1、4.2.2圆与圆的位置关系1.1.理解圆与圆的五种位置关系理解圆与圆的五种位置关系.2.2.会利用两点间的距离公式求两圆的圆心距会利用两点间的距离公式求两圆的圆心距.3.3.会用连心线的长判断两圆的位置关系会用连心线的长判断两圆的位置关系.圆与圆的位置关系圆与圆的位置关系设两圆设两圆C C1 1,C,C2 2的半径分别为的半径分别为R R和和r,r,圆心距为圆心距为d,d,则两圆的位置关系则两圆的位置关系如下表如下表,请完成下表：请完成下表：dR+rdR+rd=R+rd=R+r|R-r|dR+r|R-r|dR+rd=|R-r|d=|R-r|d|R-r|d1),(r1),若两圆相交若两圆相交,则
2、则r r的取值范围是的取值范围是.(3)(3)若圆若圆O O1 1：x x2 2+y+y2 2=4=4与圆与圆O O2 2：(x-a)(x-a)2 2+y+y2 2=1=1外切外切,则则a=_.a=_.【解析解析】(1)(1)因为因为R=5,r=2,d=3,R=5,r=2,d=3,所以所以d=R-r,d=R-r,所以两圆内切所以两圆内切.答案：答案：内切内切(2)(2)因为圆心距因为圆心距d=|Od=|O1 1O O2 2|=2,|=2,且两圆相交且两圆相交,所以所以r-1dr+1,r-1dr+1,即即r-12r+1,r-12r+1,所以所以1r3.1r3.答案：答案：1r31r3(3)(3)
3、因为因为d=|Od=|O1 1O O2 2|=|a|,|=|a|,所以所以|a|=2+1=3,|a|=2+1=3,所以所以a=a=3.3.答案：答案：3 322a0一、两圆的位置关系一、两圆的位置关系探究探究1 1：观察下列圆与圆之间的位置关系：观察下列圆与圆之间的位置关系,思考下列问题思考下列问题.(1)(1)圆与圆的位置关系有哪几种圆与圆的位置关系有哪几种?提示：提示：两个大小不等的圆两个大小不等的圆,其位置关系有外离、外切、相交、其位置关系有外离、外切、相交、内切、内含五种情况内切、内含五种情况.(2)(2)影响圆与圆的位置关系的数量因素是什么影响圆与圆的位置关系的数量因素是什么?提示：
4、提示：两圆的半径和与差与圆心距之间的大小关系两圆的半径和与差与圆心距之间的大小关系.探究探究2 2：我们知道判断直线与圆的位置关系有几何法和代数法：我们知道判断直线与圆的位置关系有几何法和代数法,类比直线与圆的位置关系的判断类比直线与圆的位置关系的判断,思考下列问题思考下列问题.(1)(1)用代数法判断圆与圆的位置关系用代数法判断圆与圆的位置关系,结合下表填空结合下表填空.提示：提示：(2)(2)结合上表分析，结合上表分析，“若两圆的方程组成的方程组无解，则两若两圆的方程组成的方程组无解，则两圆外离圆外离”，这种说法对吗？请说明理由，这种说法对吗？请说明理由.提示：提示：这种说法不正确，因为两
5、圆的方这种说法不正确，因为两圆的方程组成的方程组无解，说明两圆无公共程组成的方程组无解，说明两圆无公共点，两圆无公共点有外离、内含两种情点，两圆无公共点有外离、内含两种情况，不能说两圆一定外离况，不能说两圆一定外离.探究提示：探究提示：注意两注意两圆无公共点分外离圆无公共点分外离和内含两种情况和内含两种情况.【探究提升探究提升】判断圆与圆位置关系的两点说明判断圆与圆位置关系的两点说明(1)(1)利用代数法判断两圆的位置关系时利用代数法判断两圆的位置关系时,由由=0=0得两圆相切得两圆相切,由由00得两圆相离得两圆相离,但是无法区分内切或外切但是无法区分内切或外切,内含或外离内含或外离.(2)(
6、2)采用几何法判断圆与圆的位置关系采用几何法判断圆与圆的位置关系,需比较两圆半径的和、需比较两圆半径的和、两圆半径差的绝对值和两圆圆心距的大小关系两圆半径差的绝对值和两圆圆心距的大小关系,因此必须正确因此必须正确求出两圆的圆心坐标和半径求出两圆的圆心坐标和半径.二、两圆相交二、两圆相交观察奥运五环图案观察奥运五环图案,思考并探究下面的问题：思考并探究下面的问题：探究探究1 1：若两圆：若两圆C C1 1：x x2 2+y+y2 2+D+D1 1x+Ex+E1 1y+Fy+F1 1=0=0和和C C2 2：x x2 2+y+y2 2+D+D2 2x+Ex+E2 2y+y+F F2 2=0=0相交
7、相交,M(x,M(x0 0,y,y0 0)为一个交点为一个交点,则点则点M(xM(x0 0,y,y0 0)在直线在直线(D(D1 1-D-D2 2)x+)x+(E(E1 1-E-E2 2)y+F)y+F1 1-F-F2 2=0=0上吗上吗?提示：提示：在在.因为因为M(xM(x0 0,y,y0 0)为为C C1 1与与C C2 2的交点的交点,所以所以M(xM(x0 0,y,y0 0)在圆在圆C C1 1,C,C2 2上上,所以所以两式相减得两式相减得(D(D1 1-D-D2 2)x)x0 0+(E+(E1 1-E-E2 2)y)y0 0+F+F1 1-F-F2 2=0,=0,所以所以M(xM
8、(x0 0,y,y0 0)在直线在直线(D(D1 1-D-D2 2)x+(E)x+(E1 1-E-E2 2)y+F)y+F1 1-F-F2 2=0=0上上.222200101010020202xyD xE yF0,xyD xE yF0，探究探究2 2：将两个相交的圆的方程：将两个相交的圆的方程x x2 2+y+y2 2+D+Di ix+Ex+Ei iy+Fy+Fi i=0(i=1,2)=0(i=1,2)相相减减,可得一直线方程可得一直线方程,这条直线方程具有什么样的特殊性呢这条直线方程具有什么样的特殊性呢?提示：提示：两圆相减得一直线方程两圆相减得一直线方程,它经过两圆的公共点它经过两圆的公共
9、点.经过相经过相交两圆的公共交点的直线是两圆的公共弦所在的直线交两圆的公共交点的直线是两圆的公共弦所在的直线.探究探究3 3：若两圆：若两圆C C1 1：x x2 2+y+y2 2+D+D1 1x+Ex+E1 1y+Fy+F1 1=0=0和和C C2 2：x x2 2+y+y2 2+D+D2 2x+Ex+E2 2y y+F+F2 2=0=0相切相切,则方程则方程(D(D1 1-D-D2 2)x+(E)x+(E1 1-E-E2 2)y+F)y+F1 1-F-F2 2=0=0表示的直线是什表示的直线是什么么?若两圆相离呢若两圆相离呢?提示：提示：当圆当圆C C1 1,C,C2 2外切时外切时,方程
10、方程(D(D1 1-D-D2 2)x+(E)x+(E1 1-E-E2 2)y+F)y+F1 1-F-F2 2=0=0就是就是两圆的内公切线两圆的内公切线;当圆当圆C C1 1,C,C2 2内切时内切时,方程方程(D(D1 1-D-D2 2)x+(E)x+(E1 1-E-E2 2)y+)y+F F1 1-F-F2 2=0=0就是两圆的公切线就是两圆的公切线;当圆当圆C C1 1,C,C2 2相离时相离时,方程方程(D(D1 1-D-D2 2)x+)x+(E(E1 1-E-E2 2)y+F)y+F1 1-F-F2 2=0=0表示一条与两圆连心线垂直的直线表示一条与两圆连心线垂直的直线.【拓展延伸拓
11、展延伸】过两圆过两圆C C1 1：x x2 2+y+y2 2+D+D1 1x+Ex+E1 1y+Fy+F1 1=0=0和和C C2 2：x x2 2+y+y2 2+D+D2 2x+Ex+E2 2y+Fy+F2 2=0=0交点的圆系的方程交点的圆系的方程方程：方程：x x2 2+y+y2 2+D+D1 1x+Ex+E1 1y+Fy+F1 1+(x+(x2 2+y+y2 2+D+D2 2x+Ex+E2 2y+Fy+F2 2)=0,)=0,其中其中为为任意实数任意实数.(1)(1)当两圆当两圆C C1 1,C,C2 2相交时相交时,方程表示过两圆方程表示过两圆C C1 1,C,C2 2的交点的圆系的
12、交点的圆系方程方程(但方程所表示的圆不包括圆但方程所表示的圆不包括圆C C2 2,圆系中的一切圆都和圆系中的一切圆都和C C1 1,C,C2 2相交相交).).(2)(2)当圆当圆C C1 1,C,C2 2相切时相切时,方程表示过两圆方程表示过两圆C C1 1,C,C2 2的切点的圆系方的切点的圆系方程程(但方程所表示的圆不包括圆但方程所表示的圆不包括圆C C2 2,圆系中的一切圆都和圆系中的一切圆都和C C1 1,C,C2 2相切相切).).【探究提升探究提升】对两圆相交问题的两点说明对两圆相交问题的两点说明(1)(1)若两圆相交若两圆相交,只要只要x x2 2,y,y2 2的系数对应相等的
13、系数对应相等,两圆方程作差所得两圆方程作差所得方程即为两圆公共弦所在的直线方程方程即为两圆公共弦所在的直线方程.(2)(2)注意用两圆的方程相减求公共弦所在直线的方程必须在两注意用两圆的方程相减求公共弦所在直线的方程必须在两圆相交的条件下才成立圆相交的条件下才成立.类型类型 一一 圆与圆位置关系的判定圆与圆位置关系的判定通过解答下列圆与圆位置关系的题目通过解答下列圆与圆位置关系的题目,总结两圆位置关系总结两圆位置关系的两种判断方法的两种判断方法.1.1.若若a a2 2+b+b2 2=4,=4,则两圆则两圆(x-a)(x-a)2 2+y+y2 2=1=1与与x x2 2+(y-b)+(y-b)
14、2 2=1=1的位置关系是的位置关系是.2.2.已知两圆已知两圆C C1 1：x x2 2+y+y2 2-2ax+4y+a-2ax+4y+a2 2-5=0-5=0和和C C2 2：x x2 2+y+y2 2+2x-2ay+a+2x-2ay+a2 2-3=0.3=0.(1)(1)当当a a为何值时为何值时,两圆外切两圆外切.(2)(2)当当a=1a=1时时,试判断两圆的位置关系试判断两圆的位置关系.【解题指南解题指南】1.1.计算两圆的圆心距计算两圆的圆心距,判断与两圆半径的关系判断与两圆半径的关系.2.(1)2.(1)将圆的方程化成标准方程将圆的方程化成标准方程,求出圆心、半径、圆心距求出圆心
15、、半径、圆心距.借借助两圆外切的条件列出关于助两圆外切的条件列出关于a a的方程的方程.(2)(2)当当a=1a=1时时,需计算圆心距需计算圆心距d=|Cd=|C1 1C C2 2|及两圆半径及两圆半径r r1 1,r,r2 2,然后通然后通过过d d与与r r1 1,r,r2 2的关系确定两圆的位置关系的关系确定两圆的位置关系.【解析解析】1.1.因为两圆的圆心分别为因为两圆的圆心分别为O O1 1(a,0),O(a,0),O2 2(0,b).(0,b).半径半径r r1 1=r=r2 2=1,=1,所以所以|O|O1 1O O2 2|=2=r|=2=r1 1+r+r2 2,故两圆外切故两圆
16、外切.答案：答案：外切外切22ab2.2.将两圆的方程写成标准方程为将两圆的方程写成标准方程为C C1 1：(x-a)(x-a)2 2+(y+2)+(y+2)2 2=9,=9,C C2 2：(x+1)(x+1)2 2+(y-a)+(y-a)2 2=4.=4.所以两圆的圆心和半径分别为所以两圆的圆心和半径分别为C C1 1(a,-2),r(a,-2),r1 1=3,C=3,C2 2(-1,a),r(-1,a),r2 2=2.=2.设两圆的圆心距为设两圆的圆心距为d,d,则则d d2 2=(a+1)=(a+1)2 2+(-2-a)+(-2-a)2 2=2a=2a2 2+6a+5.+6a+5.(1)
17、(1)当当d=5,d=5,即即2a2a2 2+6a+5=25+6a+5=25时时,两圆外切两圆外切,此时此时a=-5a=-5或或a=2.a=2.(2)(2)当当a=1a=1时时,d=r,d=r1 1=3,r=3,r2 2=2,=2,因为因为|r|r2 2-r-r1 1|dr|dr2 2+r+r1 1,所以两圆相交所以两圆相交.22a6a513，【互动探究互动探究】若题若题2 2条件不变，则当条件不变，则当a a为何值时，两圆内切为何值时，两圆内切.【解析解析】当当d=|rd=|r2 2-r-r1 1|=|2-3|=1|=|2-3|=1，即，即2a2a2 2+6a+5=1+6a+5=1时，两圆内
18、切，时，两圆内切，此时此时a=-2a=-2或或a=-1.a=-1.【技法点拨技法点拨】两圆位置关系的判断方法两圆位置关系的判断方法提醒：提醒：仅从圆与圆的交点个数判定两圆位置关系仅从圆与圆的交点个数判定两圆位置关系,可能无法得可能无法得出最终结论，如有出最终结论，如有1 1个交点个交点,就不能判定是内切还是外切就不能判定是内切还是外切,应再应再结合图象判定结合图象判定.【拓展延伸拓展延伸】两圆公切线的条数问题两圆公切线的条数问题两圆的公切线：两圆外离时两圆的公切线：两圆外离时,有四条公切线有四条公切线;外切时外切时,有三条公有三条公切线切线;相交时相交时,有两条公切线有两条公切线;内切时内切时
19、,仅有一条公切线仅有一条公切线;内含时内含时,没有公切线没有公切线.【变式训练变式训练】两圆两圆x x2 2+y+y2 2=9=9和和x x2 2+y+y2 2-8x+6y+9=0-8x+6y+9=0的位置关系是的位置关系是 ()A.A.相离相离 B.B.相交相交 C.C.内切内切 D.D.外切外切【解析解析】选选B.B.圆圆x x2 2+y+y2 2-8x+6y+9=0-8x+6y+9=0的圆心为的圆心为(4,-3),(4,-3),半径为半径为4.4.两两圆心之间的距离为圆心之间的距离为5,5,因为因为|3-4|53+4,|3-4|50)+2ay-6=0(a0)的公共弦长为的公共弦长为2 ,
20、2 ,则则a=a=.2.(20132.(2013烟台高一检测烟台高一检测)已知两圆已知两圆C C1 1：x x2 2+y+y2 2-2x-6y+1=0-2x-6y+1=0和圆和圆C C2 2：x x2 2+y+y2 2-10 x-12y+45=0.-10 x-12y+45=0.求两圆的公共弦所在直线的方程和求两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长公共弦的长.3【解题指南解题指南】1.1.先求出公共弦所在的直线方程先求出公共弦所在的直线方程,利用圆利用圆x x2 2+y+y2 2=4=4的半径和圆心到直线的距离及半弦长求解的半径和圆心到直线的距离及半弦长求解.2.2.先求两圆的公共弦所在的直线方
21、程先求两圆的公共弦所在的直线方程,然后求圆心然后求圆心C C1 1到公共弦到公共弦所在直线的距离所在直线的距离d,d,最后利用公共弦的长最后利用公共弦的长 即可得解即可得解.2212 rd【解析解析】1.1.两圆方程作差知公共弦所在直线方程为两圆方程作差知公共弦所在直线方程为 如图如图.由已知得由已知得|AC|=|AC|=，OAOA=2.=2.因为因为a0,a0,所以所以|OC|OC|=1,=1,所以所以a=1.a=1.答案：答案：1 11y.a31a2.2.设两圆的交点为设两圆的交点为A(xA(x1 1,y,y1 1)，B(xB(x2 2,y,y2 2)，则，则A A，B B两点满足方程两点
22、满足方程组组 将两个方程相减得将两个方程相减得4x+3y-22=04x+3y-22=0，即为两圆公共弦所在直线的方程即为两圆公共弦所在直线的方程.易知圆易知圆C C1 1的圆心的圆心(1(1，3)3)，半径，半径r=3r=3，则点，则点C C1 1到直线到直线4x+3y-22=04x+3y-22=0的距离的距离故公共弦故公共弦ABAB的长为的长为2222xy2x6y10,xy10 x12y450,22|4922|9d.5432281242 rd2 9.255【技法点拨技法点拨】求两圆公共弦长及公共弦所在直线的方程的两求两圆公共弦长及公共弦所在直线的方程的两种方法种方法(1)(1)方法一：解方程
23、组求出两圆交点坐标方法一：解方程组求出两圆交点坐标,然后由两点间距离然后由两点间距离公式求弦长公式求弦长,由两点坐标求公共弦所在直线方程由两点坐标求公共弦所在直线方程.本方法运算本方法运算量较大量较大,一般不常用一般不常用.(2)(2)方法二：方法二：【变式训练变式训练】已知圆已知圆O O：x x2 2+y+y2 2=25=25和圆和圆C C：x x2 2+y+y2 2-4x-2y-20=0-4x-2y-20=0相相交于交于A,BA,B两点两点,求公共弦求公共弦ABAB的长的长.【解析解析】两圆方程相减得弦两圆方程相减得弦ABAB所在直线的方程为所在直线的方程为4x+2y-5=0.4x+2y-
24、5=0.圆圆O O：x x2 2+y+y2 2=25=25的圆心到直线的圆心到直线ABAB的距离的距离所以公共弦所以公共弦ABAB的长为的长为|AB|=|AB|=|5|5d,2202252 rd2 2595.4类型类型 三三 与两圆相切有关的问题与两圆相切有关的问题通过解答与两圆相切有关的问题通过解答与两圆相切有关的问题,试总结处理两圆相切问试总结处理两圆相切问题的两个步骤题的两个步骤.1.(20131.(2013哈尔滨高二检测哈尔滨高二检测)半径为半径为6 6的圆与的圆与x x轴相切轴相切,且与圆且与圆x x2 2+(y-3)+(y-3)2 2=1=1内切内切,则此圆的方程是则此圆的方程是(
25、)A.(x-4)A.(x-4)2 2+(y-6)+(y-6)2 2=6=6B.(x+4)B.(x+4)2 2+(y-6)+(y-6)2 2=6=6或或(x-4)(x-4)2 2+(y-6)+(y-6)2 2=6=6C.(x-4)C.(x-4)2 2+(y-6)+(y-6)2 2=36=36D.(x+4)D.(x+4)2 2+(y-6)+(y-6)2 2=36=36或或(x-4)(x-4)2 2+(y-6)+(y-6)2 2=36=362.2.求与圆求与圆x x2 2+y+y2 2-2x=0-2x=0外切且与直线外切且与直线x+y=0 x+y=0相切于点相切于点M(3,-)M(3,-)的圆的方程
26、的圆的方程.33【解题指南解题指南】1.1.已知半径已知半径,确定圆的方程的关键是确定圆心坐确定圆的方程的关键是确定圆心坐标标.2.2.两圆外切时圆心距等于两半径之和两圆外切时圆心距等于两半径之和,当直线与圆相切时圆心当直线与圆相切时圆心到直线的距离等于圆的半径长到直线的距离等于圆的半径长,据此列方程组求解据此列方程组求解.【解析解析】1.1.选选D.D.由题意可设圆的方程为由题意可设圆的方程为(x-a)(x-a)2 2+(y-6)+(y-6)2 2=36=36，由题意，得由题意，得 所以所以a a2 2=16,=16,所以所以a=a=4.4.2a95，2.2.设所求圆的方程为设所求圆的方程为
27、(x-a)(x-a)2 2+(y-b)+(y-b)2 2=r=r2 2(r(r0),0),由题知所求圆与圆由题知所求圆与圆x x2 2+y+y2 2-2x=0-2x=0外切，外切，则则 =r+1.=r+1.又所求圆过点又所求圆过点M(3M(3，-)-)的切线为直线的切线为直线x+y=0,x+y=0,故故 解由组成的方程组得解由组成的方程组得a=4,b=0,r=2a=4,b=0,r=2或或a=0,b=,r=6.a=0,b=,r=6.故所求圆的方程为故所求圆的方程为(x-4)(x-4)2 2+y+y2 2=4=4或或x x2 2+(y+)+(y+)2 2=36.=36.22(a1)b33b33.a
28、3|a3b|r.24 34 3【技法点拨技法点拨】处理两圆相切问题的两个步骤处理两圆相切问题的两个步骤(1)(1)定性，即必须准确把握是内切还是外切，若只是告诉相切，定性，即必须准确把握是内切还是外切，若只是告诉相切，则必须分两圆内切、外切两种情况讨论则必须分两圆内切、外切两种情况讨论.(2)(2)转化思想，即将两圆相切的问题转化为两圆的圆心距等于转化思想，即将两圆相切的问题转化为两圆的圆心距等于两圆半径之差的绝对值两圆半径之差的绝对值(内切时内切时)或两圆半径之和或两圆半径之和(外切时外切时).).【变式训练变式训练】求和圆求和圆(x-2)(x-2)2 2+(y+1)+(y+1)2 2=4=
29、4相切于点相切于点(4,-1)(4,-1)且半径且半径为为1 1的圆的方程的圆的方程.【解析解析】设所求圆的圆心为设所求圆的圆心为P(a,b)P(a,b)，所以所以 (1)(1)若两圆外切，则有若两圆外切，则有 由，解得由，解得a=5,b=-1.a=5,b=-1.所以所求圆的方程为所以所求圆的方程为(x-5)(x-5)2 2+(y+1)+(y+1)2 2=1.=1.22(a4)(b1)1.22(a2)(b1)123.(2)(2)若两圆内切，则有若两圆内切，则有 由由,解得解得a=3,b=-1.a=3,b=-1.所以所求圆的方程为所以所求圆的方程为(x-3)(x-3)2 2+(y+1)+(y+1
30、)2 2=1.=1.综上可知综上可知,所求圆的方程为所求圆的方程为(x-5)(x-5)2 2+(y+1)+(y+1)2 2=1=1或或(x-3)(x-3)2 2+(y+1)+(y+1)2 2=1.=1.22(a2)(b1)2 11.1.1.圆圆C C1 1：x x2 2+y+y2 2-4x=0-4x=0和和C C2 2：x x2 2+y+y2 2+4y=0+4y=0的位置关系是的位置关系是()A.A.外切外切 B.B.相离相离 C.C.内切内切 D.D.相交相交【解析解析】选选D.D.两圆化为标准方程为：圆两圆化为标准方程为：圆C C1 1：(x-2)(x-2)2 2+y+y2 2=4,=4,
31、圆圆C C2 2：x x2 2+(y+2)+(y+2)2 2=4,=4,所以所以r r1 1=r=r2 2=2,d=|C=2,d=|C1 1C C2 2|因此因此|r|r2 2-r-r1 1|dr|d +1,d +1,所以所以a a2 2+b+b2 23+2 .3+2 .答案：答案：a a2 2+b+b2 23+23+222ab2226.6.判断下列两圆的位置关系判断下列两圆的位置关系.(1)(x+2)(1)(x+2)2 2+(y-2)+(y-2)2 2=1=1和和(x-2)(x-2)2 2+(y-5)+(y-5)2 2=16.=16.(2)x(2)x2 2+y+y2 2+6x-7=0+6x-
32、7=0和和x x2 2+y+y2 2+6y-27=0.+6y-27=0.【解析解析】(1)(1)根据题意得根据题意得,两个圆的半径分别为两个圆的半径分别为r r1 1=1=1和和r r2 2=4,=4,两两圆的圆心距圆的圆心距d=rd=r1 1+r+r2 2,所以两圆外切所以两圆外切.(2)(2)将圆的一般方程化为标准方程将圆的一般方程化为标准方程,得得(x+3)(x+3)2 2+y+y2 2=16,x=16,x2 2+(y+3)+(y+3)2 2=36.=36.故两圆的半径分别为故两圆的半径分别为r r1 1=4=4和和r r2 2=6,=6,两圆的圆心距两圆的圆心距显然显然2 10,2 10,即即|r|r1 1-r-r2 2|dr|dr1 1+r+r2 2,所以两圆相交所以两圆相交.22d2(2)(52)5.22d(03)(30)3 2.3 2
