1、人教版 数学 九年级 上册掌握面积法建立一元二次方程的数学模型.能运用一元二次方程解决与面积有关的实际问题.探究：探究：要设计一本书的封面,封面长27,宽21cm正中央是一个与整个封面长宽比例相同比例相同的矩形,如果要使四周的边衬所占面积是封面面积的四分之一,上、下边衬等宽,左、右边衬等宽,应如何设计四周边衬的宽度？(精确到0.1cm)2721【分析分析】这本书的长宽之比 ，正中央的矩形长宽之比 ：，上下边衬与左右边衬之比 ：.9 79 7解：设中央长方形的长和宽分别为9a和7a由此得到上下边衬宽度之比为：11(27 9):(21 7)22aa9 79(3):7(3)9:7.aa解:设上下边衬
2、的9xcm，左右边衬宽为7xcm依题意得3(27 18)(21 14)27 21,4xx 解方程得63 3.4x故上下边衬的宽度为:63 391.8,4故左右边衬的宽度为:63 371.4.4思考：思考：如果换一种设未知数的方法，是否可以更简单地解决上面的问题？2721方程的哪个根合乎实际意义?为什么?解:设正中央的矩形两边别为9xcm，7xcm.依题意得39727 21,4xx解得 223 33 322xx，（舍去）.故上下边衬的宽度为:3 327 927 954 27 321.8.224x 3 321 721 742 21 321.4.224x 故左右边衬的宽度为:2721例例1 1：如图
3、所示，在ABC中，C=90，AC=6cm，BC=8cm.点P沿AC边从点A向终点C以1cm/s的速度移动；同时点Q沿CB边从点C向终点B以2cm/s的速度移动，且当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动.问点P，Q出发几秒后可使PCQ的面积为9 cm？根据题意得AP=xcm,PC=(6-x)cm,CQ=2xcm解：若设出发x s后可使PCQ的面积为9cm整理，得解得 x1=x2=3答：点P，Q出发3s后可使PCQ的面积为9cm.1(6)292xx2690 xx【点睛】主要集中在几何图形的面积问题,这类问题的面积公式是等量关系.如果图形不规则应割或补成规则图形,找出各部分面积之间的关系,再运用
4、规则图形的面积公式列出方程;2032xx例例2 2：如图，在一块宽为20m,长为32m的矩形地面上修筑同样宽的两条道路,余下的部分种上草坪,要使草坪的面积为540,求道路的宽为多少？解：设道路的宽为 x 米(32-x)(20-x)=540整理，得x2-52x+100=0解得 x1=2,x2=50当x=50时，32-x=-18,不合题意，舍去.取x=2答：道路的宽为2米.2032xx【分析分析】平移法平移法-化零为整化零为整32-x20-x变式一：变式一：某小区规划在一个长30m、宽20m的长方形土地上修建三条等宽的通道，使其中两条与AB平行，另外一条与AD平行，其余部分种花草，要使每一块花草的
5、面积都为78m2，那么通道宽应该设计为多少？设通道宽为xm，则由题意列的方程为_.CBDA(30-2x)(20-x)=6783020 xxx【分析分析】平移法平移法-化零为整化零为整CBDA3020 xxx30-2x20-x678变式二：变式二：在宽为20m,长为32m的矩形地面上修筑同样宽的道路,余下的部分种上草坪,要使草坪的面积为540,求这种方案下的道路的宽为多少？解：设道路的宽为 x 米,可列方程为:(32-x)(20-x)=540整理，得x2-52x+100=0解得 x1=2,x2=50当x=50时，32-x=-18,不合题意，舍去.取x=2答：道路的宽为2米.变式三：变式三：在宽为
6、20m,长为32m的矩形地面上修筑四条道路,余下的部分种上草坪，如果横、纵小路的宽度比为3：2，且使小路所占面积是矩形面积的四分之一,求道路的宽为多少？小路所占面积是矩形小路所占面积是矩形面积的四分之一面积的四分之一 剩余面积是矩形面剩余面积是矩形面积的四分之三积的四分之三30203x3x2x2x30206x4x解解:设横、竖小路的宽度分别为设横、竖小路的宽度分别为3x、2x.30-4x20-6x【点睛】我们利用“图形经过移动，它的面积大小不会改变”的性质，把纵、横两条路移动一下，使列方程容易些（目的是求出水渠的宽，至于实际施工，仍可按原图的位置修路）.解：设AB长是x m.(100-4x)x
7、=400 x2-25x+100=0 x1=5，x2=20 x=20,100-4x=2025 x=5(舍去)答：羊圈的边长AB和BC的长个是20m,20m.例例3 3：如图：要利用一面墙（墙长为25米）建羊圈，用100米的围栏围成总面积为400平方米的三个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边长AB和BC的长个是多少米？DCBA25米变式：变式：如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为12m的住房墙，另外三边用25m长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1m的门，所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时，猪舍面积为80平方米？住房墙住房墙1m解：设矩形猪舍垂直于住房墙的一边长为x m，
8、由题意得 x(25-2x+1)=80化简，得 x2-13x+40=0解得 x1=5,x2=8当x=5时，26-2x=1612 (舍去）当x=8时，26-2x=1012 故所围矩形猪舍的长为10m,宽为8m.则平行于住房墙的一边长(25-2x+1)m.1.在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是5400cm2，设金色纸边的宽为xcm，那么x满足的方程是（）Ax2+130 x-1400=0 Bx2+65x-350=0Cx2-130 x-1400=0 Dx2-65x-350=080cmxxxx50cmB2.一块长方形铁板，长是
9、宽的2倍，如果在4个角上截去边长为5cm的小正方形，然后把四边折起来，做成一个没有盖的盒子，盒子的容积是3000 cm3，求铁板的长和宽 解：设铁板的宽为x cm,则有长为2x cm5(2x-10)(x-10)=3000 x2-15x-250=0解得 x1=25 x2=-10(舍去）所以 2x=50答：铁板的长50cm,宽为25cm.2xx553.如图，要设计一个宽20cm,长为30cm的矩形图案，其中有两横两竖彩条，横竖彩条的宽度之比为2 3，若使所有彩条的面积是原来矩形图案面积的三分之一，应如何设计每个彩条的宽度？解：设横向彩条的宽度2xcm,竖彩条的宽度3xcm (20-6x)(30-4x)=400 6x2-65x+50=0125,10(6xx舍去）552,332xx则55cm,cm.32答：每个横竖条的宽度分别是几何图形与一元二次方程问题几何图形与一元二次方程问题列方程依据列方程依据常见几何图形面积是等量关系.常见类型常见类型课本封面问题彩条/小路宽度问题常采用图形平移能化零为整，方便列方程.一边靠墙围成的区域面积常见分析策略常见分析策略
