1、1.3 1.3 简单几何体的表面积和体积简单几何体的表面积和体积 1 1、表面积：几何体表面的面积、表面积：几何体表面的面积 2 2、体积：几何体所占空间的大小。、体积：几何体所占空间的大小。表面积、全面积和侧面积表面积、全面积和侧面积 表面积表面积：立体图形的所能触摸到的面积之：立体图形的所能触摸到的面积之和叫做它的表面积。（每个面的面积相加和叫做它的表面积。（每个面的面积相加）全面积全面积全面积是立体几何里的概念，全面积是立体几何里的概念，相对于截面积（相对于截面积（“截面积截面积”即切面的面积）即切面的面积）来说的，就是表面积总和来说的，就是表面积总和 侧面积侧面积指立体图形的指立体图形
2、的各个侧面各个侧面的面积之和的面积之和（除去底面）（除去底面）棱柱、棱锥、棱台的侧面积 侧面积所指的对象分别如下：棱柱-直直棱柱。棱锥-正正棱锥。棱台-正正棱台2.2.几何体的表面积几何体的表面积 （1 1）棱柱、棱锥、棱台的表面积就是）棱柱、棱锥、棱台的表面积就是 .（2 2）圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是）圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是 、；它们的表面积等于；它们的表面积等于 .各面面积各面面积之和之和矩矩形形扇形扇形扇环形扇环形侧面积侧面积与底面面积之和与底面面积之和有关概念有关概念1、直棱柱：、直棱柱：2、正棱、正棱柱柱：3、正棱、正棱锥锥：4、正棱、正棱台台：侧棱和底面侧棱和
3、底面垂直垂直的棱柱叫直棱柱的棱柱叫直棱柱底面是底面是正多边形正多边形的的直直棱柱叫正棱柱棱柱叫正棱柱底面是正多边形，底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面中心顶点在底面的射影是底面中心的棱锥的棱锥正棱锥正棱锥被平行于底面的平面所截，被平行于底面的平面所截，截面和底面之间的部分叫正棱台截面和底面之间的部分叫正棱台作直三棱柱、正三棱锥、正三棱台各一个，找作直三棱柱、正三棱锥、正三棱台各一个，找出出斜高斜高CBAA1B1C1COBAPDC1D1A1ODBACB1斜高的概念1 1多面体的面积和体积公式多面体的面积和体积公式 下底上底下底上底SSSSh31名称名称侧面积侧面积(S侧侧)全面积全面积(S全
4、全)体体 积积(V)棱棱柱柱棱柱棱柱直截面周长直截面周长lS侧侧+2S底底S底底h=S直截面直截面h直直棱柱棱柱chS底底h棱棱锥锥棱锥棱锥各侧面积之和各侧面积之和S侧侧+S底底S底底h正正棱锥棱锥ch棱棱台台棱台棱台各侧面面积之和各侧面面积之和S侧侧+S上底上底+S下底下底正正棱台棱台(c+c)h312121其中其中 S面积面积，c、c分别表上、下底面分别表上、下底面周长周长，h高高，h斜高斜高，l侧棱长侧棱长。把直三棱柱侧面沿一条侧棱展开，得到什么图形？侧面积怎么求？chhcbaS)（直棱柱侧habcabchh正六棱柱的侧面展开图正六棱柱的侧面展开图h正棱柱的侧面展开图正棱柱的侧面展开图底
5、侧表面积SSS21 1多面体的面积和体积公式多面体的面积和体积公式 下底上底下底上底SSSSh31名称名称侧面积侧面积(S侧侧)全面积全面积(S全全)体体 积积(V)棱棱柱柱棱柱棱柱直截面周长直截面周长lS侧侧+2S底底S底底h=S直截面直截面h直直棱柱棱柱chS底底h棱棱锥锥棱锥棱锥各侧面积之和各侧面积之和S侧侧+S底底S底底h正正棱锥棱锥ch棱棱台台棱台棱台各侧面面积之和各侧面面积之和S侧侧+S上底上底+S下底下底正正棱台棱台(c+c)h312121其中其中 S面积面积，c、c分别表上、下底面分别表上、下底面周长周长，h高高，h斜高斜高，l侧棱长侧棱长。把正三棱锥侧面沿一条侧棱展开，得到什
6、么图形？侧面积怎么求？hh21chS正棱锥侧正棱锥侧侧面展开正五棱锥的侧面展开图正五棱锥的侧面展开图底侧表面积SSS1 1多面体的面积和体积公式多面体的面积和体积公式 下底上底下底上底SSSSh31名称名称侧面积侧面积(S侧侧)全面积全面积(S全全)体体 积积(V)棱棱柱柱棱柱棱柱直截面周长直截面周长lS侧侧+2S底底S底底h=S直截面直截面h直直棱柱棱柱chS底底h棱棱锥锥棱锥棱锥各侧面积之和各侧面积之和S侧侧+S底底S底底h正正棱锥棱锥ch棱棱台台棱台棱台各侧面面积之和各侧面面积之和S侧侧+S上底上底+S下底下底正正棱台棱台(c+c)h312121其中其中 S面积面积，c、c分别表上、下底
7、面分别表上、下底面周长周长，h高高，h斜高斜高，l侧棱长侧棱长。把正三棱台侧面沿一条侧棱展开，得到什么图形？侧面积怎么求？（类比梯形的面积）（类比梯形的面积）hh)21hccS（正正棱棱台台侧侧侧面展开hh正四棱台的侧面展开图正四棱台的侧面展开图棱台的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？棱台的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？下底上底侧表面积SSSS1 1多面体的面积和体积公式多面体的面积和体积公式 下底上底下底上底SSSSh31名称名称侧面积侧面积(S侧侧)全面积全面积(S全全)体体 积积(V)棱棱柱柱棱柱棱柱直截面周长直截面周长lS侧侧+2S底底S底底h=S直截面直截面h直直棱柱棱柱
8、chS底底h棱棱锥锥棱锥棱锥各侧面积之和各侧面积之和S侧侧+S底底S底底h正正棱锥棱锥ch棱棱台台棱台棱台各侧面面积之和各侧面面积之和S侧侧+S上底上底+S下底下底正正棱台棱台(c+c)h312121其中其中 S面积面积，c、c分别表上、下底面分别表上、下底面周长周长，h高高，h斜高斜高，l侧棱长侧棱长。2 2旋转体的面积和体积公式旋转体的面积和体积公式名称名称圆柱圆柱圆锥圆锥S侧侧2rlrlS表表2r(l+r)r(l+r)Vr2h(即即r2l)r2h图像图像l、h 分别表分别表母线母线、高高，r 表圆柱、圆锥的底半径，表圆柱、圆锥的底半径，r1、r2分别表圆台上，下底面半径分别表圆台上，下底
9、面半径名称名称圆台圆台球（球（半径R）S侧侧(r1+r2)lS表表(r1+r2)l+(r21+r22)4R2Vh(r21+r1r2+r22)R3图像图像3134l、h 分别表分别表母线母线、高高，r 表圆柱、圆锥的底半径，表圆柱、圆锥的底半径，r1、r2分别表圆台上，下底面半径分别表圆台上，下底面半径r2lOrO r2 r22()Srrr lrl xrxrxl rxr xr l S侧侧()()r lxr xrlrxr x ()r lrl 三角形的常用三角形的常用“四心四心”重心重心三边中线交点三边中线交点垂心垂心高线交点高线交点内心内心内角角平分线交点内角角平分线交点外心外心中垂线的交点中垂线
10、的交点 参照圆柱和圆锥的侧面展开图，试想象圆台的参照圆柱和圆锥的侧面展开图，试想象圆台的侧面展开图是什么侧面展开图是什么 r2lOrO r2 r圆台的侧面展开图是圆台的侧面展开图是扇环扇环22()Srrr lrl 思考：把圆柱、圆锥、圆台的侧面分别沿着一条母线思考：把圆柱、圆锥、圆台的侧面分别沿着一条母线 展开，分别得到什么图形展开，分别得到什么图形?展开的图形与原图展开的图形与原图 有什么关系？有什么关系？1r2rllrrSS)21（扇环扇环圆台侧圆台侧 lOrO r圆柱、圆锥、圆台三者的表面积公式之间有什么关系？圆柱、圆锥、圆台三者的表面积公式之间有什么关系？lOOrrr上底扩大上底扩大l
11、Orr0上底缩小上底缩小2222()Srrlr r l 2()Srrlr rl22()Srrr lrl 棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的几何体，棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的几何体，h它们的侧面展开图还是平面图形，它们的侧面展开图还是平面图形，计算它们的计算它们的表面积就是计算它的各个侧面面积和底面面积表面积就是计算它的各个侧面面积和底面面积之和之和例1：一个正三棱台的上、下底面边长分别是3cm和6cm，高是3/2cm，求三棱台的侧面积.分析：关键是求出斜高，注意图中的直角梯形ABCC1A1B1O1ODD1E小结：1、弄清楚柱、锥、台的侧面展开图的形状是关键；2、对应的面积公
12、式)cc21hS（正正棱棱台台C=021chS三三棱棱锥锥C=CchchS 直直棱棱柱柱S圆柱侧=2rlS圆锥侧=rlS圆台侧=（r1+r2)lr1=0r1=r2有三个球有三个球,一球切于正方体的各面一球切于正方体的各面,一球切一球切于正方体的各侧棱于正方体的各侧棱,一球过正方体的各顶一球过正方体的各顶点点,求这三个球的体积之比求这三个球的体积之比.作轴截面作轴截面规律方法总结1直棱柱的侧面展开图是一些矩形，正棱锥的侧面展开图直棱柱的侧面展开图是一些矩形，正棱锥的侧面展开图是一些全等的等腰三角形，正棱台的侧面展开图是一些全等的是一些全等的等腰三角形，正棱台的侧面展开图是一些全等的等腰梯形等腰梯
13、形2斜棱柱的侧面积等于它的直截面斜棱柱的侧面积等于它的直截面(垂直于侧棱并与每条垂直于侧棱并与每条侧棱都相交的截面侧棱都相交的截面)的周长与侧棱长的乘积的周长与侧棱长的乘积3如果直棱柱的底面周长是如果直棱柱的底面周长是c，高是，高是h，那么它的侧面，那么它的侧面积是积是S直棱柱侧直棱柱侧ch.4应注意各个公式的推导过程，不要死记硬背公式本应注意各个公式的推导过程，不要死记硬背公式本身，要熟悉柱体中的矩形、锥体中的直角三角形、台体中的身，要熟悉柱体中的矩形、锥体中的直角三角形、台体中的直角梯形等特征图形在公式推导中的作用直角梯形等特征图形在公式推导中的作用规律方法总结5如果不是正棱柱、正棱锥、正
14、棱台，在求其侧面积或如果不是正棱柱、正棱锥、正棱台，在求其侧面积或全面积时，应对每一个侧面的面积分别求解后再相加全面积时，应对每一个侧面的面积分别求解后再相加6求球的体积和表面积的关键是求出球的半径反之，求球的体积和表面积的关键是求出球的半径反之，若已知球的表面积或体积，那么就可以得出其半径的大小若已知球的表面积或体积，那么就可以得出其半径的大小7计算组合体的体积时，首先要弄清楚它是由哪些基本计算组合体的体积时，首先要弄清楚它是由哪些基本几何体构成，然后再通过轴截面分析和解决问题几何体构成，然后再通过轴截面分析和解决问题8计算圆柱、圆锥、圆台的体积时，关键是根据条件找计算圆柱、圆锥、圆台的体积
15、时，关键是根据条件找出相应的底面面积和高，应注意充分利用多面体的截面和旋出相应的底面面积和高，应注意充分利用多面体的截面和旋转体的轴截面，将空间问题转化为平面问题求解转体的轴截面，将空间问题转化为平面问题求解方法与技巧方法与技巧1.1.对于基本概念和能用公式直接求出棱柱、棱对于基本概念和能用公式直接求出棱柱、棱 锥、棱台与球的表面积的问题，要结合它们的锥、棱台与球的表面积的问题，要结合它们的 结构特点与平面几何知识来解决结构特点与平面几何知识来解决.2.2.要注意将空间问题转化为平面问题要注意将空间问题转化为平面问题.3.3.当给出的几何体比较复杂，有关的计算公式无当给出的几何体比较复杂，有关
16、的计算公式无 法运用，或者虽然几何体并不复杂，但条件中法运用，或者虽然几何体并不复杂，但条件中 的已知元素彼此离散时的已知元素彼此离散时,我们可采用我们可采用“割割”、“补补”的技巧，化复杂几何体为简单几何体的技巧，化复杂几何体为简单几何体 （柱、锥、台），或化离散为集中，给解题提供（柱、锥、台），或化离散为集中，给解题提供 便利便利.思想方法思想方法 感悟提高感悟提高（1 1）几何体的）几何体的“分割分割”几何体的分割即将已知的几何体按照结论的要几何体的分割即将已知的几何体按照结论的要求求,分割成若干个易求体积的几何体分割成若干个易求体积的几何体,进而求之进而求之.(2)(2)几何体的几何体
17、的“补形补形”与分割一样，有时为了计算方便，可将几何体补与分割一样，有时为了计算方便，可将几何体补成易求体积的几何体，如长方体、正方体等成易求体积的几何体，如长方体、正方体等.另外另外补台成锥是常见的解决台体侧面积与体积的方法补台成锥是常见的解决台体侧面积与体积的方法,由台体的定义，我们在有些情况下，可以将台体由台体的定义，我们在有些情况下，可以将台体补成锥体研究体积补成锥体研究体积.（3 3）有关柱、锥、台、球的面积和体积的计算，）有关柱、锥、台、球的面积和体积的计算，应以公式为基础，充分利用几何体中的直角三角应以公式为基础，充分利用几何体中的直角三角形、直角梯形求有关的几何元素形、直角梯形
18、求有关的几何元素.失误与防范失误与防范1.1.将几何体展开为平面图形时将几何体展开为平面图形时,要注意在何处剪要注意在何处剪 开，多面体要选择一条棱剪开，旋转体要沿一开，多面体要选择一条棱剪开，旋转体要沿一 条母线剪开条母线剪开.2.2.与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是 外接外接.解题时要认真分析图形，明确切点和接点解题时要认真分析图形，明确切点和接点 的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出 合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正 方体各个面的中心方体各个面的中心,正方体的棱长等于球的直正方体的棱长等于球的直 径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面 上，正方体的体对角线长等于球的直径上，正方体的体对角线长等于球的直径.球与球与 旋转体的组合，通常作它们的轴截面进行解题旋转体的组合，通常作它们的轴截面进行解题,球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和 球心，或球心，或“切点切点”、“接点接点”作出截面图作出截面图.
