1、第六节（2）一、对面积的曲面积分的概念与性质一、对面积的曲面积分的概念与性质 二、对面积的曲面积分的计算法二、对面积的曲面积分的计算法 第一型面积分 第六章 Oxyz一、对面积的曲面积分的概念与性质一、对面积的曲面积分的概念与性质引例引例:设曲面形构件具有连续面密度),(zyx类似求平面薄板质量的思想,采用kkkkS),(可得nk 10limM),(kkk求质 “大化小,常代变,近似和,求极限”的方法,量 M.其中,表示 n 小块曲面的直径的(曲面的直径为其上任意两点间距离的最大者).最大值SzyxMd),(定义定义:设 为光滑曲面,“乘积和式极限”kkkkSf),(nk 10lim都存在,的
2、曲面积分Szyxfd),(其中 f(x,y,z)叫做被积据此定义,曲面形构件的质量为曲面面积为SSdf(x,y,z)是定义在 上的一 个有界函数,记作或第一类曲面积分.若对 做任意分割和局部区域任意取点,则称此极限为函数 f(x,y,z)在曲面 上对面积函数,叫做积分曲面.则对面积的曲面积分存在.对积分域的可加性.,21则有Szyxfd),(1d),(Szyxf2),(SzyxfdSzyxgkzyxfkd),(),(21 线性性质.则为常数设,21kkSzyxgkSzyxfkd),(d),(21),(zyxf若在光滑曲面 上连续,对面积的曲面积分与对弧长的曲线积分性质类似.积分的存在性.若 是
3、分片光滑的,例如分成两片光滑曲面二、对面积的曲面积分的计算法二、对面积的曲面积分的计算法 1 曲面面积曲面面积:(,)(,),(,),(,),(,)rr u vx u vy u v z u vu vD1(,)(,)uPPr uu vr u vru 13(,),(,),(,)M u v M uu v M u vv13(,),(,)Pr uu vPr u vv (,)Pr u v3(,)(,)vPPr u vvr u vrv|uvuvSrurvrru v 令令0,0uv ，得|uvdSrrdudv曲面的面积为曲面的面积为D|uvSrrdudv例：求半径为例：求半径为a的球面面积的球面面积.若光滑曲
4、面为yxDyxyxzz),(),(:则22DxyDxy|1xyxySrrdxdyff dxdy若光滑曲面为:(,),(,)zxyf x zz xD则22Dzx1xzSff dzdx若光滑曲面为:(,),(,)yzxf y zy zD则22Dyz1yzSff dydz例：例：求圆柱面求圆柱面 在第一卦限中被平面在第一卦限中被平面 所截下部分的面积。所截下部分的面积。222xya0,(0),()zzmx mxb ba定理定理:设有光滑曲面yxDyxyxzz),(),(:f(x,y,z)在 上连续,存在,且有Szyxfd),(yxDyxf),(Szyxfd),(),(yxzyxyxzyxzyxdd)
5、,(),(122则曲面积分:(,)(,),(,),(,),(,)rr u vx u vy u v z u vu vD(,)df x y zS(,),(,),(,)Df x u vy u v z u v|d duvrru v推论推论:设有光滑曲面例例:zyDzyzyxx),(),(zxDzxzxyy),(),(或可有类似的公式.如果曲面方程为说明说明:课本例课本例6.8:yxD例例1.计算曲面积分,dzS其中 是球面222zyx被平面)0(ahhz截出的顶部.解解:yxDyxyxaz),(,:2222222:hayxDyx221yxzz 222yxaazSd20da222212ln()20aha
6、ar haaln2yxDyxayxa222dd22022dhararr2axzyhaO思考思考:若 是球面2222azyx被平行平面 z=h 截出的上下两部分,)(dzS)(dzS04lnhaa则hhxzyO例例2.计算,dSzyx其中 是由平面坐标面所围成的四面体的表面.解解:设上的部分,则4321,4dSzyx,1:4yxz1010:),(xxyDyxyxxyyxy10d)1(12031zyx与,0,0,0zyx10d3xx1zyx4321Szyxd 原式=分别表示 在平面 zyx111OxzyO例例3.设2222:azyx),(zyxf计算.d),(SzyxfI解解:锥面22yxz的22
7、2yxaz.,2122122azayx1设,),(22122ayxyxDyx,22yx，022yxz当22yxz当与上半球面交线为为上半球面夹于锥面间的部分,它在 xOy 面上的投影域为则 1d)(22SyxI1yxD1d)(22SyxIyxDyx)(22rrraraadd202222021)258(614a222yxaayxdd思考思考:若例3 中被积函数改为),(zyxf,22yx，022yxz当22yxz当计算结果如何?xzyO1yxD例例4.求半径为R 的均匀半球壳 的重心.解解:设 的方程为yxDyxyxRz),(,222利用对称性可知重心的坐标,0 yx而 z 2223RRR用球面
8、坐标cosRz ddsind2RS SdSzd20032dcossindR2002dsindR例例5.计算),(dRzSI.:2222Rzyx解解:取球面坐标系,则,cosRz I0cos)cosd(2RRRRRRln2ddsind2RS 02dcossinRR20d例例6.计算,d)(22SyxI其中 是球面22yx 利用对称性可知SzSySxddd222SzSySxdddSzyxId)(32222Szyxd)(34Sxd4Sxd448)3(4142解解:显然球心为,)1,1,1(半径为3x利用重心公式SxdSd).(22zyxzzzd例例7.计算,d222zyxSI其中 是介于平面之间的圆柱面.222Ryx分析分析:若将曲面分为前后(或左右)zRSd2d则HzRzRI022d2RHarctan2Hzz,0Hxyz解解:取曲面面积元素两片,则计算较繁.O内容小结内容小结1.定义:Szyxfd),(iiiiSf),(ni 10lim2.计算:设,),(,),(:yxDyxyxzz则Szyxfd),(yxDyxf,(),(yxz)221yxzz yxdd(曲面的其他两种情况类似)注意利用球面坐标、柱面坐标、对称性、质心公式简化计算的技巧.
