1、【推荐推荐】如果您现在暂时不需要，记得收藏此网页！如果您现在暂时不需要，记得收藏此网页！因为因为再搜索到我再搜索到我的的机会为零机会为零！高一数学组:初中角的有关概念;)1(形到另一个位置所成的图点从一个位置旋转平面内一条射线绕着端.3600:)2(00范围都在.,:转方向又要知道旋既要知道旋转量实际使用中的角:规定;)1(的角叫做正角按逆时针方向旋转形成;)2(的角叫做负角按顺时针方向旋转形成.,)3(则形成零角若射线没有作任何旋转角任意角推广:,标系我们常将角放入直角坐为了讨论问题的方便;,)1(重合轴非负半轴始边与使角的顶点与原点重合x;,)2(限角就说这个角是第几象角的终边在第几象限.
2、,)3(何象限就说这个角不属于任角的终边在坐标轴上练习0000000300,150,60,60,210,300,420,角分别是第几象限角?其中哪些角终边相同?练习：课本1可构成一个集合在内连同角终边相同的角所有与角一般地,ZkkS,360|0.,与整数个周角的和都可以表示成角终边相同的角即任一与角.,12950,36001000并判定它是第几象限角相同的角角终边找出与范围内、在例.2轴上的角的集合、写出终边在例yKey:12948，为第二象限角练习：课本2、3.720360,300出来写的元素中适合不等式把并上的角的集合、写出终边在直线例SSxy练习：课本4、51、角的推广2、象限角3、终边
3、相同的角4、由图形写出角的集合表示 及由角的集合找出图形表示作业目标：目标：v1、理解并掌握弧度制的定义，、理解并掌握弧度制的定义，v2、能进行角度与弧度之间的换算。、能进行角度与弧度之间的换算。v3、能用弧度制解决简单的问题、能用弧度制解决简单的问题温故而知新温故而知新 1、角度制的定义、角度制的定义 规定周角的规定周角的1/360为为1度的角这种用度做单位来度的角这种用度做单位来度量角的制度叫角度制。度量角的制度叫角度制。12、弧长公式及扇形、弧长公式及扇形面积公式面积公式nR180l=nR2360S=nRl1、弧度制 我们把等于半径长的圆弧所对的圆心我们把等于半径长的圆弧所对的圆心角角叫
4、做叫做1弧度的角。弧度的角。设弧设弧AB的长为的长为l，若若l=r，则，则AOB=1 弧弧度度lr=OBrl=rA1弧度弧度讲授新课讲授新课 则则AOB=2 弧度弧度lr=则则AOB=2弧度弧度lr=rOABl=2r2弧度弧度l=2 rOA(B)r若若l=2r，若若l=2 r，2弧度弧度若圆心角若圆心角AOB表示一个负角，且它表示一个负角，且它所对的弧的长为所对的弧的长为3r，则，则AOB的弧度的弧度数的绝对值是数的绝对值是lr=3，即即AOB=lr=3弧度弧度l=3rOABr-3弧弧度度由弧度的定义可知：由弧度的定义可知：圆心角圆心角AOB的弧度数的绝对值等于的弧度数的绝对值等于 它所对的弧
5、的长与半径长的比。它所对的弧的长与半径长的比。定定义义的的合合理理性性1弧度弧度Rl=ROAB1弧度弧度 rl=rOAB与半径长无关与半径长无关的一个比值的一个比值一般地，我们规定：一般地，我们规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零，任一已知角零角的弧度数为零，任一已知角的弧度数的绝的弧度数的绝对值：对值：=lr其中其中l为以角为以角作为圆心角时所对圆弧的长，作为圆心角时所对圆弧的长，r r为圆的半径。这种用为圆的半径。这种用“弧度弧度”做单位来度量角的做单位来度量角的制度叫做制度叫做弧度制弧度制。2 2、弧度与角度的换算、弧度与
6、角度的换算lr=则则AOB=2弧度弧度此角为此角为周角周角 即为即为360360=2 弧度弧度180=弧度弧度l=2 rOA(B)r若若l=2 r，由由180=弧度弧度 还可得还可得1=弧度弧度 001745弧度弧度1801弧度弧度=（）5730=57181803 3、例题、例题例例1.把下列各角把下列各角化成弧度化成弧度(1)67 30 (2)120 (3)75 (4)135 (5)300 (6)-210 8 833)1(3 322)2(121255)3(4 433)4(6 677)6(3 355)5(例例2:把下列各弧度化成度把下列各弧度化成度.(1)(2)(3)(4)5 53 31212
7、5 54 46 65 5(1)108o(2)15o(3)-144o(4)-150o注注：1、对于一些特殊角的度数与弧度数、对于一些特殊角的度数与弧度数之间的换算要熟记。之间的换算要熟记。度度030 45 60 90 180 270360弧弧度度0 2 6 2 43322、用弧度为单位表示角的大小时，、用弧度为单位表示角的大小时，“弧度弧度”二字通常省略不写，但用二字通常省略不写，但用“度度”（）为单位不能省。）为单位不能省。3、用弧度为单位表示角时，通常写成、用弧度为单位表示角时，通常写成“多少多少”的形式。的形式。例3、把下列各角化成的形式：kk，202（1）；（2）；（3）31631571
8、1164433（1）：113277（3）：8)4()84(48)4(（2）:424731504例例.象象限限试试判判断断下下列列各各角角所所在在的的5)1(511)2(32000)3(1)4(4)5(8)6(5)1(250 .5是是第第一一象象限限角角 511)2(52511 .511是是第第一一象象限限角角 32000)3(3466832000 2334 又又.32000是是第第三三象象限限角角 )57.1241.3(210 4例例.象象限限试试判判断断下下列列各各角角所所在在的的4)5(8)6(1)4(.1是是第第一一象象限限的的角角 234 .4是是第第三三象象限限的的角角.8.56.1
9、24,28.62,14.3:介于两数之间而得由于分析)84(482384又.8是是第第三三象象限限的的角角 解题思路解题思路,的的角角所所在在象象限限判判断断一一个个用用弧弧度度制制表表示示一一般般是是将将其其化化成成)(2 然然的的形形式式,.所所在在象象限限予予以以判判断断后后再再根根据据 不不能能写写成成注注意意:)()12(.的的形形式式例例,33310的的形形式式写写成成不不能能 342 写成写成而应而应4 4、圆的弧长公式及扇形面积公式、圆的弧长公式及扇形面积公式Olrl =r由由=lr得得S =l r12=r2 125例.,cm4,cm82度度数数求求该该扇扇形形的的圆圆心心角角
10、的的弧弧面面积积为为已已知知扇扇形形的的周周长长为为 LR:解解则由则由弧长为弧长为设扇形半径为设扇形半径为,L,R8LR2 4LR21 4L2R 得得解解的弧度数为的弧度数为故该扇形的圆心角故该扇形的圆心角 RL 24 2 4、用弧度来度量角，实际上用弧度来度量角，实际上角的集合角的集合 与与实数集实数集R之间建立一一对应的关系：之间建立一一对应的关系：实数集实数集R R角的集合角的集合正角正角零角零角负角负角正实正实数数零零负实数负实数对应对应角的角的弧度弧度数数练习、下列角的终边相同的是（）A4kkk，42与与与与B322kk，3C2kkk，2 D 12kkk，3B练习练习.,求求出出角
11、角的的范范围围已已知知角角的的终终边边区区域域如如图图xy0045(1)xy0045(2)(2242|)(24|练习练习 )()1k2(2|A 已已知知 66|B BA:则则如如图图解解:066 2 2,2,1,3,2时时或或当当时时当当 已已超超出出.)6,6(的的范范围围 0,6|或或小结：小结：1、量角的制度、量角的制度:角度制与弧度制角度制与弧度制弧度制除了使角与实数有一一对应关系外，弧度制除了使角与实数有一一对应关系外，为以后学习三角函数打下基础。为以后学习三角函数打下基础。2、能熟练地进行角度与弧度之间的换算。、能熟练地进行角度与弧度之间的换算。lr3、弧长公式：21122Slrr
12、扇形面积公式：（其中 为圆心角 所对的弧长，为圆心角的弧度数)l例例3写出满足下列条件的角的集合（用弧度制）：写出满足下列条件的角的集合（用弧度制）：1、终边与终边与X轴正半轴重合轴正半轴重合；2、终边与终边与X轴负半轴重合；轴负半轴重合；3、终边与终边与X轴重合；轴重合；4、终边与终边与Y轴正半轴重合轴正半轴重合；5、终边与终边与Y轴负半轴重合轴负半轴重合；6、终边与终边与Y轴重合轴重合；7、第一象限内的角、第一象限内的角；8、第二象限内的角、第二象限内的角；9、第三象限内的角、第三象限内的角；10、第四象限内的角、第四象限内的角；)(2|)(2|)(|)(22|)(232|)(2|)(22
13、2|)(222|)(2322|)(22232|任意角的三角函数任意角的三角函数教材：苏教版高中实验教科书数学第四册 第1.2节日出日落，寒来暑往自然界中有许多“按一定规律周而复始”的现象，一个简单又基本的例子便是“圆周上一点的运动”yxP(x,y)OrOPr为了回答上述问题，需要将点P表示出来，思考：（1）如图2，以水平方向作参照方向，有序数对（r,）可以表示点P（2）如图3，以水平线为x轴，圆心O为坐标原点建立直角坐标系，有序数对（x,y)也可以表示点P（3）,r,x,y之间有着怎样的内在联系呢？图2图3sincostanacaACBbcbcab答案初中时，我们怎样利用直角三角形定义了锐角三
14、角函数的呢？怎样将直角的三角函数推广到任意角？怎样将直角的三角函数推广到任意角？sincostany角的终边在第一象限上yrxryx答案P（x,y)Ox的终边M角的正弦，余弦，正切与P点的选取有关吗？为什么思考：角的终边如果在第二象限，第三象限，第四象限呢？如果角的终边落在坐标轴上呢？对于确定的角 都惟一确定，故正弦和余弦都是角 的函数。当角 时，角 的终边在y轴上，故有x=0，这时tan 无意义，除此之外，对于确定的角 （），比值 也是惟一确定的，故正切也是角 的函数。yx,rr比值和()2kkZ()2kkZyx例题：例例1.1.如图如图,已知角已知角的终边经过点的终边经过点P(2,-3),
15、P(2,-3),求求的三个三角函数值的三个三角函数值.变式：角的终边落在直线3x+2y=0上,求的三角函数值.角的终边经过点(2a,-3),cos=求a的值.2 1313三角函数定义域y=sinxy=cosxy=tanx 由于角的集合与实数集之间建立了一一对应的由于角的集合与实数集之间建立了一一对应的关系，三角函数可以看成以实数为自变量的函关系，三角函数可以看成以实数为自变量的函数。在弧度制下，三角函数的定义域如下：数。在弧度制下，三角函数的定义域如下：|2x xk三角函数的定义域RR在各象限内的角的三种三角函数值的符号xOy正弦函数Oxy余弦函数Oxy正切函数 你能举出一些熟悉的角度吗？判断
16、他们的符号，并求出他们的三个三角函数值。一、问题情境一、问题情境 MO OP1的终边公式公式 一一 cos(2k+)=costan(2k+)=tanSin(2k+)=sin其中KZ终边相同的角的同一三角函数值相等问题情境问题情境 除此之外还有一些角，它们的终边具有某种特殊关系，除此之外还有一些角，它们的终边具有某种特殊关系，如如与与的终边关于的终边关于x轴轴对称、关于对称、关于y轴对称、关于轴对称、关于原点原点对称，对称，那么它们的正、余弦三角函数值分别有何关系呢？那么它们的正、余弦三角函数值分别有何关系呢？二、构二、构 建建 数数 学学探究一、若探究一、若与与的终边关于的终边关于X轴对称，轴
17、对称，它们的三角函数之间有什么关系？它们的三角函数之间有什么关系？的终边的终边的终边的终边sinsincoscostantan 公式公式 二二 sinsincoscostantan探究二、若探究二、若与与的终边关于的终边关于y轴对称，轴对称，它们的三角函数之间有什么关系？它们的三角函数之间有什么关系？公式公式 三三 sinsincoscostantan 的终边的终边的终边的终边sinsincoscostantan分析：分析：探究三、若探究三、若与与的终边关于原点对称，的终边关于原点对称，它们的三角函数之间有什么关系？它们的三角函数之间有什么关系？的终边的终边的终边的终边公式公式 四四 sins
18、incoscostantansinsincoscostantan分析：分析：三、数三、数 学学 运运 用用 重点：让学生能运用三角函数概念、图象、性质、同角三角函数的基本关系式、和差角公式等求有关最值问题；掌握求最值常见思想方法。难点：利用三角函数的性质求有关最值。下页 2.y=sinx,y=cosx的值域是。3.y=asinx+bcosx的值域是。4.a+b=m,求a b 的最大值？（a0,b0，m0)5.函数f(x)在a,b上单调递增，则f(x)的最小值为，最大值为。f(a)f(b)-1,1-,22ba 22ba 1、求函数最值常见方法：利用基本函数法，配方法，分离常数法，换元法，数形结合
19、法，基本不等式法，函数单调性法等等42m02511、求下列函数的求下列函数的 (-1x 1）最大）最大值值 、最小值、最小值 。1615)45(2 xy2、(-1x 1）的最小值是）的最小值是。xy411cos13yx3、(2003北京春招北京春招)设设M和和m分别表示分别表示 的最大值和最小值，则的最大值和最小值，则M+m等于等于()224.2333ABCDD【例例1】已知函数已知函数y=3cosx-2,求该函数的最求该函数的最值？值？变式1：若x?4,0变式2：y=求y的最值？2cos31x最大值为 1 最小值为-5最大值为 1，最小值为2223无最大值，无最小值变式变式3：若：若 求该函
20、数求该函数最值？最值？xxxfcoscos21)(变式变式4：若：若 求该函数求该函数最值？最值？xxxfsinsin21)(2无最大值，无最小值无最大值，无最小值2变式变式5：已知函数已知函数f(x)=cos4x2sinxcosxsin4x，()求求f(x)的最小正周期；的最小正周期；()若若x0，求，求f(x)的最大值、最小值的最大值、最小值.解析：解析：()因为因为 2222(cossin)(cossin)sin2xxxxx44()cos2sin cossinf xxxxxcos2sin22cos(2)4xxx22T与例1有何关系？0,2x52444x2()1;44xxf xmax当，即
21、0时,()2()2.48xxf x min3当，即时,()(2)()2cos(2)4f xx【例例2】已知 函数y=2sinx+3cosx ，求求该函数的最值？该函数的最值？变式1：一般地y=a sinx+b cosx,其中a、b 为已知实数，a、b为任意实数，求其最值？最大值为 最小值为-1313最大值为 最小值为-22ba 22ba【例例3】已知 ，求该函数的最值？3cossin2)(2xxxf变式1：已知 求该函数的最值？2cossin2cossin)(xxxxxf变式练习：已知 求该函数的最值？3cos2sin)(2xxxf最大值为 最小值为最大值为 5 最小值为14323【例例4】已
22、知函数 求该函数最值？法一）解析：（法一）：函数解析：（法一）：函数 的几何意义为两点的几何意义为两点 连线连线的斜率的斜率k，而，而Q点的轨迹为单位圆，则有点的轨迹为单位圆，则有:sincos2xyx(2,0),(cos,sin)PQxx3333kmaxmin33,33yy 2cossin)(xxxfycos2sinyxyx去分母得：maxmin33,33yy 故 （法二）：（法二）：sincos2xyxy则222331(2).33yyy 222221sin()2sin()1yyxyxy则变式1：已知函数 求函数的最值？4sin2cos3)(xxxfy最大值为 ，最小值为23232sin2
23、tanyxx 1、已知、已知 ，则，则()A、函数最小值为、函数最小值为2，最大值为，最大值为0 B、函数的最小值为、函数的最小值为4C、函数无最小值，最大值为、函数无最小值，最大值为0D、函数最小值为、函数最小值为4，最大值为，最大值为4 C2、已知，、已知，求函数的最求函数的最小值是小值是。2cossinxxy22小试身手3.已知已知 求求的最值？的最值？cos1sin)(fy4.求求 的最值？的最值？xxycos)6sin(5.设设x、y满足满足x2 +y2 =1，求，求 3x+4y 的最大值？的最大值？2,0最大值为 1，最小值0最大值为5最大值为 最小值为4143课外作业：课外作业：
24、1、函数、函数y=(sinx+1)(cosx+1)的最大值和最小值的最大值和最小值分别是分别是 、.2、设函数、设函数y=acosx+b(a，b为常数且为常数且a0)的最的最大值为大值为1，最小值为，最小值为7，那么，那么acosx+bsinx的最的最大值为大值为()A、3 B、4 C、5 D、63、设函数、设函数y=4sinx cosx+sin2x+1,求求y的的最值？最值？五、课堂小结1、化为一个角的三角函数，再利用有界性求最值 2、配方法求最值:转化为二次函数在闭区间上 的最值问题，一、如求函数2sinsin1yxx 二、如 同时出现的题型。用换元法解决 xxxxcossin,cossi
25、n 5、换元法求最值尤其是三角换元3、分离常数法，解决形如 型的函数。dxbcxaysinsin4、数形结合，解决形如 型的函数。dxbcxaycossin6、利用不等式单调性求最值六）作业六）作业：P69 T8-T11-T12图象性质图象性质任意角任意角三角函数三角函数基本基本关系式关系式诱导公式诱导公式高中数学高中数学知识体系知识体系注意问题注意问题方法指导方法指导首页首页结束放映必修一立 体几何代 数 (下册)解析几何第五章第五章 直线直线和平面和平面第六章第六章 多面多面体和旋转体体和旋转体第十一章第十一章 直线直线和圆和圆第十二章第十二章 椭圆、椭圆、双曲线、抛物线双曲线、抛物线第十
26、三章第十三章 参数参数方程、极坐标方程、极坐标回首页第一章第一章 集合集合第二章第二章 函数概念函数概念 与基本初等函数与基本初等函数必修二(2)角的度量:角度制:圆周360等分之一的弧所对的圆心角为1 角角.弧度制:等于半径长的圆弧所对的圆心角为1弧度角弧度角.换算:=180,1(弧度)57174557.3,1=(弧度).(一一)任意角的三角函数任意角的三角函数1.角的概念角的概念 2.三角三角函数函数(3)终边相同的角与象限角的表示:|=2k+,kZ或|=360k+,kZ(,终边相同)x轴正半轴=2k,kZx轴负半轴=2k+,kZ2y轴正半轴=2k+,kZy轴负半轴=2k+,kZ3222k
27、+2k ,kZ终边相同的角轴线角象限角2k+2k+2,kZ322k+2k+,kZ321802k+0)(x0)返返 回回题题(简简):设设 的终边在直线的终边在直线y=-2x 上上,那么那么sin 的值为的值为()说明：这题极易选说明：这题极易选错错,可判断对定义理可判断对定义理解的透彻性解的透彻性.解解:为第二象限角,2k+2k+(kZ)-2k-2k-(kZ),即-是第三象限角.又k+k+(kZ),分别令k为奇数和偶数,可知 为第一或第三 象限角,同法可求得 是第一或第二或第三象限角.注意不等式运算性质注意不等式运算性质.2224223返 回题题:已知已知 是第二象限角是第二象限角,那么那么-
28、、各是第几象限角各是第几象限角?23(二二)同角三角函数的基本关系式同角三角函数的基本关系式1.关系式关系式 2.应用应用1.关系式(三倒二商三平方):(1)sincsc=1;cossec=1;tancot=1(2)tan=;cot=(3)sin2+cos2=1;1+tan2=sec2;1+cot2=csc2cossinsincos2.利用上述关系,可以解决以下问题:(1)已知某角的一个三角函数值,求其他各三角函数值;(2)化简某些三角函数式;(3)证明某些三角恒等式.例:已知sincos=,且 ,则cos-sin=_.1842-32详 解应够熟练吧应够熟练吧?要再做要再做3题吗题吗?要要!不
29、不!返返 回回解解:sincos=,而sin2+cos2=1,(cos-sin)2=sin2+cos2-2sincos =1-=又 cos,cos-sin=-18143424 32返 回2.已知tan=,则 =_.cos+sincos-sin2提示提示:显然显然cos 0,分子分母同除以分子分母同除以cos 后代入即得后代入即得1.已知是第三象限角,则 sec1+tan2+tansec2-1=()(A)1 (B)1 (C)-1 (D)以上都不对3.已知:(0,),化简1+2sincos-1-2sincos.2-3-2 2提示提示:原式原式=sec|sec|+tan|tan|,又又 为第三象限角
30、为第三象限角,sec 0,从而得从而得.C解解:原式原式=(sin+cos)2-(sin-cos)2 =|sin+cos|-|sin-cos|当当0 时时,0sin cos;当当 时时,0cos 0,0时,A称为该函数的振幅振幅,2=T称为函数的周期周期,(为角速度),x+称为函数的相位相位,称为函数的初相初相.(2)当A0,0,xR时,y=Asin(x+)的图象,可以看作把y=sinx的图象上的所有的点向左(当0)或向右(1)或伸长(01)或缩短(0A0,A0)的图象如右,则函数的解析式为_.yxO-(0,-)352-5.函数y=cos2x+4sinx+1的最大值为_.最小值为_.6.已知函
31、数y=log0.5cos2x.(1)求定义域、值域;(2)判断函数的奇偶性;(3)求函数的单调区间.详详 解解BD 3-1y=2sin(+)2x35 35-3详详 解解答案答案:(1)定义域定义域(k-,k+)(k Z);值域值域y|y0;(2)偶函数偶函数;(3)在在(k-,k ,在在k,k+)(k Z)4 4 4 4详详 解解详详 解解返返 回回 回首页xx题题:下列函数中,既在区间(0,)内递增,又是以2为 最小正周期的偶函数是()(A)y=|sinx|(B)y=1-cos2 (C)y=2cosx(D)y=cot 22解解:(A)答案是以为周期的函数,且在 ,)上是 减函数,可排除;(C
32、)答案中,t=cosx在(0,)单调递减,而y=2t为 增函数,故该函数在(0,)单调递减,排除;(D)答案显然不是偶函数,且在(0,)单调递减,也可排除;故选(B),其实(B)中函数可化为y=sin2 (还可继续化为y=(1-cosx),分析可知满足题意.2x212返回返回注注:用排除法解选择题是常用方法用排除法解选择题是常用方法!题题:函数y=asinx+b的最大值为2,最小值为-4,则a=_,b=_.解解:sinx的最大值为1,最小值为-1,该函数的最大值为|a|+b,而最小值为-|a|+b,由题得:|a|+b=2,-|a|+b=-4,解得:a=3,b=-1.注注:利用利用sinx和和c
33、osx的最大值为的最大值为1,最小值为最小值为-1 (有时还要结合二次函数图象性质有时还要结合二次函数图象性质,如后面如后面 的第的第5题题)来出题解题是经常的事所以应该来出题解题是经常的事所以应该 经常想起这点经常想起这点.返返 回回解解:T=2-(-)=3,=3,=.又当x=-时,函数取最大值,-+=,即=.又图象过点(0,-3),有Asin=-3,则A=2.故解析式为y=2sin(+).5253537474-5222322x3232题题:函数y=Asin(x+)(其中0,A0)的图象如右,则函数的解析式为_.yxO-(0,-)352-注注:利用图象的直观性结合利用图象的直观性结合y=As
34、in(x+)曲线的特征曲线的特征 确定确定A、的值的值,是理解曲线与图象位置关系的是理解曲线与图象位置关系的 重要内容重要内容,可培养数形结合、待定系数法解题思想可培养数形结合、待定系数法解题思想.返返 回回 (3)由cosx的单调性、定义域及复合函数单调性 得:当2k-0,得:2k-2x2k+(kZ)定义域为x|k-xk+,kZ 又0cos2x1,y0,即值域为y|y0.2244题题:已知函数y=log0.5cos2x.(1)求定义域、值域;(2)判断函数的奇偶性;(3)求函数的单调区间.(2)f(-x)=log0.5cos(-2x)=log0.5cos2x=f(x),(x)是偶函数.返返
35、回回(五五)方法指导方法指导1.坐标法坐标法 2.主元法主元法 3.递归法递归法 4.几何模型法几何模型法 5.图象变换法图象变换法3.递归法:(1)诱导公式可化任意角三角函数为锐角三角函数.(2)诱导公式中的角为任意角,确定符号时当锐角处理.(3)研究周期函数图象性质时,可先归到一特殊周期研究.1.坐标法(数形结合法的表现):角的概念在平面直角坐标系中出现,能直观地说明角的内涵,终边相同的角、象限角等概念能把众多角归类.2.主元法:当问题涉及多种三角函数或多个角时,据条件选取其中一个三角函数或一个角为主元,把其他各三角函数或角进行变换,化为主元三角函数或同角三角函数.简单说成:化同名化同名,
36、化同角化同角,切割常化弦切割常化弦.返返 回回证明:在平面直角坐标系中,取单位圆(如图).依定义可知,sin=MP,tan=AT,而即 为弧AP的长.考虑三角形OMP和OAT及扇 形OAP的面积,有SOMPS扇形OAPSOAT,再据三角形及扇形面积计算得:MP弧长AP0,0)的图象作法,除了用“五点法”外,还有图象变换法(平移变换、伸缩变换).O MAPTxy例例:已知已知(0,90),求证求证:sin tan.(六六)注意问题注意问题1.区分区分“角角”2.判断符号判断符号 3.恒等变换恒等变换4.活用公式活用公式 5.由形察数由形察数 6.对称问题对称问题1.区分“角”:主要指当角相同时,
37、三角函数值相等;而当三角函数值三角函数值 相等时相等时,角不一定相等角不一定相等!特别是终边相同的角并不就是相终边相同的角并不就是相 同的角同的角!初学三角函数时常会把它们混在一起.2.判断符号:一指诱导公式诱导公式中各符号的判断;二指利用“一倒二商三 平方”的“平方关系平方关系”求值时,需根据角的范围来确定平方 根号前的“+”或“-”号.看个例题看个例题如如:sin=0.5,(360,450),则则=390,千万千万 不能写成了不能写成了30!如果用弧度制写更易出错如果用弧度制写更易出错!返返 回回3.恒等变换:主要指在化简或证明过程中,必须在定义域上对式子进行保“值”变“形”,避免会改变定
38、义域的变换.这在下一章里更多出现,要注意.4.活用公式:在化简求值等变形中,要合理决定变换的简捷程序,善于观察角,如x+30和60-x互余,x+45与135-x互补等.这也在下一章更多见.5.由形察数:这是数形结合思想的一个方面.既可从图形中发现一些函数性质,又可从图形中得到函数解析式.看个例题看个例题例例:函数函数y=在在x(-,)时为奇函数时为奇函数,而而 在在x R时却是非奇非偶函数时却是非奇非偶函数,原因即在此原因即在此.1+sinx-cosx1+sinx+cosx2 2 6.对称问题:函数y=Asin(x+)的对称轴可由图象的直观性得到,为“过最高(低)点且与x轴垂直的直线”,即x=
39、(kZ).又令x+=k,就得到函数图象的对称中心是点(,0)(kZ).k+-2 k-试做一题试做一题题题:下面函数中,图象以直线x=为对称轴的是()(A)y=sinx (B)y=cosx (C)y=tanx y=cotx12解解:y=sinx的对称轴由x=k+得到,即x=k+,(kz),令k=0,即得x=;y=cosx的对称轴由x=k得到,即x=k,(kz);而y=tanx和y=cotx的图象都不是轴对称图形.故选(A)22 121答案为答案为-1,你做对了吗你做对了吗?注注:若把这种题变形若把这种题变形,出这样一道题出这样一道题,看会不会做看会不会做:如果函数如果函数y=sin2x+acos
40、2x的图象关于直线的图象关于直线x=-对称对称,那么那么a=_.8返返 回回任意角任意角三角函数三角函数基本基本关系式关系式诱导公式诱导公式图象性质图象性质注意问题注意问题方法指导方法指导1.角的概念角的概念 2.三角函数三角函数1.关系式关系式 2.应用应用1.常用的六组诱导公式常用的六组诱导公式 2.利用诱导公式求任意角的利用诱导公式求任意角的 三角函数值三角函数值1.函数的图象与主要性质函数的图象与主要性质 2.周期函数周期函数3.正弦型函数正弦型函数y=Asin(x+)的一些概念、性质的一些概念、性质1.坐标法坐标法 2.主元法主元法 3.递归法递归法 4.几何模型法几何模型法 5.图
41、象变换法图象变换法1.区分区分“角角”2.判断符号判断符号 3.恒等变换恒等变换4.活用公式活用公式 5.由形察数由形察数 6.对称问题对称问题返回返回首页首页结束结束 放映放映说明说明:“三角函数三角函数”部部分的高考试题选编在分的高考试题选编在下一章下一章“两角和差两角和差”后统一附录后统一附录.在物理和数学中，我们学习了很多在物理和数学中，我们学习了很多“量量”，如年龄，如年龄，身高，位移，长度，速度，加速度，面积，体积，力，身高，位移，长度，速度，加速度，面积，体积，力，质量等，大家一起分析一下，这些质量等，大家一起分析一下，这些“量量”有什么不同？有什么不同？*数学中我们把年龄，身高
42、，长度，面积，数学中我们把年龄，身高，长度，面积，体积，质量等叫数量；体积，质量等叫数量；*把位移，力，速度，加速度等叫向量。把位移，力，速度，加速度等叫向量。数量只有大小，没有方向；数量只有大小，没有方向；向量有大小，也有方向。向量有大小，也有方向。既有大小又有方向的量叫向量既有大小又有方向的量叫向量.向量通常向量通常用有向线段（用有向线段（带有方向的线段带有方向的线段）来表示）来表示;A(起点）B（终点）有向线段的三个要素：有向线段的三个要素：起点、方向、长度起点、方向、长度a以以A为起点，为起点，B为终点的向量表示为：为终点的向量表示为：AB 或或a注意：用注意：用a,b,ca,b,c表
43、示向量时，表示向量时，印刷用黑体印刷用黑体a a，书写用，书写用a此重点此重点也，望也，望记住记住单位向量单位向量:长度为长度为1个单位长度的向量。个单位长度的向量。2.2.两个基本向量两个基本向量:AB|AB 1.1.向量的长度向量的长度(模模):向量向量 的大小的大小 表示为：表示为：,零向量零向量:长度为零的向量长度为零的向量(方向任意方向任意).表示为：表示为：0|0|0 3.向量的关系：向量的关系：规定：零向量与任一向量平行规定：零向量与任一向量平行;记作记作:0/a 平行向量平行向量:方向相同或相反的非零向量叫平行向量方向相同或相反的非零向量叫平行向量.表示为：表示为：/ab相等向
44、量相等向量:长度相等且方向相同的向量长度相等且方向相同的向量.表示为：表示为：ababc 共线向量共线向量:任一组平行向量都可平移到同一直线上任一组平行向量都可平移到同一直线上.即平行向量也叫做共线向量即平行向量也叫做共线向量.abcBOAC思考：思考：共线向量一定在一条直线上吗？共线向量一定在一条直线上吗？巩固练习：巩固练习：判断下列结论是否正确。判断下列结论是否正确。(1)(1)平行向量方向一定相同；平行向量方向一定相同；()()(2)(2)不相等向量一定不平行；不相等向量一定不平行；()()(3)(3)与零向量相等的向量是零向量；与零向量相等的向量是零向量；()()(4)(4)与任何向量
45、都平行的向量是零向量；与任何向量都平行的向量是零向量；()()(5)(5)共线向量一定在一条直线上；共线向量一定在一条直线上；()()(6)(6)若两向量平行若两向量平行,则这两向量的方向相同或相反则这两向量的方向相同或相反;()()(7)(7)相等向量一定是平行向量。相等向量一定是平行向量。()()BAFEDCO例例1.1.如图如图,设设O O是正六边形是正六边形ABCDEFABCDEF的中心的中心,分别写分别写 出图中与向量出图中与向量 相等的向量相等的向量.,OA OB OC 问题问题:(1)(1)与与 相等吗相等吗?(2)(2)与与 相等吗相等吗?(3)(3)与与 长度相等的向量有几个
46、长度相等的向量有几个?(4)(4)与与 共线的向量有哪几个共线的向量有哪几个?OA FE OB AF OA OA 解：解：;OACBDO ;OBDCEO ;OCABEDFO 4 5,ABABAB 例2：在方格纸中有一个向量以图中的格点为起点和终点作向量，其中与相等的向量有多少个？与长度相等的共线向量有多少个？(AB除外）AB相等的有相等的有7个个长度相等长度相等的有的有15个个 根据下列小题的条件，分别判断四边形根据下列小题的条件，分别判断四边形ABCDABCD 的形状：的形状：（1 1）；（2 2）且且ADBC ABDC ABAD （1 1）四边形）四边形ABCDABCD是平行四边形。是平行
47、四边形。CABDABCD（2 2）四边形）四边形ABCDABCD是菱形。是菱形。1.1.判断下列结论是否正确，并说明理由。判断下列结论是否正确，并说明理由。（1 1）单位向量都是相等向量；）单位向量都是相等向量；（）（2 2）物理学中的作用力与反作用力是一对共线向量；（）物理学中的作用力与反作用力是一对共线向量；（）（3 3）方向为南偏西）方向为南偏西6060的向量与北偏东的向量与北偏东6060的向量是共线向的向量是共线向 量；量；（）（4 4）直角坐标平面上的）直角坐标平面上的x x轴、轴、y y轴都是向量。（轴都是向量。（）2.2.已知边长为已知边长为3 3的等边三角形的等边三角形ABCA
48、BC，求，求BCBC边上的中线向量边上的中线向量 的模的模 。ADAD3 32向量的相反向量向量的相反向量定义：定义：注意：注意：.ABBA ,aa aa 我们把与向量 长度相等，方向相反的向量叫做a的相反向量，记作与互为相反向量。零向量的相反向量仍是零向量。零向量的相反向量仍是零向量。)aa（1）下列各量中是向量的是（）下列各量中是向量的是（）A时间时间 B速度速度 C面积面积 D.长度长度练习：练习：（2）等腰梯形）等腰梯形 中，对角线中，对角线 与与 相交于点相交于点 ，点，点 、分别在两腰分别在两腰 、上，上，过点过点 且且 ，则下列等式，则下列等式 正确的是（正确的是（）A B C
49、D ABCDACBDPFADBCEFPABEF/BCAD BDAC PFPE PFEP EBD(3).下列说法正确的是()A)方向相同或相反的向量是平行向量.B)零向量是 .C)长度相等的向量叫做相等向量.D)共线向量是在一条直线上的向量.B(4).已知a、b是任意两个向量,下列条件:a=b;|a|=|b|;a与b的方向相反;a=0或b=0;a与b都是单位向量.能判定向量a与b平行的是_.0小结：小结：提问提问:1.1.本节主要介绍了哪些概念本节主要介绍了哪些概念?2.2.向量如何表示向量如何表示?2 向量的加法 和仍为向量已知向量 ，在平面内任取一点O；作 ，则 叫做 与 的和，记作 BAC
50、ABCabOAaABbOBabab 向量加法的三角形法则：向量加法的平行四边形法则：，向量的加法满足交换律、结合律：，a00aaa(a )(a)a 0abba(ab)c a(bc)练习化简下列各式：；例 如图，点O是正六边形ABCDEF的中心，设BAa，BCb 试用a，b表示向量OE，BF，BD 3 向量的减法 差仍为向量向量的减法是向量加法的逆运算 若 ，则 叫做 与 的差，记作 作图：两向量 ，起点相同；连接两终点；差向量方向指向被减向量bxaxbabaabab a(b )练习1若bAB，cAC，则BC()Abc Bcb Cbc Dbc2化简：ABACBDCDAD；ABMBBOOM；ABD
