1、 益阳市 2020 年上期高三复学摸底考试 文 科 数 学 试 题 卷 注意事项： 1本试卷包括试题卷和答题卡两部分；试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共 4 页，时量 120 分钟，满分 150 分。 2答题前，考生务必将自己的姓名、考号等填写在本试题卷和答题卡指定位置，并认真核对答题卡 条形码上的姓名、考号和科目。 3选择题和非选择题均须按答题卡的要求在答题卡上作答，在本试题卷和草稿纸上作答无效。 4考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。 第卷（选择题，共 60 分） 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求
2、的。 1.若集合 Ax|x23x40，B1,3,5，则 AB 等于( ) A3,5 B1,3 C1 D3 2.已知复数 z 满足(1 3i)z1i，则复平面内与复数 z 对应的点在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.在正项等比数列an中，若 1234 1, 9, aaaaq+=+=则公比( ) A3 B3 或3 C9 D9 或9 4.已知向量(1, 2), (2, 3)abx=，且ab，则b =( ) A.9 B.3 C.3 5 D.3 15 5.已知 0.60.8 3 2 log 0.8, 2, ( ) 3 abc=， 则, , a b c的大小关系是( )
3、A.abc B.cba C.acb D.bac 6.今年春节期间，一场突如其来的新型冠状病毒肺炎自武汉开始迅速向全国蔓延，随之而来的是医疗物 资的紧缺，由于武汉医务人员和医院床位严重不够，国家领导人当机立断，仅仅用了十多天时间建成两 座医院，名为“火神山” 、 “雷神山” ，全国人民如同一家人，纷纷捐款捐物，全国各地的白衣天使义无反 顾踏上志愿者之路，纷纷驰援武汉。假设火神山医院有 2 名志愿者医生来自湖南湘雅医院，有 2 名志愿 者医生来自广州中山医科大学附属医院，从这 4 人中任取 2 人分配新的任务，则两所医院各取一人的概 率为（ ） A. 1 3 B. 2 3 C. 1 2 D. 1
4、4 7.已知实数 x，y 满足约束条件 0 3 1 xy xy y + ，则22zxy= +的最大值是( ) A4 B3 C2 D1 8.函数 f(x)x|x|sin 2x 的大致图象是( ) 9.已知 cos4sin42 3，且 0， 2 ，则cos(2) 4 =( ) A. 215 6 B. 215 6 + C. 2 210 6 + D. 2 210 6 10.若ABC 的面积为3, 4, 1, SABBCCAC=为钝角，则( ) A.13 B.2 3 C.4 D.3 11.在棱长为 2 的正方体 1111 ABCDABC D中，P为线段 11 AD的中点，若四棱锥PABCD的五个顶点都在
5、 球 O 的球面上，则球 O 的表面积为( ) A12 B10 C 41 4 D 21 2 12.如图，已知过抛物线 2 16C yx=：焦点的直线交抛物线 C 于 P、Q 两点， 交圆 22 80xyx+=于 M、N 两点，其中 P、M 位于第一象限， 则 13 PMQN +的最小值为( ) A2 B. C D 第 II 卷（非选择题，共 90 分） 二、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分，共20 分。 13.已知函数() = | + 1| 3 ，则 3 ( () 2 f f = . 14.在如右图所示的同心圆中，圆环的宽度等于小圆的半径， 则在大圆内任取一点，该点落在阴影部分的概率为
6、. 15.已知双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab =的两条渐近线的夹角为 60， 则该双曲线的离心率为 . 16.已知关于 x 的方程 2 (2) x x ea x=+在 1,1上有且仅有 1 个解，则实数a的取值范围是 . （第 12 题图） 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17-21 题为必考题，每个试题考 生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共 60 分。 17.（12 分） 在等差数列 n a中， 235 220, aaa+=前 10 项的和 10 100S= (1)求数列 n a的通项公式；
7、 (2)若 1 1 n nn b a a + =，求数列 n b的前 n 项和 n T. 18. （12 分） 湖南省某地区 2013 年至 2019 年居民家庭人均纯收入 y(单位：万元)的数据如下表： 年份 2013 2014 2015 2016 2017 2018 2019 年份代号 t 1 2 3 4 5 6 7 人均纯收入 y 2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.9 (1)求 y 关于 t 的线性回归方程 ybta=+； (2)利用(1)中的线性回归方程，分析 2013 年至 2019 年该地区居民家庭人均纯收入的变化情况，并预 测该地区 2020 年居民家庭人均纯收
8、入(注：年份代号按表格类推) 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： 1 2 1 ()() () n ii i n i i ttyt b tt = = = ， aybt= 参考数据： 7 i 1 ()()14 ii ttyy = = .本题所有结果请不要用分数表示. 19. （12 分） 如图，在四棱柱 1111 ABCDABC D中，所有棱长均为 2， 1111 60 , 90AADAABDAB= (1)求证: 111 ACB D； (2)求对角线 1 AC的长； (3)求点 C 到平面 11 AD A的距离. 20. （12 分） 已知椭圆 22 22 1(0) xy Tab
9、ab +=：的左，右焦点分别为 12 , F F，P 为椭圆上的动点，若 12 PFF的周长 为4( 32)+，且椭圆的离心率为 6 3 . (1)求椭圆T的方程； (2)设曲线T与 y 轴正半轴交于点 B，直线 : 1l ykx= 与T交于 C、D 两点，E 是线段 CD 的中点， 证明： 2CDBE=. 21. （12 分） 已知函数( )ln2()f xxax aR= (1)讨论函数( )f x的单调性； (2)令( )(2)24 x g xef xaxa=+，证明：( )0g x （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分。请考生在第分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多
10、做，则按所做的第一题计分。题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。 22选修 44：坐标系与参数方程（10 分） 在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 1 C的极坐标方 程为 cosm= ，曲线 2 C的极坐标方程为 2 2 12 3sin = + （1）求曲线 1 C的直角坐标方程和曲线 2 C的参数方程； （2） 设曲线 1 C与曲线 2 C在第二象限的交点为A， 曲线 1 C与x轴的交点为H， 点()1,0M， 求 AMH 的周长l的最大值 23选修 45：不等式选讲（10 分） 已知 f(x)|x1|x1|的最小值为 m. (1)求 m 的值并指出取等号的条件； (2)若实数 a，b 满足 2a22b2m，求 22 11 12ab + + 的最小值并指出取最小值的条件
