1、7.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理教 材 导 读基 础 自 测思 维 聚 焦合 作 学 习思 维 激 活课 时 测 评l 考点陪练l 1.用6种不同的颜色把图中A、B、C、D四块区域分开，允许同一色涂不同的区域，但相邻的区域不能涂同一色，则不同的涂法共有()l A400种 B460种l C480种 D496种l 解析：当区域A与D涂同一色时，有654120(种)涂法；当区域A与D涂不同颜色时，有6543360(种)涂法于是总共的涂法有120360480(种)l 答案：Cl 点评：本题是一道排列组合的应用题，考查计数原理的应用，在运用计数原理时，务必要分清是分类还是分步，是用乘法还是用加法
2、体现了解题时的分类讨论与程序化的思想l 2有A、B、C、D四人经常通电话交流信息，已知在通了三次电话后这四人都获悉某一条信息，那么第一个电话是A打出的情况共有()l A6种 B12种l C18种 D36种l 解析：第一次电话从A打出，打给B、C、D之一有C31种可能，打第二次电话时，可能从已知信息的两人之一打出有C21种可能，此时接收电话者是剩余二人中的一个有C21种可能，显然通知最后一个人时有C31种方法，故共有C31C21C21C3136(种)l 答案：Dl 3有A、B、C、D、E、F六人依次站在正六边形的六个顶点上传球，从A开始，每次可随意传给相邻的两人之一，若在5次之内传到D，则停止传
3、球；若5次之内传不到D，则传完5次也停止传球，那么从开始到停止，可能出现的不同传法种数是()l A24 B26l C30 D28l 解析：如图，按题意从A到D只有两种情况：3次到D；5次到D.从A出发传5次所有的情况有2532(种)，l 从A到D传3次后再传2次的情况有2228(种)l 328226即为所求l 答案：Bl 4在五棱锥的各棱所在的10条直线中，异面直线共有_对l 解析：只有侧棱与底面上和该侧棱不共点的三条底边为异面直线，因此共有3515对异面直线l 答案：15l 5若把英语单词“book”的字母顺序写错了，则可能出现的错误共有_种l 答案：11 l 类型一分类计数原理l 解题准备
4、：运用分类计数原理时，首先要根据问题的特点，确定分类标准，分类应满足：完成一件事的任何一种方法必属于某一类而且仅属于某一类，即“类”与“类”间的确定性与并列性，做到“不重不漏”l【典例1】所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共有多少个？l 解析该问题与计数有关，可考虑选用两个基本原理来计算，完成这件事，只要考虑安排十位上的数字的情况进行分类l 解法一：按个位数字是2,3,4,5,6,7,8,9分成8类，在每一类中满足条件的两位数分别有1个，2个，3个，4个，5个，6个，7个，8个，则依分类计数原理共有1234567836个l 解法二：按十位数字是1,2,3,4,5,6,7,8分成8类，
5、在每一类中满足条件的两位数分别有8个，7个，6个，5个，4个，3个，2个，1个，依分类计数原理可得共有8765432136个l 探究1：三边长均为整数，且最大边长为11的三角形的个数是多少？l 类型二分步计数原理l 解题准备：完成这件事需要分成若干个步骤，只有每个步骤都完成了，才算完成这件事，缺少哪一步，这件事都不可能完成l【典例2】现安排一份5天的工作值班表，每天有一个人值班共有5个人，每个人都可以值多天班或不值班，但相邻两天不准由同一个人值班，问此值班表共有多少种不同的排法？l 解析该问题中，完成一件事是安排值日表，因而需一天一天地排，用分步计数原理，分步进行l 先排第一天，可排5人中的任
6、一人，有5种排法；再排第二天，此时不能排第一天已排的人，有4种排法；再排第三天，此时不能排第二天已排的人，仍有4种排法，同理，第四、第五天均各有4种排法由分步计数原理可得值班表共有不同排法为544441280(种)l 点评应用分步计数原理时，要理清思路，按事件发生的过程合理地分步，并且也要确定分步的标准，分步必须满足：完成一件事的各个步骤是相互依存的，各个步骤都完成了，这件事才算完成l 探究2：如图所示，用5种不同的颜色给图中A、B、C、D四个区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域的颜色都不同，求共有多少种不同的涂色方法？l 解析：分四步来完成涂色这件事A有5种涂法，B有4种涂法，C有3
7、种涂法，D有3种涂法(可以使用A涂过的颜色)根据分步计数原理，共有5433180(种)涂色方法l 类型三两个计数原理的综合应用l 解题准备：在解决实际问题中，并不一定是单一的分类或分步，而是可能同时应用两个计数原理，即分类时，每类的方法可能要运用分步完成，而分步时，每步的方法数可能会采取分类的方法求另外，具体问题是先分类后分步，还是先分步后分类，应视问题的特点而定解题时经常是两个原理交叉在一起使用，分类的关键在于要做到“不重不漏”，分步的关键在于要正确设计分步的程序，即合理分类，准确分步l【典例3】l 如图，将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端异色如果只有5种颜色可供使用
8、，求不同的染色方法总数l 解析解法一：可分为两大步进行，先将四棱锥一侧面三顶点染色，然后再分类考虑另外两顶点的染色数，用乘法原理即可得出结论l 由题设，四棱锥SABCD的顶点S、A、B所染的颜色互不相同，它们共有54360(种)染色方法l 当S、A、B染好时，不妨设其颜色分别为1、2、3.若C染2，则D可染3或4或5，有3种染法；若C染4，则D可染3或5，有2种染法；若C染5，则D可染3或4，有2种染法可见，当S、A、B已染好时，C，D还有7种染法故不同的染色方法有607420(种)l 解法二：以S、A、B、C、D顺序分步染色l 第一步，S点染色，有5种方法；l 第二步，A点染色，与S在同一条
9、棱上，有4种方法；l 第三步，B点染色，与S、A分别在同一条棱上，有3种方法；l 第四步，C点染色，也有3种方法，但考虑到D点与S、A、C相邻，需要针对A与C是否同色进行分类当A与C同色时，D点有3种染色方法；当A与C不同色时，因为C与S、B也不同色，所以C点有2种染色方法，D点也有2种染色方法l 由分步计数原理、分类计数原理，得不同的染色方法共有543(1322)420(种)不同的方法l 解法三：按所用颜色种数分类l 第一类，5种颜色全用，共有A55种不同的方法；l 第二类，只用4种颜色，则必有某两个顶点同色(A与C，或B与D)，共有2A54种不同的方法；l 第三类，只用3种颜色，则A与C、
10、B与D必定同色，共有A53种不同的方法l 由分类计数原理，得不同的染色方法总数为A552A54A53420(种)l 点评涂色问题大致有两种解题方案：一是选择正确的涂色顺序，按步逐一涂色，这时用分步计数原理进行计数；二是根据涂色时用颜色的多少，进行分类处理，这时用分类计数原理进行计数.在分步涂色时，要注意尽量让相邻区域多的区域先涂如本样题，A、B、C、D各与3个点相邻，而S与4个点(A、B、C、D)相邻，第一步给S点涂色是上策在分类涂色时，要注意不相邻区域的涂色可以相同也可以不同，这是所用颜色多少的依据如本样题，A与C不相邻，B与D不相邻，因此至少需要3种颜色l 快速解题l 技法编号为1、2、3
11、、4的四名运动员，在编号也是1、2、3、4的四条跑道上赛跑抽签时，谁也不想抽到与自己编号相同的跑道，问共有多少种使四人都满意的抽签方法？l 快解：若1号运动员不跑第一道，则他有3种跑法，不妨设他选了第四道，则4号运动员可能选择第一、二、三道，有3种选法，2、3号运动员只有一种方法，共有不同的满意抽签方法为3319种例例2、（、（1）将）将3封信投入封信投入4个不同的信箱，共有个不同的信箱，共有_ 种不同的投法；种不同的投法；（2）4名学生争夺名学生争夺3项冠军，每项冠军只能由项冠军，每项冠军只能由一人获得，则冠军归属有一人获得，则冠军归属有_种；种；（3）将）将4个不同的球放入个不同的球放入3
12、个不同的盒子，共个不同的盒子，共有有_种不同的放法；种不同的放法；（4）3个不同元素的集合到个不同元素的集合到4个不同元个不同元素的集合的映射的个数为素的集合的映射的个数为_。43433443巩固提高巩固提高、个班分别从个风景点中选择一处游览，、个班分别从个风景点中选择一处游览，不同选法的种数是不同选法的种数是 。2 2、某公共汽车上有、某公共汽车上有1010名乘客，要求在沿途的名乘客，要求在沿途的5 5个车站个车站全部下完，乘客下车的可能方式有全部下完，乘客下车的可能方式有种种.3 3、（改编题）由、（改编题）由1 1，2 2，3 3，4 4可以组成多少个自然数？可以组成多少个自然数？（数字
13、可以重复，最多只能是四位）（数字可以重复，最多只能是四位）例例3、用、用6张一角硬币，张一角硬币，4张一元硬币，张一元硬币，3张五元纸币，共能组成不同币值为多少张五元纸币，共能组成不同币值为多少种？种？分析分析：一角纸币可以取：一角纸币可以取0张，张，1张，张，2张张6张张,共共7种取法；种取法；共有共有7 54=140种不同取法，每种取法对应不同币值种不同取法，每种取法对应不同币值又每种币值取又每种币值取0张，不能构成币值，故所求币值总张，不能构成币值，故所求币值总数为数为140-1=139同理：一元硬币有同理：一元硬币有5种取法，五元纸币有种取法，五元纸币有4 种取法种取法 例例4、用五种
14、不同的颜色给图中四个区域涂色，每个区域涂一种颜色。、用五种不同的颜色给图中四个区域涂色，每个区域涂一种颜色。（1）共有多少种涂色方法？）共有多少种涂色方法？（2）若要求有公共边的区域不同色，那么共有多少种不同的涂色方法？）若要求有公共边的区域不同色，那么共有多少种不同的涂色方法？1234 （2）分析：若）分析：若1、4两个区域同色，则两个区域同色，则 此时，共有此时，共有5414=80涂法；涂法；若若1、4两个区域不同色，则两个区域不同色，则1区域有区域有5种涂法，种涂法，2区域区域有有4种涂法，种涂法，4区域有区域有3涂法，涂法，3区域有区域有3种涂法，此时，共种涂法，此时，共有有5433=180种涂法。种涂法。故共有故共有80+180=260种涂法。种涂法。变形：变形：如图，一个地区分为如图，一个地区分为5个行政区域，个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一种颜色，现有一种颜色，现有4种颜色可供选择，则不种颜色可供选择，则不同的着色方法共有同的着色方法共有_种。种。12345答案：答案：72种种1区域有区域有5种涂法，种涂法，2区域有区域有4种涂法，种涂法，
