1、圆周角定理及推论回回 忆忆1.什么叫圆心角什么叫圆心角?顶点在圆心的角叫圆心角顶点在圆心的角叫圆心角2.圆心角、弧、弦圆心角、弧、弦、弦心距、弦心距、四个量四个量之间关系的一个结论是什么？之间关系的一个结论是什么？同圆或等圆中，如果两个圆心角以及这两个角所对的弧、同圆或等圆中，如果两个圆心角以及这两个角所对的弧、所对的弦，所对弦的弦心距中，有一组量相等，它们其余各组所对的弦，所对弦的弦心距中，有一组量相等，它们其余各组量也相等量也相等探探 究究.OA问题：将圆心角顶点向上移，直至与问题：将圆心角顶点向上移，直至与 O相交于点相交于点C?观察观察得到的得到的ACB有什么特征？有什么特征？C顶点在
2、圆上顶点在圆上并且两边都与圆还另有一个交点并且两边都与圆还另有一个交点。这样的角叫这样的角叫圆周角圆周角。B学以致用：学以致用：判断下列图形中所画的判断下列图形中所画的P是否为圆周角？并说明理由。是否为圆周角？并说明理由。PPPP不是不是是是不是不是不是不是顶点不顶点不在圆上。在圆上。顶点在圆上，顶点在圆上，两边和圆都两边和圆都有两个交点。有两个交点。两边和圆两边和圆都只有一都只有一个交点。个交点。一边和圆有两个交一边和圆有两个交点点，另一边和圆只有另一边和圆只有一个交点一个交点观察思考：在这个海洋馆里，人们可以通过其中的圆在这个海洋馆里，人们可以通过其中的圆弧形玻璃窗观看窗内的海洋动物弧形玻
3、璃窗观看窗内的海洋动物 问题探讨：问题探讨：问题问题1 如图：同学甲站在圆心如图：同学甲站在圆心O的位置，同学乙站在正对着的位置，同学乙站在正对着玻璃窗的靠墙的位置玻璃窗的靠墙的位置C，他们的视角，他们的视角(AOB和和ACB)分分别是什么类型的角？它们有什么共同特征？用量角器量一别是什么类型的角？它们有什么共同特征？用量角器量一下，它们之间有什么样的大小关系？下，它们之间有什么样的大小关系？量完之后，有何发现？你能用文字表达出来吗？你能指出下图中弧你能指出下图中弧BC所对的圆周角和圆心角吗所对的圆周角和圆心角吗？圆心？圆心O分别位于圆周角的什么位置分别位于圆周角的什么位置？（即同弧所对的圆周
4、角度数等于这条弧所对（即同弧所对的圆周角度数等于这条弧所对的圆心角度数的一半）的圆心角度数的一半）ABCOABCOABCO我的发现：分析论证分析论证1.首先考虑一种特殊情况：首先考虑一种特殊情况：当圆心当圆心(O)在圆周角在圆周角(BAC)的一边的一边(BA)上上时时,圆周角圆周角BAC与圆心角与圆心角BOC的大小关的大小关系系.ABCO OA=OCA=C又又 BOC=ACBOC=2A即即A=BOC21分析论证分析论证你能证明第你能证明第2种情况吗？种情况吗？ABCOD提示：作射线提示：作射线AO交交 O于于D。转。转化为第化为第1种情况种情况证明：由第证明：由第1种情况得种情况得 即即BAC
5、=BOC21BAD BOD21CAD COD21BADCAD BOD COD2121分析论证分析论证你能证明第你能证明第3种情况吗？种情况吗？证明：作射线证明：作射线AO交交 O于于D。由第由第1种情况得种情况得 即即BAC=BOC21BAD BOD21CAD COD21CADBAD COD BOD2121ABCOD问题解决：问题解决：圆周角定理：圆周角定理：同弧所对的同弧所对的圆周角度数圆周角度数等于这等于这条弧所对的条弧所对的圆心角度数的一半圆心角度数的一半ABCOABCOABCO即即BAC=BOC21 问题问题 如果同学丙、丁分别站在其他靠墙的位置如果同学丙、丁分别站在其他靠墙的位置D和
6、和E，他们的视角，他们的视角(ADB和和AEB)和同学乙的和同学乙的视角相同吗？视角相同吗？相等。都等于相等。都等于BOC的一半。的一半。圆周角定理推论1：在同圆或等圆中在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等，同弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。都等于这条弧所对的圆心角的一半。用符号语言表示为：用符号语言表示为：D=C=E=AOB的一半21圆心角、弧、弦、弦心距、四个量之间关系的一个结论是什么？如图：同学甲站在圆心O的位置，同学乙站在正对着玻璃窗的靠墙的位置C，他们的视角(AOB和ACB)分别是什么类型的角？它们有什么共同特征？用量角器量一下，它们之间有什么样的大小关系？与A、
7、B重合，则BPC等于（）即BAC=BOCCAD CODD和E，他们的视角(ADB和AEB)和同学乙的问题C=30 ，AOB=60 又OA=OB，AOB是等边三角形都等于BOC的一半。即BAC=BOCCAD CODB、60；即BAC=BOC2、如图，在 O中，ABC=50，判断下列图形中所画的P是否为圆周角？并说明理由。证明：由第1种情况得提示：作射线AO交 O于D。则 O的半径是 。则AOC等于（）BAD BOD练习练习1：如图，点如图，点A、B、C、D在同一个圆上，在同一个圆上，四边形四边形ABCD的对角线把的对角线把4个内角分成个内角分成8个角，个角，这些角中哪些是相等的角？这些角中哪些是
8、相等的角？n解：解：14273658D12345678ABC练一练2、如图，在、如图，在 O中，中，ABC=50，则则AOC等于（等于（）A、50；B、80；C、90；D、100ACBOD3、如图，、如图，ABC是等边三角形，是等边三角形，动点动点P在圆周的劣弧在圆周的劣弧AB上，且不上，且不与与A、B重合，则重合，则BPC等于（等于（）A、30；B、60；C、90；D、45CABPB都等于这条弧所对的圆心角的一半。则AOC等于（）又OA=OB，AOB是等边三角形C=30 ，AOB=60 在这个海洋馆里，人们可以通过其中的圆弧形玻璃窗观看窗内的海洋动物又OA=OB，AOB是等边三角形顶点在圆心
9、的角叫圆心角问题：将圆心角顶点向上移，直至与 O相交于点C?观察得到的ACB有什么特征？D=C=E=AOB的一半即BAC=BOC提示：作射线AO交 O于D。量完之后，有何发现？你能用文字表达出来吗？量完之后，有何发现？你能用文字表达出来吗？，另一边和圆只有一个交点你能证明第3种情况吗？3、如图，ABC是等边三角形，都等于这条弧所对的圆心角的一半。又 BOC=ACCAD CODBADCAD BOD COD都等于BOC的一半。在这个海洋馆里，人们可以通过其中的圆弧形玻璃窗观看窗内的海洋动物D=C=E=AOB的一半问题1又OA=OB，AOB是等边三角形证明：由第1种情况得又OA=OB，AOB是等边三
10、角形D=C=E=AOB的一半同圆或等圆中，如果两个圆心角以及这两个角所对的弧、所对的弦，所对弦的弦心距中，有一组量相等，它们其余各组量也相等4、如图，ABC的顶点A、B、C同圆或等圆中，如果两个圆心角以及这两个角所对的弧、所对的弦，所对弦的弦心距中，有一组量相等，它们其余各组量也相等D=C=E=AOB的一半CAD COD同圆或等圆中，如果两个圆心角以及这两个角所对的弧、所对的弦，所对弦的弦心距中，有一组量相等，它们其余各组量也相等C=30 ，AOB=60 即BAC=BOCBADCAD BOD COD顶点在圆心的角叫圆心角判断下列图形中所画的P是否为圆周角？并说明理由。在同圆或等圆中，同弧所对的
11、圆周角相等，即BAC=BOC提示：作射线AO交 O于D。D=C=E=AOB的一半即BAC=BOC与A、B重合，则BPC等于（）则 O的半径是 。提示：作射线AO交 O于D。顶点在圆心的角叫圆心角提示：作射线AO交 O于D。BAD BOD则AOC等于（），另一边和圆只有一个交点与A、B重合，则BPC等于（）则 O的半径是 。两边和圆都只有一个交点。B、80；又OA=OB，AOB是等边三角形D、45D=C=E=AOB的一半，另一边和圆只有一个交点你能指出下图中弧BC所对的圆周角和圆心角吗？圆心O分别位于圆周角的什么位置？两边和圆都只有一个交点。并且两边都与圆还另有一个交点。并且两边都与圆还另有一个
12、交点。，另一边和圆只有一个交点问题：将圆心角顶点向上移，直至与 O相交于点C?观察得到的ACB有什么特征？D、100又OA=OB，AOB是等边三角形圆周角定理：同弧所对的圆周角度数等于这条弧所对的圆心角度数的一半提示：作射线AO交 O于D。都等于这条弧所对的圆心角的一半。即BAC=BOCD、100又 BOC=AC，另一边和圆只有一个交点CAD COD问题：将圆心角顶点向上移，直至与 O相交于点C?观察得到的ACB有什么特征？证明：由第1种情况得问题1D=C=E=AOB的一半在这个海洋馆里，人们可以通过其中的圆弧形玻璃窗观看窗内的海洋动物B、80；同圆或等圆中，如果两个圆心角以及这两个角所对的弧
13、、所对的弦，所对弦的弦心距中，有一组量相等，它们其余各组量也相等在这个海洋馆里，人们可以通过其中的圆弧形玻璃窗观看窗内的海洋动物又OA=OB，AOB是等边三角形CAD CODBAD BOD圆心角、弧、弦、弦心距、四个量之间关系的一个结论是什么？你能指出下图中弧BC所对的圆周角和圆心角吗？圆心O分别位于圆周角的什么位置？C=30 ，AOB=60 判断下列图形中所画的P是否为圆周角？并说明理由。都等于这条弧所对的圆心角的一半。C=30 ，AOB=60 BAD BOD在这个海洋馆里，人们可以通过其中的圆弧形玻璃窗观看窗内的海洋动物B、80；都等于这条弧所对的圆心角的一半。则 O的半径是 。又OA=O
14、B，AOB是等边三角形同圆或等圆中，如果两个圆心角以及这两个角所对的弧、所对的弦，所对弦的弦心距中，有一组量相等，它们其余各组量也相等C=30 ，AOB=60 两边和圆都只有一个交点。提示：作射线AO交 O于D。证明：作射线AO交 O于D。又OA=OB，AOB是等边三角形当圆心(O)在圆周角(BAC)的一边(BA)上时,圆周角BAC与圆心角BOC的大小关系.BAD BOD在这个海洋馆里，人们可以通过其中的圆弧形玻璃窗观看窗内的海洋动物并且两边都与圆还另有一个交点。CAD CODD=C=E=AOB的一半3、如图，ABC是等边三角形，提示：作射线AO交 O于D。B、80；，另一边和圆只有一个交点又 BOC=AC量完之后，有何发现？你能用文字表达出来吗？圆周角定理：同弧所对的圆周角度数等于这条弧所对的圆心角度数的一半判断下列图形中所画的P是否为圆周角？并说明理由。顶点在圆心的角叫圆心角BAD BOD并且两边都与圆还另有一个交点。都等于这条弧所对的圆心角的一半。练一练4、如图，、如图，ABC的顶点的顶点A、B、C都在都在 O上，上，C30，AB2，则则 O的半径是的半径是 。CABO解：连接解：连接OA、OBC=30 ，AOB=60 又又OA=OB，AOB是等边三角形是等边三角形OA=OB=AB=2，即半径为，即半径为2。2
