1、中考专题训练相似三角形的判定与性质综合1在矩形中，点E为射线上一动点，连接(1)当点E在边上时，将沿翻折，使点B恰好落在对角线上点F处，交于点G如图1，若，求的度数；如图2，当，且时，求的长(2)在所得矩形中，将矩形沿进行翻折，点C的对应点为，当点三点共线时，求的长2【理解概念】定义：如果三角形有两个内角的差为，那么这样的三角形叫做“准直角三角形”(1)已知ABC是“准直角三角形”，且若，则_；若，则_；【巩固新知】(2)如图，在中，点D在边上，若是“准直角三角形”，求的长；【解决问题】(3)如图，在四边形中，且是“准直角三角形”，求的面积3小华同学利用折纸探究图形折叠过程中所蕴含的数学道理，
2、点为矩形纸片边上一点，小华将沿着折叠至，已知，请你帮助小华解决下列问题：操作与实践：如图1，当点与点重合时，与交于点，求的面积探究与发现：如图2，当点为中点时，与交于点，求的长；拓展与延伸：线段、射线分别与线段交于点，小华在折叠的过程中发现的形状随着长度的变化而变化，当为直角三角形时，求的长4如果四边形的一条对角线把四边形分成两个等腰三角形，且两个等腰三角形的顶角顶点重合，则称此四边形为环绕四边形，此顶点称为该四边形的环绕点例如，有一个角为的菱形就是环绕四边形，菱形钝角顶点式环绕点(1)在网格的格点上找出所有的点，使四边形是环绕四边形；(2)如图1，四边形是环绕四边形，且为环绕点，求；(3)如
3、图2，为正方形内部一点，四边形为环绕四边形，为环绕点，过点作直线的垂线，垂足为点，连结，求的面积5如图，在中，边上的高，分别是边，上的两个动点（点不与点、重合），与交于点，且，以为边，在点的下方做正方形(1)当正方形的边在上时，求正方形的边长(2)设，与正方形重叠部分的面积为，则当为何值时，有最大值，最大值是多少？6（1）如图，在正方形中，是上一动点，将正方形沿着折叠，点落在点处，连接，并延长交于点求证：；（2）在（1）的条件下，如图，延长交边于点若，求的值；（3）如图，四边形为矩形，同样沿着折叠，连接，延长分别交于两点，若，则的值为_（直接写出结果）7在平面上任取一个，则可以定义面积坐标：对
4、平面内任一点，记，若点恰好在的某条边所在的直线上，则记相应三角形的面积为，则点的面积坐标记为已知：在中，(1)如图，若点的坐标为写出点的面积坐标_；已知几个点的面积坐标分别为：，则其中不在内部的点是_；(2)把平面内一点的面积坐标记为如图，当点的坐标为时，若，试探究与之间的关系；当点的坐标为时，点在以点为圆心，半径为的圆上运动，若点的面积坐标始终满足，直接写出的取值范围8如图，在梯形中，动点在边上，过点作，与边交于点，过点作，与边交于点，设线段(1)求关于的函数解析式，并写出定义域；(2)当是以为腰的等腰三角形时，求的值；(3)如图，作的外接圆，当点在运动过程中，外接圆的圆心落在的内部不包括边
5、上时，求出的取值范围9如图1，已知正方形和正方形，点B、C、E在同一直线上，连接(1)求图1中、的长（用含m的代数式表示）(2)如图2，正方形固定不动，将图1中的正方形绕点C逆时针旋转度（），试探究、之间的数量关系，并说明理由(3)如图3，在（2）条件下，当点A，F，E在同一直线上时，连接并延长交于点H，若，求m的值10如图，以为直径作O，点是直径上方半圆上的动点，连接，过点C作的平分线交O于点D，过点作的平行线交的延长线于点(1)当时，求的大小；(2)若O的半径为5，求CD的长；(3)如图2，当不过点O时，过点O作交于点M，试判断是否为定值，若是，求出该值；若不是，请说明理由11问题发现(1
6、)对于任意正实数a，b皆满足2（请在横线上填写“”或“”，“”，“”，“=”问题探索(2)如图1，已知，点P为内部一点，为等边三角形，点F落在上，点E落在上，过点P作于点C，于点D，设的长为x，的面积为y，若，求y与x之间的函数关系式；问题解决(3) 如图2，在五边形中，点E在边上，点F在边上，连接，请问的面积是否存在最小值？若存在，求这个最小值；若不存在，试说明理由12如图1，以ABC的边AB为直径作O，交AC于点E，连接BE，BD平分ABE交AC于F，交O于点D，且(1)求证：BC是O的切线；(2)如图2，延长ED交直线AB于点P，若求的值；若，求O的半径长13如图，在正方形中，点E与点F
7、分别在线段上，且四边形是正方形(1)试探究线段与的关系，并说明理由(2)如图若将条件中的四边形与四边形由正方形改为矩形，线段在（1）中的关系仍然成立吗？若成立，请证明，若不成立，请写出你认为正确的关系，并说明理由当为等腰三角形时，求的长14如图1，在矩形中，E是边上一点，连接，将矩形沿折叠，顶点D恰好落在边上点F处，延长交的延长线于点G(1)求线段的长；(2)如图2，M，N分别是线段上的动点（与端点不重合），且，设求证四边形AFGD为菱形；是否存在这样的点N，使是直角三角形？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由15知识呈现（1）如图，在四边形中，与互余，我们发现四边形中这对互余的角可进行
8、拼合：先作，再过点作交于点，连接后，易于发现，之间的数量关系是_；方法运用（2）如图，在四边形中，连接，点是两边垂直平分线的交点，连接，求证：；连接，如图，已知，求的长用含，的式子表示16在平面直角坐标系中，点是图形上的任意一点，点是图形上的任意一点，若存在直线满足且，则称直线是图形与的“分离直线”，例如：如图1，直线是函数图像与正方形的一条“分离直线”(1)在直线中，是图1函数的图像与正方形OABC的“分离直线”的为_(2)如图2，第一象限内的等腰两腰分别与坐标轴平行，直角顶点D的坐标是，过D点的平行四边形HKMN（D在边HK上，且不与H，K重合），且，请求出与“分离直线”的表达式(3)正方
9、形一边在y轴上，其它三边都在y轴的左侧，且点是此正方形对角线的交点若存在直线是的图像与正方形的“分离直线”，求t的取值范围17如图，在ABC中，C=90，D、F是AB边上两点，以DF为直径的O与BC相交于点E，连接EF，OFE=A过点F作FGBC于点G，交O于点H，连接EH(1)求证：BC是O的切线；(2)连接ED，过点E作EQAB，垂足为Q，EQD和EGH全等吗？若全等，请予以证明；若不全等，请说明理由；(3)当BO=5，BE=4时，求EHG的面积18特例发现：如图1，点E和点F分别为正方形ABCD边BC和边CD上一点，当CECF时，则易得BEDF，BEDF(1)如图2，点E为正方形ABCD
10、内一点，且ECF90，CFCE，点E，F在直线CD的两侧，连接EF，BE，DF，探究线段BE与DF之间的关系，并说明理由；(2)如图3，在矩形ABCD中，ABBC12，点E在矩形ABCD内部，ECF90，点E，F在直线BC的两侧，CECF12，连接EF，BE，DE，BF，DF请探究线段DE，BF之间的关系，并说明理由；(3)若（2）中矩形ABCD的边AB3，RtCEF的边CE1，当BEDF时，求BF的长19若一个三角形的两条边的和等于第三条边的两倍，我们把这个三角形叫做和谐三角形(1)已知是和谐三角形，请直接写出所有满足条件的的长；(2)在中，D为边上一点，连接，若为和谐三角形，求的长；(3)
11、如图，在等腰中，D为的中点，且，E为上一点，满足，连接求证：为和谐三角形20问题初探：数学兴趣小组在研究四边形的旋转时，遇到了这样的一个问题如图1，四边形ABCD和BEFG都是正方形，于H，延长HB交CG于点M通过测量发现CMMG为了证明他们的发现，小亮想到了这样的证明方法：过点C作于点N他已经证明了，但接下来的证明过程，他有些迷茫了(1)请同学们帮小亮将剩余的证明过程补充完整；(2)深入研究：若将原题中的“正方形”改为“矩形”（如图2所示），且（其中k0），请直接写出线段CM、MG的数量关系为_；(3)拓展应用：在图3中，在和中，连接BD、CE，F为BD中点，则AF与CE的数量关系为_参考答
12、案：1(1)，(2)或【解析】（1）解：四边形是矩形，由折叠的性质得：，是等边三角形，；由折叠的性质得：，四边形是矩形，设，则，在中，（射影定理），即，解得：（负值已舍去），即的长为；（2）当点三点共线时，分两种情况：a、如图3，由可知，四边形是矩形，由折叠的性质得：，；b、如图4，由折叠的性质得：，在中，由勾股定理得：，；综上所述，BE的长为或2(1)15；10或25(2)或(3)的面积为48或24【解析】（1）当时，则，（不合题意舍去），当，则，综上所述：，故答案为：15；当时，则，当，则，综上所述：或，故答案为：10或25；（2）当时，如图，过点D作于H，在中，又，当时，又，综上所述：或
13、；（3）如图，过点C作于F，交的延长线于E，设，又，又，在和中，当时，又，由（2）可知： ，设，则，当，又，又， ，综上所述：的面积为48或243操作与实践：；探究与发现：；拓展与延伸：或【解析】操作与实践解：四边形是矩形，由折叠可知，设，则解得：即探究与发现：四边形是矩形，点是的中点，由折叠可知，如图，延长交于点，则，设，则，在中，即，解得，即，又，即，解得；拓展与延伸：当，在上时，如图，四边形是矩形，即，；当时，如图，沿着折叠至，综上所述的长为或4(1)见解析(2)(3)【解析】（1）如图，点，即为所求；（2）如图1中，过点作交的延长线于点，连接，过点作于点，；（3）如图2中，连接，过点作
14、于点，过点作于点交于点，5(1)正方形的边长为；(2)当时，y有最大值为15【解析】（1）解：当正方形的边在上时，则，解之得，当正方形的边在上时，正方形的边长为；（2）解：当正方形在的内部时，与正方形重叠部分的面积为正方形的面积，在对称轴的右侧，函数y的值随x的增大而增大，当时，y取最大值为；当正方形的一部分在的外部时，而，解得所以，即，且，当时，y有最大值为15，与正方形重叠部分的面积的最大值为156（1）见解析；（2）；（3）【解析】证明：如图中，是由折叠得到，四边形是正方形，在和中，；解：如图中，连接，由折叠可知，四边形是正方形，设，则，设，由折叠可知，或舍弃，；解：如图中，连接由，设，
15、由知，由折叠可知，或舍弃，7(1)；、(2)或；或【解析】（1）解：，点的面积坐标为，故答案为：；，点是的重心，即，点在内部；，点在边所在直线上；，不在内部；，在内部；故答案为：、；（2）解：，或；如图，当在内部时，即，当不在的内部时，满足条件，如图，在中，同理可得：， 轴，轴，或8(1)，(2)或(3)（1）解：如图所示：过点作交延长线于点，再过点作垂线交于点，交于点，四边形是矩形，在中，由勾股定理得：，又，四边形是平行四边形，化简得：，点在上运动，故定义域为：；（2）如图所示，此时是以为腰的等腰三角形，过点作交于点，四边形是矩形，又是以为腰的等腰三角形，由（得，在中，由勾股定理得：，即，解
16、得：的值为或，因此，的值为或；（3）解：分析点运动过程可知，随点向右运动角度不断减小，且和始终是锐角根据题意，令点的位置满足，则大于此时对应的长度就可使得外接圆圆的圆心落在的内部如下图所示，此时，同角的余角相等，同理可得：，解得：，综上可得，当时，外接圆圆的圆心落在的内部9(1)BG=，AF(2)AF=BG(3)（1）解：延长FG交AB于H，如图1，正方形和正方形，点B、C、E在同一直线上，ABC=BCD=CGD=CGH=90，AB=BC=m，CG=GF=CE=1，在RtBCG中，由勾股定理，得；BHG=90，四边形BCGH是矩形，AHG=90，GH=BC=m，BH=CG=1，AH=m-1，在
17、RtAHG中，由勾股定理，得；（2）解：连接AC、CF，如图2，正方形和正方形，ACB=FCG=45，ACB+ACG=FCG+ACG，BCG=ACF，在等腰RtABC中，由勾股定理，得AC=BC，在等腰RtFGC中，由勾股定理，得CF=CG，ACFBCG，即AF=BG；（3）解：连接AC，如图3，正方形和正方形，CAD=CFE=45，CD=AD=BC=m，CFE=CAF+ACF，CAD=CAF+FAH，FAH=ACF，AHF=CHA，AHFCHA，正方形，EF=CE=1，CF=，CH=CF+FH=+=2，AH=2，DH=AD-AG=m-2，在RtCDH中，由勾股定理，得，即解得：，(不符合题意
18、，舍去)m的值为10(1)(2)(3)（1）解：是直径，平分，；（2）过点作于点， ，是直径，平分，均为等腰直角三角形，O的半径为5，在中，；（3）设，在上取一点使，在取点使，则，四边形是的内接四边形，即，当时，同理可证，11(1)(2)(3)存在，最小值为，理由见解析（1）解：，故答案为：（2）如图1，设交于点，过点作于点，设的长为，的面积为，为等边三角形，在中，在中，y与x之间的函数关系式为（3）的面积存在最小值，最小值是6，理由如下：如图2，过点作于，过点作交延长线于，过点作于点，在中，四边形是矩形，即垂直平分，设，则，在中，当时，由（1）得，所以当且仅当时，的面积存在最小值612(1)
19、见解析(2)=2；O的半径长为（1）证明：AB是直径，BC是O的切线（2）解：如图2中，连接ODBD平分，O的半径长为13(1)，理由见解析(2)位置关系保持不变，数量关系变为；理由见解析；当为等腰三角形时，的长为或或（1）理由：如图1，四边形是正方形，四边形是正方形， 即（2）位置关系保持不变，数量关系变为理由：如图2，连接交于点O，连接，四边形是矩形，中，中，在以点O为圆心的圆上，为的直径，也是的直径，即，由知：设分三种情况：（i）当时，如图3，过E作于H，则，由勾股定理得：即（ii）当时，如图4，过D作于H，（iii）当时，如图5，综上所述，当为等腰三角形时，CG的长为或或14(1)3(
20、2)见解析；或2（1）解：四边形是矩形，由翻折可知：，设，则在中，在中，则有：，（2）证明：四边形是矩形，由（1）可得：，四边形是平行四边形，又，平行四边形是菱形，若是直角三角形，则有两种情况，当时，又，又，即，；当时，则，又，s， ，即解得：，综上所述：或215（1）；（2）详见解析；【解析】（1）解：，故答案为：（2）证明：如图中，连接，作的外接圆点是两边垂直平分线的交点，点是的外心，解：如图中，在射线的下方作，过点作于，：，16(1)(2)(3)（1）解：如下图，由图形可知，直线与双曲线和正方形OABC没有公共点，直线不在双曲线及正方形OABC之间，根据“分离直线”的定义可知，直线是函数
21、的图像与正方形OABC的“分离直线”故答案为：；（2）设直线HK与x轴的交点为点J，由点D在边HK上可知，与“分离直线”即为直线HK，分别过点D作轴于点N，作轴于点R，如下图，可知四边形为矩形，点D的坐标是，为等腰直角三角形，轴，即，解得，即点，设直线HK的解析式为，将点、点D代入中，可得，解得，直线HK的解析式为，即与“分离直线”的表达式为；（3）如下图，由题意可知点是正方形对角线的交点，且边在y轴上，可知正方形的边长为2，令直线与双曲线有唯一公共点，且点在直线上，则直线是的图像与正方形的“分离直线”，由，可得，当直线与双曲线有唯一公共点时，可有，解得，对于，其自变量x的取值范围为，即其图像
22、在第二象限，当直线与双曲线有唯一公共点时，取，此时该直线解析式为，设直线与y轴交于点P，与x轴交于点Q，当时，当时，此时点 ，点，即，四边形为正方形，轴，轴，即，解得，点的纵坐标，解得，结合“分离直线”的定义，可知点在直线上或直线下方，t的取值范围为17(1)见解析(2)EQD和EGH全等，证明见解析(3)SEHG =证明：连接，在中，是的切线；（2）解：和全等，理由如下：由（1）知，在与中，；（3）解：，由勾股定理得到：，是切线，18(1)，；理由见解析；(2)，理由见解析；(3)（1）解：线段与之间的关系为，理由如下：延长交，分别于点，四边形是正方形，即，；（2）解：线段与之间的关系为，理
23、由如下：延长交，分别于点， 四边形是矩形，即，；（3）解：连接，如图3，由已知得，由（2）得，则，由得，19(1)2或5或；(2)的长为6；(3)见解析解：根据三角形的三边关系得，1AC7，是和谐三角形，当ACBC2AB时，AC2ABBC2342，当ACAB2BC时，AC2BCAB2435，当ABBC2AC时，AC（ABBC）（34），即满足条件的AC的长为：2或5或；（2）解：在中，AB4，BC8，4AC12，在中，CDBCBD6，AB4，BD2，根据三角形的三边关系得，2AD6，为和谐三角形，当ABAD2BD时，AD2BDAB0，不符合题意；当ABBD2AD时，AD（ABBD）（42）3，
24、如图，过点A作AFBC于F，在Rt中，在Rt中，DF，CF6，在Rt中，根据勾股定理得AC；当BDAD2AB时，AD2ABBD2426，不符合题意；综上，的长为6；（3）证明：AE：EB3：2，设AE6x，则EB4x，ABAEEB10x，ABAC，AC10x，点D为AC的中点，ADCDAC5x，DBCA，CC，BDBC，如图，过点A作AMBC于M，则BMCMBC，根据勾股定理得，AM，过点D作DGBC于G，DGAM，ADCD，DGAM，MGCM，BGBMMG，过点D作DHAB于H，AHD90BGD，ADBC，AH，DH，EHAEAH，在Rt中，根据勾股定理得，DE，AE6x，AD5x，AEDE
25、2AD，为和谐三角形20(1)剩余的证明过程见解析(2)(3)【分析】（1）过G作于点Q，易证，即可得出结论；（2）过点C作于点N，过G作于点Q通过证明，即可得出结论；（3）延长AF至点G，使AF=FG，则四边形ABGF为平行四边形，通过证明即可得出结论（1）过G作于点Q，正方形BEFG，BEBG，BHGQ，BHCN，CNGQ，又，CMMG，M为CG的中点（2）过点C作于点N，过G作于点QABC=90，ABH+CBN=90，ABH+BAH=90，CBN=BAH，同理可得：，AMN=GMQ，（3）延长AF至点G，使AF=FG，AF=FG，BF=DF，四边形ABGF为平行四边形，AD=BG，ABG+BAD=180，CAE+BAD=180，ABG=BAD，AC=AB，AE=AD=BG，59
