1、八年级八年级 上册上册13.4 课题学习课题学习 最短路径问题最短路径问题课件说明课件说明 本节课以数学史中的一个经典问题本节课以数学史中的一个经典问题“将军饮将军饮 马问题马问题”为载体开展对为载体开展对“最短路径问题最短路径问题”的课题研的课题研 究，让学生经历将实际问题抽象为数学的线段和最究，让学生经历将实际问题抽象为数学的线段和最 小问题，再利用轴对称将线段和最小问题转化为小问题，再利用轴对称将线段和最小问题转化为 “两点之间，线段最短两点之间，线段最短”（或（或“三角形两边之和大三角形两边之和大 于第三边于第三边”）问题）问题 如图，从A点到B点有三条线路，哪条最短？复习回顾复习回顾
2、 如图，点A是直线 l 外一点，点A到直线的所有线路中，最短的是？复习回顾复习回顾 如图，点如图，点A，点，点B是直线是直线l异侧的点，请异侧的点，请在直线在直线l上找一点上找一点C,使使AC+BC最短。最短。复习应用复习应用 引言：引言：前面我们研究了：前面我们研究了：“两点之间，线段最短两点之间，线段最短”、“垂线段最短垂线段最短”等的问题，等的问题，我们称它们为最短路径问题我们称它们为最短路径问题 现实生活中经常涉及到选择最短路径的问题，现实生活中经常涉及到选择最短路径的问题，本节将利用数学知识探究数学史中著名的本节将利用数学知识探究数学史中著名的 “将军饮马问题将军饮马问题”新知引入新
3、知引入唐朝诗人李颀的诗唐朝诗人李颀的诗古从军行古从军行开头两句说：开头两句说：“白日登山望烽火，白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河黄昏饮马傍交河”诗中隐含着一个有趣的数学问题诗中隐含着一个有趣的数学问题如图所示，诗中将军在观望烽火如图所示，诗中将军在观望烽火之后从山脚下的之后从山脚下的A点出发，走到点出发，走到河边饮马后再到河边饮马后再到B点宿营点宿营请问怎样走才能使总的路程最短？请问怎样走才能使总的路程最短？新知探究新知探究这个问题早在古罗马时代就有了，传说亚历山大城这个问题早在古罗马时代就有了，传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦一天，一位有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦一天
4、，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题：问题：将军每天从军营将军每天从军营A A出发，先到河边饮马，然后再去出发，先到河边饮马，然后再去河岸同侧的河岸同侧的B B地开会，应该怎样走才能使路程最短？地开会，应该怎样走才能使路程最短？BAl新知探究新知探究从此，这个被称为从此，这个被称为“将军饮马将军饮马”的问题广泛流的问题广泛流传这个问题的解决并不难，海伦稍加思索，利用传这个问题的解决并不难，海伦稍加思索，利用轴对称的知识回答了这个问题轴对称的知识回答了这个问题.你能将这个问题抽象为数学问题吗？你能将这个问题抽象为数学问题吗？B
5、Al新知探究新知探究这是一个实际问题，你打算首先做什么？这是一个实际问题，你打算首先做什么？将将A，B 两地抽象为两个点，将河两地抽象为两个点，将河l 抽象为一条直抽象为一条直 线线 BAl新知探究新知探究（1）从）从A 地出发，到河边地出发，到河边l 饮马，然后到饮马，然后到B 地；地；（2）在河边饮马的地点有无穷多处，把这些地点与）在河边饮马的地点有无穷多处，把这些地点与A，B 连接起来的两条线段的长度之和，就是从连接起来的两条线段的长度之和，就是从A 地地 到饮马地点，再回到到饮马地点，再回到B 地的路程之和；地的路程之和；你能用自己的语言说明这个问题的意思，你能用自己的语言说明这个问题
6、的意思，并把它抽象为数学问题吗？并把它抽象为数学问题吗？新知探究新知探究你能用自己的语言说明这个问题的意思，你能用自己的语言说明这个问题的意思，并把它抽象为数学问题吗？并把它抽象为数学问题吗？BAlC（3）即：）即：如图，在直线如图，在直线l上找一点上找一点C，使使AC+BC最短。最短。新知探究新知探究由这个问题我们不难联想到，我们遇到的一由这个问题我们不难联想到，我们遇到的一个问题：个问题：如图：点如图：点A，点，点B是直线是直线l异侧的点，请在直异侧的点，请在直线线l上找一点上找一点C，使，使AC+BC最短的数学问题。最短的数学问题。新知探究新知探究对于如上问题，实质上是对于如上问题，实质
7、上是怎样将点怎样将点B“移移”到到l 的另一侧的另一侧B处，并且使其满足在直线处，并且使其满足在直线l 上的任意一点上的任意一点C，都保持，都保持CB 与与CB的长度相等的问题。从而的长度相等的问题。从而转化为我们知道的异侧两点求转化为我们知道的异侧两点求最短路径问题，那怎样找最短路径问题，那怎样找B？现在，要解决的问题是：现在，要解决的问题是：如图，点如图，点A，B 在直线在直线l 的同侧，点的同侧，点C 是直线上的一个动点，当点是直线上的一个动点，当点C 在在l 的什么的什么位置时，位置时，AC 与与CB 的和最小？的和最小？BlA新知探究新知探究作法：作法：（1）作点）作点B 关于直线关
8、于直线l 的对称的对称 点点B；（2）连接）连接AB，与直线，与直线l 相交相交 于点于点C 则点则点C 即为所求即为所求 如图，点如图，点A，B 在直线在直线l 的同侧，点的同侧，点C 是直线上的一是直线上的一个动点，当点个动点，当点C 在在l 的什么位置时，的什么位置时，AC 与与CB 的和最小？的和最小？BlABC新知探究新知探究问题问题3你能用所学的知识证明你能用所学的知识证明AC+BC最短吗？最短吗？BlABC新知探究新知探究证明：证明：如图，在直线如图，在直线l 上任取一点上任取一点C（与点（与点C 不不重合），连接重合），连接AC，BC，BC 由轴对称的性质知，由轴对称的性质知，
9、BC=BC，BC=BC AC+BC =AC+BC=AB，AC+BC =AC+BC问题问题3你能用所学的知识证明你能用所学的知识证明AC+BC最短吗？最短吗？BlABCC新知探究新知探究问题问题3你能用所学的知识证明你能用所学的知识证明AC+BC最短吗？最短吗？BlABCC在在ABC中中，ABAC+BC，AC+BCAC+BC即即AC+BC 最短最短新知探究新知探究回顾前面的探究过程，我们是通过怎样的回顾前面的探究过程，我们是通过怎样的 过程、借助什么解决问题的？过程、借助什么解决问题的？BlABCC新知归纳新知归纳1.1.如图，如图，A.BA.B两地在一两地在一条河的两岸，现要在河条河的两岸，现
10、要在河上建一座桥上建一座桥MNMN，桥造在，桥造在何处才能使从何处才能使从A A到到B B的路的路径径AMNBAMNB最短？（假设河最短？（假设河的两岸是平行的直线，的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）桥要与河垂直）ABMNE新知应用新知应用作法：作法：1.1.将点将点B B沿垂直与河岸的方向平移一个河宽沿垂直与河岸的方向平移一个河宽到到E E，2.2.连接连接AEAE交河对岸与点交河对岸与点M,M,则点则点M M为建桥的为建桥的位置，位置，MNMN为所建的桥为所建的桥。证明：由平移的性质，得证明：由平移的性质，得 BNEM BNEM 且且BN=EM,BN=EM,MN=CD,BD MN=CD,B
11、DCE,BD=CE,CE,BD=CE,A.BA.B两地的距两地的距:AM+MN+BN=AM+MN+EM=AE+MN,AM+MN+BN=AM+MN+EM=AE+MN,若桥的位置建在若桥的位置建在CDCD处，连接处，连接AC.CD.DB.CE,AC.CD.DB.CE,则则ABAB两地的距离为：两地的距离为：AC+CD+DB=AC+CD+CE=AC+CE+MN,AC+CD+DB=AC+CD+CE=AC+CE+MN,在在ACEACE中，中，AC+CEAC+CEAE,AE,AC+CE+MNAC+CE+MNAE+MN,AE+MN,即即AC+CD+DB AC+CD+DB AM+MN+BNAM+MN+BN所以
12、桥的位置建在所以桥的位置建在CDCD处，处，ABAB两地的路程最短。两地的路程最短。ABMNECD练习如图，一个旅游船从大桥练习如图，一个旅游船从大桥AB 的的P 处前往山处前往山脚下的脚下的Q 处接游客，然后将游客送往河岸处接游客，然后将游客送往河岸BC 上，再返上，再返 回回P 处，请画出旅游船的最短路径处，请画出旅游船的最短路径ABCPQ山山河岸河岸大桥大桥新知应用新知应用基本思路：基本思路：由于两点之间线段最短，所以首先可连接由于两点之间线段最短，所以首先可连接PQ，线，线段段PQ 为旅游船最短路径中的必经线路将河岸抽象为为旅游船最短路径中的必经线路将河岸抽象为一条直线一条直线BC，这样问题就转化为，这样问题就转化为“点点P，Q 在直线在直线BC 的同侧，如何在的同侧，如何在BC上找到上找到一点一点R，使，使PR与与QR 的和最的和最小小”ABCPQ山山河岸河岸大桥大桥新知应用新知应用（1）本节课研究问题的基本过程是什么？）本节课研究问题的基本过程是什么？（2）轴对称在所研究问题中起什么作用？）轴对称在所研究问题中起什么作用？归纳小结归纳小结
