1、答案第 1页，共 4页2023 届高三年级第一学期四校联考数学试卷2023 届高三年级第一学期四校联考数学试卷（考试时间：120 分钟，满分：150 分）2022.12.15一、单选题一、单选题（本大题共 8 小题，共 40.0 分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1已知集合|13Axx，|1Bx x，则AB=（）A1，B13，C11，D1，2下列说法正确的是（）A圆22(1)(2)5xy的圆心为(1,2)，半径为 5B圆222(2)(0)xyb b的圆心为(2,0)，半径为bC圆22322xy的圆心为3,2，半径为2D圆22(2)(2)5xy的圆心为(2,2)，半径为53已知向量1
2、,1ma，32,nb，0a，0b，则下列说法正确的是（）A若1ab，则m n 有最小值52 6B若1ab，则m n 有最小值6C若mn，则23logm n 的值为1D若mn，则232ba的值为 142021 年 4 月 29 日，中国空间站天和核心舱发射升空，这标志着中国空间站在轨组装建造全面展开，我国载人航天工程“三步走”战略成功迈出第三步.到今天，天和核心舱在轨已经九个多月.在这段时间里，空间站关键技术验证阶段完成了 5 次发射、4 次航天员太空出舱、1 次载人返回、1 次太空授课等任务.一般来说，航天器绕地球运行的轨道近似看作为椭圆，其中地球的球心是这个椭圆的一个焦点，我们把椭圆轨道上距
3、地心最近（远）的一点称作近（远）地点，近（远）地点与地球表面的距离称为近（远）地点高度.已知天和核心舱在一个椭圆轨道上飞行，它的近地点高度大约 351km，远地点高度大约 385km，地球半径约6400km，则该轨道的离心率为（）A176768B17368C385736D6785135365把一条线段分为两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比，其比值是一个无理数512，由于按此比例设计的造型十分美丽柔和，因此称为黄金分割，黄金分割不仅仅体现在诸如绘画、雕塑、音乐、建筑等艺术领域，而且在管理、工程设计等方面也有着不可忽视的作用.在ABC中，点 D 为线段BC的黄金分割点（BDDC
4、），2AB，3AC，60BAC，则AD BC（）A7 592B97 52C9 572D79 52答案第 2页，共 4页6如图，由于建筑物 AB 的底部 B 是不可能到达的，A 为建筑物的最高点，需要测量 AB，先采取如下方法，选择一条水平基线 HG，使得 H，G，B 三点在一条直线上，在 G，H 两点用测角仪测得 A 的仰角为，CDa，测角仪器的高度是 h，则建筑物 AB 的高度为（）AsinsinahBsinsinahCsinsinsinahDsinsincosah7已知数列 na是公比不等于1的等比数列，若数列 na，1nna，2na的前 2023 项的和分别为 m，8m，20，则实数 m
5、 的值（）A只有 1 个B有 2 个C无法确定D不存在8若 x，(0,)y，lnesinyxxy，则（）Aln()0 xyBln()0yxCeyx Dlnyx二、多选题二、多选题（本大题共 4 小题，共 20.0 分。在每小题有多项符合题目要求）9已知数列 na为等比数列，则（）A数列2a，4a，8a成等比数列B数列12aa，34aa，56aa成等比数列C数列12aa，34aa，56aa成等比数列D数列123aaa，456aaa，789aaa成等比数列10函数()sin()f xAx(0,0)，()f x图像一个最高点是(,2)3A，距离点 A最近的对称中心坐标为(,0)4，则下列说法正确的有
6、()A的值是 6B(,)12 12x 时，函数()f x单调递增C1312x时函数()f x图像的一条对称轴D()f x的图像向左平移(0)个单位后得到()g x图像，若()g x是偶函数，则的最小值是611 已知函数 fx，g x的定义域均为R，它们的导函数分别为 fx，gx 若1yf x是奇函数，cosgxx，fx与 g x图象的交点为11,xy，22,xy，,mmxy，则（）答案第 3页，共 4页A fx的图象关于点1,0对称B fx的图象关于直线1x 对称C g x的图象关于直线12x 对称D1miiixym12 已知正四面体ABCD的棱长为2 2，其外接球的球心为O 点E满足(01)
7、AEAB ，(01)CFCD ，过点 E 作平面平行于 AC 和 BD，平面分别与该正四面体的棱 BC，CD，AD 相交于点 M，G，H，则（）A四边形 EMGH 的周长为是变化的B四棱锥AEMGH的体积的最大值为6481C当14时，平面截球 O 所得截面的周长为472D 当12时，将正四面体 ABCD 绕 EF 旋转90后与原四面体的公共部分体积为43三、填空题三、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分）13已知i为虚数单位，且复数 z 满足：i12iz ，则复数 z 的模为_14 若直线1l：220 xay与直线2l：0 xya平行，则直线1l与2l之间的距离为_15已知曲线1eln
8、xyxx在1x 处的切线与直线20mxy垂直，则实数m _.16有一张面积为8 2的矩形纸片ABCD，其中O为AB的中点，1O为CD的中点，将矩形ABCD绕1OO旋转得到圆柱1OO，如图所示，若点M为BC的中点，直线AM与底面圆O所成角的正切值为24，EF为圆柱的一条母线（与AD，BC不重合），则当三棱锥AEFM的体积取最大值时，三棱锥AEFM外接球的表面积为_.四、解答题四、解答题（本大题共 6 小题，共 70.0 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17已知函数cos sinco()()()s3xxxxfxR(1)求 fx的最小正周期和单调增区间；(2)在ABC中，角,A B C的
9、对边分别为,a b c若322Bf，6b，求ABC的面积的最大值18在21322nSnnt；21373,aa a a成等比数列；222nnnSaa；这三个条件中任选一个，补充在下面试题的空格处中并作答已知 na是各项均为正数，公差不为 0 的等差数列，其前 n 项和为nS，且(1)求数列 na的通项公式；答案第 4页，共 4页(2)定义在数列 na中，使3log1na 为整数的na叫做“调和数”，求在区间1，2022内所有“调和数”之和nT19如图所示，在三棱锥 A-BCD 中，已知平面 ABD平面 BCD，且6,2,2 2BDADAB，BCAC.(1)证明：BC平面 ACD；(2)若点 F
10、为棱 BC 的中点，2AEEF ，且3CD，求平面 CDE 与平面 ABD 夹角的余弦值.20如图，半径为 1 的光滑圆形轨道圆1O、圆2O外切于点M，点H是直线12OO与圆2O的交点，在圆形轨道1O、圆2O上各有一个运动质点P，Q同时分别从点M、H开始逆时针绕轨道做匀速圆周运动，点P，Q运动的角速度之比为 2：1，设点Q转动的角度为，以1O为原点，12OO为x轴建立平面直角坐标系(1)若为锐角且2sin410，求P、Q的坐标；(2)求PQ的最大值21 定义椭圆22221(0)xyCabab：的“蒙日圆”的方程为2222xyab，已知椭圆C的长轴长为 4，离心率为12e.(1)求椭圆C的标准方
11、程和它的“蒙日圆”E 的方程；(2)过“蒙日圆”E 上的任意一点 M 作椭圆C的一条切线MA，A 为切点，延长 MA 与“蒙日圆”E交于点D，O 为坐标原点，若直线 OM，OD 的斜率存在，且分别设为12,k k，证明：12k k为定值.22已知函数()2e sinxf xxax（e是自然对数的底数）(1)若0a，求()f x的单调区间；(2)若06a，试讨论()f x在(0,)上的零点个数（参考数据：2e4.8）答案第 1页，共 8页2023 届高三年级第一学期四校联考2023 届高三年级第一学期四校联考数学试卷参考答案数学试卷参考答案1B2C3A4A5A6C7B8C解：设 sin,0f x
12、xx x，则 1 cos0fxx（不恒为零），故 fx在(0,)上为增函数，故 00f xf，所以sinxx，故sinyy在(0,)上恒成立，所以lneelneyyyxxy，但 lng xxx为(0,)上为增函数，故eyx 即ln xy，所以 C 成立，D 错误.取ex，考虑1eesinyy的解，若e1y，则e 1ee5e21 esinyy ，矛盾，故e1y 即1yx，此时ln()0yx，故 B 错误.取1y，考虑lnesin1xx，若2x，则1ln2ln23eesin12xx，矛盾，故2x，此时1xy，此时ln()0 xy，故 A 错误，故选：C.9BD10AD11BC12BD【详解】对于边
13、长为 2 的正方体1111ABCDABC D，则 ABCD 为棱长为2 2的正四面体，则球心 O 即为正方体的中心，连接11B D，设11ACB DNI=1BB1DD，11BBDD，则11BB D D为平行四边形BD11B D，又BD平面，11B D 平面，11B D平面，又AC平面，11ACB DNI=，11,AC B D 平面11ABCD，平面平面11ABCD，对 A：如图 1，平面平面11ABCD，平面平面ABCEM，平面11ABCD平面ABCAC，EMAC，则1EMBEACAB，即12 2 1EMAC，同理可得：HEGM11B D，2 2HEGM，EMGHAC，2 2 1EMGH，四边
14、形 EMGH 的周长4 2LEMMGGHEH（定值），A 错误；对 B：如图 1，由 A 可知：HEGM11B D，2 2HEGM，EMGHAC，答案第 2页，共 8页2 2 1EMGH，11ABCD为正方形，则11ACB D，EMGH为矩形，根据平行可得：点 A 到平面的距离12dAA，故四棱锥AEMGH的体积2311622 22 2 133V，则16233V，01，则当203时，则0V，V在20,3上单调递增，当213时，则0V，V在2,13上单调递减，当23时，V取到最大值6481，故四棱锥AEMGH的体积的最大值为6481，B 正确；对 C：正四面体 ABCD 的外接球即为正方体111
15、1ABCDABC D的外接球，其半径3R，设平面截球 O 所得截面的圆心为1O，半径为r，当14时，则112OO，2221OOrR，则2221112rROO，平面截球 O 所得截面的周长为211r，C 错误；对 D：如图 2，将正四面体 ABCD 绕 EF 旋转90后得到正四面体1111DCBA，设11111111,ADADP ACBDK BCBCQ B DACNIIII，12，则,E F P Q K N分别为各面的中心，两个正四面体的公共部分为EFPQKN，为两个全等的正四棱锥组合而成，根据正方体可得：2EP，正四棱锥KPEQF的高为1112AA，故公共部分的体积142212233K PEQ
16、FVV，D 正确；故选：BD.答案第 3页，共 8页1351422151216412解：设圆柱的高为h，底面半径为r，则28 2rh，即4 2rh.因为直线AM与底面圆O所成角的正切值为24，所以2224hr，即2hr.由4 22rhhr，得2 22hr.连接BE，由题意得AEBE，AEEF，又BEEFE，所以AE平面MEF，而AE 平面AEF，所以平面AEF 平面MEF.过点M作MNEF于点N，则MN 平面AEF.设AEa，BEb，则2216ab，于是三棱锥AEFM的体积2211228 22 2323323A EFMabVabab，当且仅当2 2ab时取等号，设此时三棱锥AEFM外接球的球心
17、到平面AEF的距离为x，外接球半径为R，则22422 2xx，解得3 24x，于是229414488Rx，所以当三棱锥AEFM的体积取最大值时，三棱锥AEFM外接球的表面积24142SR.故答案为：412.17解：（1）211cos2()cos sin3cossin2322xf xxxxx1333sin2cos2sin 222232xxx()f x的周期T，由2 22 232kxk，Zk，得51212kxk，Zk所以()f x的单调递增区间是5,1212kk，Zk（2）33sin2322BfB，即sin03B，又(0,)B，3B，由正弦定理有64 3sinsinsinsin3acbACB，11
18、4 34 312 322sinsinsin sinsin sinABCBACACSacB223112 3sinsin12 3sincossin18sincos6 3sin322AAAAAAAA答案第 4页，共 8页1cos29sin26 36 3sin 23 326AAA203A，72666A，max9 3ABCS,当2,62A即3A 时取得最大值.另解：33sin2322BfB，即sin03B，又0,B，3B，由余弦定理知：22222222cos362cos23bacacBacacacacacacac，即36ac，当且仅当6ac时，等号成立13sinB9 324ABCSacac，当6ac时，
19、max9 3ABCS18解：（1）选解：因为21322nSnnt，所以当1n 时，112aSt，当2n，时2211313112222nnnaSSnntnnt 1n，因为 na是各项均为正数，公差不为 0 的等差数列，所以0t，1nan.选解：因为137,a a a成等比数列，所以2317aa a，因为 na是各项均为正数，公差不为 0 的等差数列，设其公差为d，所以212111326aadadaad，所以121ad，所以111naandn.选解：因为222nnnSaa，所以当1n 时，211122Saa所以21120aa，所以12a 或11a ，因为 na是各项均为正数的等差数列，所以12a，
20、又当 n2 时，222222Saa，所以2122222aaaa，所以22222 22aaa，所以22260aa，所以23a 或22a （舍去），其公差211daa，所以111naandn.（2）设3log1nba，所以31bna，令12022b，且 b 为整数，又由67333log 31,log 3729,log 32187，6733log 32022log 3，所以 b 可以取 1，2，3，4，5，6，此时na分别为12345631,31,31,31,31,31，所以区间1，2022内所有“调和数”之和 123456313131313131nT 1234563333336答案第 5页，共 8
21、页63 1 361 31086.19(1)证明：由条件可得222BDADAB，所以 ADBD因为平面 ABD平面 BCD，平面 ABD平面 BCD=BD，所以 AD平面 BCD，所以 ADBC又 BCAC，ACAD=A，所以 BC平面 ACD.(2)解：因为 BC平面 ACD，所以 BCCD所以 BC=3.以 C 为坐标原点，直线 CD，CB 分别为 x，y 轴，过点 C 且垂直于平面 BCD 的直线为 z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则(0,0,0),(3,0,0),(0,3,0)CDB，3332(3,0,2),0,0,.2333AFE则332(3,0,0),.333CDCE 设平面 C
22、DE 的法向量为,nx y z，则303320333n CDxn CExyz 取2y，则(0,2,3)n，(3,3,2),0,0,2ABAD ,设平面 ABD 的一个法向量为,cma b，则203320m ADcm ABabc ，取1,1,1,0am，设平面 CDE 与平而 ABD 的夹角为，.则25coscos,.|552m nm nm n 故平面 CDE 与平而 ABD 的夹角的余弦为55.20解：（1）因为为锐角，所以,44 4 答案第 6页，共 8页因为2sin410，所以227 2cos1 sin14410010，所以227 224sinsin441021025，所以23cos1 s
23、in5，所以24sin22sincos25，27cos22cos125 ，所以13 4,55Q，724,25 25P（2）因为点P，Q分别运动的角速度之比为 2：1，所以当点Q转动的角度为时，P转动角度为2，因此cos2,sin2P，2cos,sinQ222cos2cos2sin2sinQP2222cos 2cos42cos2 cos4cos24cossin 2sin2sin2 sin62 cos2 cossin2 sin4cos24cos64cos22cos28cos2cos10，所以当1cos8时，2PQ取得最大值211818210888，所以PQ的最大值为9 2421解：（1）由题意知1
24、24,=2caea21,3cb，故椭圆的方程22143xy,“蒙日圆”E的方程为22437xy,即227xy（2）当切线MA的斜率存在且不为零时,设切线MA的方程为ykxm,则由22143ykxmxy,消去y得2223484120kxmkxm2222644 344120m kkm 2234mk,由227ykxmxy,消去y得2221270kxmkxm2222244 1716 120m kkmk 设1122(,),(,)P x yQ xy,则212122227,11mkmxxx xkk,222222222121212121222121212272711771mmkkkmmkxmkxmk x xk
25、m xxmy ymkkkk kmx xx xx xmk2234mk，22221 2227347373474mkkkk kmk，当切线MA的斜率不存在或为零时,易得1234k k 成立,12kk为定值.答案第 7页，共 8页22 解：(1)0a，则()2e sinxf xx，定义域为R，()2e(sincos)2 2e sin4xxfxxxx，由()0fx，解得sin04x，可得22()4kxkkZ，解得322()44kxkkZ，由()0fx，解得sin04x，可得222()4kxkkZ，解得3722()44kxkkZ，()f x的单调递增区间为32,2()44kkkZ，单调递减区间为372,2
26、()44kkkZ；(2)由已知()2e sinxf xxax，()2e(sincos)xfxxxa，令()()h xfx，则()4e cosxh xx(0,)x，当0,2x时，()0h x；当,2x时，()0h x，()h x在0,2上单调递增，在,2上单调递减，即()fx在0,2上单调递增，在,2上单调递减(0)2fa，22e02fa，()2e0fa 当20a时，即02a时，(0)0f，0,2x，使得00fx，当00,xx时，()0fx；当0,xx时，()0fx，()f x在00,x上单调递增，0,x上单调递减(0)0f，00f x，又()0fa，由函数零点存在性定理可得，此时()f x在(
27、0,)上仅有一个零点；若26a时，(0)20fa，又()fx在0,2上单调递增，在,2上单调递减，而22e02fa，10,2x，2,2x，使得 10fx，20fx，且当10,xx、2,xx时，()0fx；当12,xx x时，()0fx()f x在10,x和2,x上单调递减，在12,x x上单调递增答案第 8页，共 8页(0)0f，10f x，222e2e3022fa，20f x，又()0fa，由零点存在性定理可得，()f x在12,x x和2,x内各有一个零点，即此时()f x在(0,)上有两个零点综上所述，当02a时，()f x在(0,)上仅有一个零点；当26a时，()f x在(0,)上有两个零点
