者被提及，但并不同时被使用；后者被使用，但并不同时不同时被使用；后者被使用，但并不同时被提及。被提及。我说谎。我说谎。如果上面的这句话所断定的谎话包括如果上面的这句话所断定的谎话包括自身，则这一语句就是既使用，又提及。自身，则这一语句就是既使用，又提及。禁止语句自指，自然消解了所有的语义禁止语句自指，自然消解了所有的语义悖论。悖论。但是但是 在日常思维中，有时语句必须自指，否则正常的思维及在日常思维中，有时语句必须自指，否则正常的思维及其交流会被迫中断。其交流会被迫中断。甲：我中了体育彩票头奖。甲：我中了体育彩票头奖。500万！万！（1）乙：是吗？（表
30、示不信）乙：是吗？（表示不信）甲：我说的是真话！甲：我说的是真话！（2）显然，句（显然，句（2）不仅指句（）不仅指句（1），而且必须自指。），而且必须自指。方案方案2 禁止语句否定性自指。禁止语句否定性自指。肯定性自指：断定自身具有某种性质。肯定性自指：断定自身具有某种性质。否定性自指：断定自身不具有某种性质，例如否定性自指：断定自身不具有某种性质，例如断定自身假、不可证等等。断定自身假、不可证等等。甲：我中了体育彩票头奖。甲：我中了体育彩票头奖。500万！万！（1）乙：是吗？（表示惊讶）乙：是吗？（表示惊讶）甲：（笑甲：（笑）我是骗你的！我是骗你的！（2）显然，句（显然，句（2 ）仅指句（）
31、仅指句（1），但并不自指。），但并不自指。禁止句（禁止句（2 ）这样的语句否定性自指是很自然的。）这样的语句否定性自指是很自然的。甲：我中了体育彩票头奖。甲：我中了体育彩票头奖。500万！万！（1）乙：是吗？（表示惊讶）乙：是吗？（表示惊讶）甲：（笑甲：（笑）我是骗你的！我是骗你的！（=我说谎）我说谎）（2）显然，句（显然，句（2 ）仅指句（）仅指句（1），但并不自指。），但并不自指。上例说明，语句上例说明，语句“我说谎我说谎”，在日常运用中，并不自指。在日常运用中，并不自指。我说谎我说谎 （1）句（句（1）的自指，是一种否定性自指。）的自指，是一种否定性自指。通过禁止语句的否定性自指来排除句
32、（通过禁止语句的否定性自指来排除句（1）这样）这样的说谎者悖论，是自然的。因为句（的说谎者悖论，是自然的。因为句（1）自身的含义）自身的含义并不确定地包含断定自身。事实上，在日常运用中，并不确定地包含断定自身。事实上，在日常运用中，句（句（1）并不自指。不自然地规定它自指，然后导出）并不自指。不自然地规定它自指，然后导出悖论，这是违背日常思维习惯的矫揉之作。悖论，这是违背日常思维习惯的矫揉之作。语义悖论的最重要特征是涉及语句的否语义悖论的最重要特征是涉及语句的否定性自指。禁止语句的否定性自指确实可以定性自指。禁止语句的否定性自指确实可以消解几乎所有的语义悖论。消解几乎所有的语义悖论。但是但是
33、比较以下两个悖论比较以下两个悖论（1）我说谎我说谎（2）本方框中的本方框中的 语句是假的语句是假的 （2）本方框中的本方框中的 语句是假的语句是假的 根据确定的经验事实和句（根据确定的经验事实和句（2）的含义，）的含义，句（句（2）确定无疑地否定性自指。）确定无疑地否定性自指。禁止句（禁止句（2）这样的语句否定性自指，是）这样的语句否定性自指，是不自然的。不自然的。哥德尔不可判定性命题哥德尔不可判定性命题 哥德尔在算术形式系统中构造了一个公式哥德尔在算术形式系统中构造了一个公式A，A的含义是：的含义是：A在系统中不可证。在系统中不可证。不可判定性命题就是哥德尔明确无误地构造出不可判定性命题就是
34、哥德尔明确无误地构造出来的否定性自指命题。来的否定性自指命题。禁止语句的否定性自指，就意味着从根本上否禁止语句的否定性自指，就意味着从根本上否定哥德尔的成果。定哥德尔的成果。不可判定性命题不可判定性命题悖论悖论 A的含义是：的含义是：A不可证。不可证。哥德尔证明了：如果系统是一致的，则哥德尔证明了：如果系统是一致的，则A和和 A在系统中都不可证。在系统中都不可证。因为因为A不可证，所以不可证，所以A是真命题，即一个不可证是真命题，即一个不可证的真命题。因此，如果算术系统是一致的，则存在的真命题。因此，如果算术系统是一致的，则存在不可证的数学真理。不可证的数学真理。这里没有出现悖论。这里没有出现
35、悖论。方案方案3 区分语言层次区分语言层次 塔斯基关于塔斯基关于“真真”理论理论 什么是什么是“真真”？如何定义如何定义“语句语句p真真”？说是者为非，或说非者为是，是为假；说是者为非，或说非者为是，是为假；说是者为是，或说非者为非，是为真。说是者为是，或说非者为非，是为真。-亚里士多德亚里士多德 T等式：等式：X是真语句当且仅当是真语句当且仅当p。-塔斯基塔斯基 T等式：等式：X是真语句当且仅当是真语句当且仅当p。这里，这里，p是语句，是语句，X是是p的名称，可以的名称，可以是是p的引号名称，也可以是的引号名称，也可以是p的摹状名称。的摹状名称。T等式：等式：X是真语句当且仅当是真语句当且仅
36、当p。显然，以下作为显然，以下作为T等式实例的断定都成立：等式实例的断定都成立：“雪是白的雪是白的”是真的，当且仅当雪是白的。是真的，当且仅当雪是白的。“毛泽东是湖南人毛泽东是湖南人”是真的，当且仅当毛泽东是湖南人。是真的，当且仅当毛泽东是湖南人。“金属都导电金属都导电”是真的，当且仅当金属都导电。是真的，当且仅当金属都导电。因此，有理由概括出定义任意语句因此，有理由概括出定义任意语句p p真的一般形式：真的一般形式：“p”p”真，当且仅当真，当且仅当p p 这里，这里，T T等式中的等式中的X X用用p p的引号名称的引号名称“p”p”代入。代入。T等式：等式：X是真语句当且仅当是真语句当且
37、仅当p。显然，以下作为显然，以下作为T等式实例的断定都成立：等式实例的断定都成立：哥德巴赫猜想是真的，当且仅当每个素数都能表示成两哥德巴赫猜想是真的，当且仅当每个素数都能表示成两个偶数之和。个偶数之和。牛顿第一定律是真的，当且仅当不受外力作用的物体都牛顿第一定律是真的，当且仅当不受外力作用的物体都作匀速直线运动。作匀速直线运动。这里，这里，T T等式中的等式中的X X用用p p的摹状名称代入。的摹状名称代入。塔斯基发现，塔斯基发现，T等式会导致悖论！等式会导致悖论！不妨设想，我在不妨设想，我在2007年年12月月20日下午在人大日下午在人大1402教室黑教室黑板上写了唯一的这样一句话：板上写了
38、唯一的这样一句话：2007年年12月月20日下午在人大日下午在人大1402教室黑板上的语句是假教室黑板上的语句是假的。的。显然，这句话的摹状名称是：显然，这句话的摹状名称是：2007年年12月月20日下午在人大日下午在人大1402教室黑板上的语句教室黑板上的语句 由由T等式，得等式，得 2007年年12月月20日下午在人大日下午在人大1402教室黑板上的语句是真教室黑板上的语句是真的，当且仅当的，当且仅当2007年年12月月20日下午在人大日下午在人大1402教室黑板上的教室黑板上的语句是假的。语句是假的。塔斯基：塔斯基：一个理想的关于一个理想的关于“真真”的定义，应当满足的定义，应当满足两个
39、条件：两个条件：第一，实质上充分。即符合关于真的直第一，实质上充分。即符合关于真的直觉，体现觉，体现T等式。等式。第二，形式上有效。即不会导致悖论。第二，形式上有效。即不会导致悖论。塔斯基的形式语言层次理论。塔斯基的形式语言层次理论。对象语言对象语言L0：其中不出现其中不出现“真真”、“假假”等语等语义概念。义概念。元语言元语言L1：其中包括关于其中包括关于L0 语句的语句的“真真”、“假假”等语义概念。等语义概念。元元语言元元语言L2：其中包括关于其中包括关于L1 语句的语句的“真真”、“假假”等语义概念。等语义概念。语言语言Ln 中的语句的真假，只有在语言中的语句的真假，只有在语言Ln+1
40、中才能中才能定义。定义。2007年年12月月20日下午写在人大日下午写在人大4102教室黑板上的语教室黑板上的语句是假的。句是假的。以以p表示表示“2007年年12月月20日下午写在人大日下午写在人大4102教室教室黑板上的语句黑板上的语句”，则如果，则如果p属于语言属于语言Ln 中的语句，则中的语句，则“p是假的是假的”属于语言属于语言Ln+1 中的语句。中的语句。因此，以下情况是不可能的：因此，以下情况是不可能的：p=p是假的是假的 否则，就会得出结论：语言否则，就会得出结论：语言Ln 中的语句的真假，中的语句的真假，可以在本语言中定义。可以在本语言中定义。形式语言和自然语言。形式语言和自然语言。区分语言层次的严格定义只有在形式语区分语言层次的严格定义只有在形式语言中才能进行。言中才能进行。自然语言是不分层次的封闭语言。其中自然语言是不分层次的封闭语言。其中“真真”是不可定义的。是不可定义的。本讲结束。谢谢大家！本讲结束。谢谢大家！
