1、#工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案第第9章章 弯弯 曲曲第第 9 章章 弯弯 曲曲9-1 剪力图和弯矩图的进一步研究剪力图和弯矩图的进一步研究9-3 求惯性矩的平行移轴公式求惯性矩的平行移轴公式9-2 弯曲正应力弯曲正应力9-4 弯曲切应力弯曲切应力9-5 梁的强度条件梁的强度条件9-6 挠度和转角挠度和转角9-7 弯曲应变能弯曲应变能9-8 超静定梁超静定梁#工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案第第9章章 弯弯 曲曲9-1 剪力图和弯矩图的进一步研究剪力图和弯矩图的进一步研究载荷集度、剪力、弯矩之间的微分关系载荷集度、剪力、弯矩之间的微分关系;载荷集度、剪力图、弯矩图之间的规律应
2、用。载荷集度、剪力图、弯矩图之间的规律应用。微分关系的推导微分关系的推导;#工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案第第9章章 弯弯 曲曲 规定载荷集度规定载荷集度q(x)向向上为正。上为正。1.微分关系的推导微分关系的推导FS(x)dxM(x)+dM(x)FS(x)+dFS(x)q(x)M(x)CyAmnBxdxxq(x)dx段载荷集度分布均匀。段载荷集度分布均匀。载荷集度载荷集度q(x)是是x的连的连续函数。续函数。#工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案第第9章章 弯弯 曲曲Fy0FS(x)+q(x)dx-FS(x)+dFS(x)=0)(ddSxqxF (1)MC=0M(x)+dM(x
3、)-M(x)-FS(x)dx q(x)dx dx/2=0)(d)(dSxFxxM (2)(d)(d22xqxxM (3)FS(x)dxM(x)+dM(x)FS(x)+dFS(x)q(x)M(x)C#工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案第第9章章 弯弯 曲曲2.载荷集度、剪力图、弯矩图之间的关系载荷集度、剪力图、弯矩图之间的关系56#工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案第第9章章 弯弯 曲曲 归归 纳：纳：(1)图图 形形 规规 律律FSq00000MM#工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案第第9章章 弯弯 曲曲(2)突突 变变 规规 律律(a)在有集中力作用处在有集中力作用处,剪力
4、图突变剪力图突变,弯矩图有折弯矩图有折转。转。(b)在有集中力偶作用处在有集中力偶作用处,剪力图无变化剪力图无变化,弯矩图弯矩图有突变。有突变。(3)绝对值最大的弯矩既可能发生在剪力为零的极绝对值最大的弯矩既可能发生在剪力为零的极值点处值点处,也可能发生在集中力和集中力偶作用处。也可能发生在集中力和集中力偶作用处。#工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案第第9章章 弯弯 曲曲3.应用分析应用分析已知已知:F=2 kN，M=10 kN mq=1 kN/m。求求:梁梁ABCDE的剪力图的剪力图及弯矩图。及弯矩图。解：解：(1)求约束力求约束力(2)利用微分关系利用微分关系作图作图 kN7AF k
5、N5DF4 m4 m4 m3 mABCDEqFFMFAFD（kNm）M2020.51666x（kN）FS731325mx#工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案第第9章章 弯弯 曲曲思考题思考题 9-1 下面的剪力图和弯矩图有无错误，请改正。下面的剪力图和弯矩图有无错误，请改正。#工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案第第9章章 弯弯 曲曲思考题思考题 9-2下面的剪力图和弯矩图有无错误，请改正。下面的剪力图和弯矩图有无错误，请改正。#工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案第第9章章 弯弯 曲曲横力弯曲横力弯曲M 0FS 0弯曲正应力弯曲正应力弯曲切应力弯曲切应力FSMzyAdAdAd(
6、-)(+)yAd AAFdS AAyMd 9.2.1 横力弯曲与纯弯曲的概念横力弯曲与纯弯曲的概念#工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案第第9章章 弯弯 曲曲先观察下列各组图先观察下列各组图(a)图中这种梁段的图中这种梁段的弯曲弯曲(横截面上横截面上 既有既有弯矩又有剪力）称为弯矩又有剪力）称为横力弯曲横力弯曲。#工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案第第9章章 弯弯 曲曲(b)图中这种梁的弯图中这种梁的弯曲曲(横截面上只有弯矩横截面上只有弯矩而无剪力）称为而无剪力）称为纯弯纯弯曲曲。纯弯曲纯弯曲纯弯梁纯弯梁M=0,FS=0#工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案第第9章章 弯弯 曲曲
7、9.2.2 单一材料的弯曲正应力单一材料的弯曲正应力 (3)荷载作用在纵向对称平面内。荷载作用在纵向对称平面内。lxbhyz1.分析模型：分析模型：(1)单一材料窄高矩形截面梁（单一材料窄高矩形截面梁（h b）；(2)细长梁（细长梁（lh 10）；）；#工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案第第9章章 弯弯 曲曲静力学方面静力学方面:MMMFzy 00 N纵向对称平面纵向对称平面2.实验研究实验研究yb/2hzb/2xyzOmnnmaabbMM#工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案第第9章章 弯弯 曲曲弯曲变形演示弯曲变形演示#工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案第第9章章 弯弯 曲
8、曲 （1）各横向周线仍各在一个平面内，只是各自绕着）各横向周线仍各在一个平面内，只是各自绕着与弯曲平面垂直的轴转动了一个角度；与弯曲平面垂直的轴转动了一个角度；(2)纵向线段变弯，但仍与横向周线垂直；纵向线段变弯，但仍与横向周线垂直；(3)部分纵向线段伸长，部分纵向线段缩短。部分纵向线段伸长，部分纵向线段缩短。#工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案第第9章章 弯弯 曲曲 直梁纯弯曲时，原为平面的横截面仍保持为平直梁纯弯曲时，原为平面的横截面仍保持为平面，且仍垂直于弯曲后梁的轴线，只是相邻横截面面，且仍垂直于弯曲后梁的轴线，只是相邻横截面各自绕着与弯曲平面垂直的某一根横向轴各自绕着与弯曲平面
9、垂直的某一根横向轴中性中性轴作相对转动。轴作相对转动。直梁纯弯曲时的直梁纯弯曲时的平面假设平面假设：#工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案第第9章章 弯弯 曲曲MM受压区受压区受拉区受拉区c 中性层中性层#工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案第第9章章 弯弯 曲曲纯弯曲纯弯曲正应力正应力切应力切应力=0 沿截面宽度沿截面宽度方向均匀分方向均匀分布布正应力沿正应力沿高度方向高度方向如何分布如何分布#工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案第第9章章 弯弯 曲曲3.弯曲正应力的计算弯曲正应力的计算(1)几何方面几何方面:yy ddd)(2)物理方面物理方面:yEE#工程力学教程电子教案工程
10、力学教程电子教案第第9章章 弯弯 曲曲 AAAyMAFd0dN 0ddN AAAyEAyEF 0d AzAyS 中性轴通过截面的形心中性轴通过截面的形心 AAAAyEAyEAyMddd22 yzyA(3)静力学方面静力学方面:#工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案第第9章章 弯弯 曲曲zEIM 1EIz为抗弯刚度为抗弯刚度 AzAyId2yzyAzIMy (a)几何方面：平面假设；几何方面：平面假设；(b)物理方面：各纵向纤维间互不挤压，材料在线弹物理方面：各纵向纤维间互不挤压，材料在线弹性范围内工作，材料在拉伸和压缩时的弹性模量相性范围内工作，材料在拉伸和压缩时的弹性模量相等。等。公式的
11、适用条件：公式的适用条件：AAyEMd2 yEE Iz为对为对z轴的惯性矩轴的惯性矩#工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案第第9章章 弯弯 曲曲等直梁纯弯曲正应力的计算等直梁纯弯曲正应力的计算小结：小结：正应力公式正应力公式通过截面形心通过截面形心中性轴位置中性轴位置=Ey/单向应力状态下的单向应力状态下的胡克定律胡克定律=E 变化规律变化规律=y/平面假设平面假设 变化规律变化规律结果结果依据依据项目项目0dN AAF MAyMAz d zIMy#工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案第第9章章 弯弯 曲曲截截 面面zy线应变线应变+max正应力正应力+maxmax线弹性线弹性,小变形
12、小变形,外力作用在纵向对称平面内外力作用在纵向对称平面内;线应变和正应力在横截面上的分布规律。线应变和正应力在横截面上的分布规律。#工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案第第9章章 弯弯 曲曲12dd32222bhybyAyIhhAz 4.轴惯性矩轴惯性矩zyydybh空心矩形的惯性矩？空心矩形的惯性矩？圆的惯性矩？圆的惯性矩？#工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案第第9章章 弯弯 曲曲 如图所示，当梁在水平面内弯曲时，中性轴如图所示，当梁在水平面内弯曲时，中性轴是哪个轴？截面对此轴的惯性矩表达式是什么？是哪个轴？截面对此轴的惯性矩表达式是什么？思考题思考题 9-3zyydybh#工程力
13、学教程电子教案工程力学教程电子教案第第9章章 弯弯 曲曲12d32bhAyIAz 5.轴惯性矩及抗弯截面系数轴惯性矩及抗弯截面系数zIMy zzalWMIyM maxmaxmax 对中性轴对中性轴z 的抗弯截面系数的抗弯截面系数:2max61bhyIWzz （单位为（单位为:mm3或或m3）zyydybh(1)实心矩形的惯性矩及抗弯截面系数实心矩形的惯性矩及抗弯截面系数#工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案第第9章章 弯弯 曲曲(2)空心矩形的惯性矩及抗弯截面系数空心矩形的惯性矩及抗弯截面系数zybHhBC121233bhBHIz 121233hbHBIy HbhBHWz633#工程力学教
14、程电子教案工程力学教程电子教案第第9章章 弯弯 曲曲(3)实心圆截面的惯性矩及抗弯截面系数实心圆截面的惯性矩及抗弯截面系数dczyyzdA32d42PdAIA 222zy zyAIIAzyI d)(22P6424PdIIIzy 323dWz#工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案第第9章章 弯弯 曲曲(4)空心圆截面的惯性矩空心圆截面的惯性矩)1(64)(644444 DdDIIzyDczydcDd )1(3243 DWz#工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案第第9章章 弯弯 曲曲(b)物理方面：各纵向纤维间互不挤压，材料物理方面：各纵向纤维间互不挤压，材料在线弹性范围内工作，材料在拉伸
15、和压缩在线弹性范围内工作，材料在拉伸和压缩时的弹性模量相等。时的弹性模量相等。6.纯弯曲理论的简单回顾纯弯曲理论的简单回顾 公式公式 的适用条件：的适用条件：zIMy (a)几何方面：平面假设；几何方面：平面假设；#工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案第第9章章 弯弯 曲曲7.纯弯曲理论的推广纯弯曲理论的推广 横力弯曲时，由于切应力的存在横力弯曲时，由于切应力的存在,梁的横截梁的横截面将发生翘曲。此外在与中性层平行的纵截面上面将发生翘曲。此外在与中性层平行的纵截面上,还有由横向力引起的挤压应力。但工程中的梁还有由横向力引起的挤压应力。但工程中的梁,当跨高比较大时，按纯弯曲理论计算误差不大。
16、当跨高比较大时，按纯弯曲理论计算误差不大。zWxM)(max#工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案第第9章章 弯弯 曲曲yz8065202080 35 单位单位:mm 对于图示对于图示 T形截面梁形截面梁,已知已知:Iz=290.610-8 m4求横截面上的最大拉应力和最大压应力。求横截面上的最大拉应力和最大压应力。例题例题 9-1 3AB1 3 kN8 kNC2xM2.5 kNm3 kNm#工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案第第9章章 弯弯 曲曲MPa1.36mN106.29010351032833 ）（上上B 解：解：B 截面：截面：MPa1.67)1.36(3565 下下B C
17、 截面：截面：MPa0.5635.21.6735.2 下下下下BC 例题例题 9-1 3AB1 3 kN8 kNC2xM2.5 kNm3 kNm#工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案第第9章章 弯弯 曲曲MPa.1.67,MPa0.56maxmax al yz8065202080 35 单位单位:mm36.1 MPa67.1 MPaB截面上：截面上：30.2 MPa56.0 MPaC 截面上：截面上：例题例题 9-1 xM2.5 kNm3 kNm#工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案第第9章章 弯弯 曲曲 若例若例9-1中的梁截面为工字形，则横截面的最中的梁截面为工字形，则横截面的最大
18、拉应力与最大压应力是否一定在弯矩绝对值最大拉应力与最大压应力是否一定在弯矩绝对值最大的横截面上？大的横截面上？思考题思考题 9-43AB1 3 kN8 kNC2yzxM2.5 kNm3 kNm#工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案第第9章章 弯弯 曲曲 图图a所示简支梁由所示简支梁由56a号工字钢制成，其截面号工字钢制成，其截面简化后的尺寸见图简化后的尺寸见图b。已知。已知F=150 kN。试求危险截。试求危险截面上的最大正应力面上的最大正应力 max和同一横截面上翼缘与腹板和同一横截面上翼缘与腹板交界处交界处a点处点处(图图b)的正应力的正应力 a。例题例题 9-2#工程力学教程电子教案
19、工程力学教程电子教案第第9章章 弯弯 曲曲1.在不考虑梁的自重在不考虑梁的自重(1.041kN/m)的情况下，该梁的情况下，该梁的弯矩图如图所示，截面的弯矩图如图所示，截面C为危险截面，相应的最为危险截面，相应的最大弯矩值为大弯矩值为 mkN3754m10kN1504max FlM例题例题 9-2解解:#工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案第第9章章 弯弯 曲曲由型钢规格表查得由型钢规格表查得56a号工字钢截面号工字钢截面3cm2342 zW4cm65586 zIMPa160m102342mN10375363maxmax zWM MPa148m1065586m021.02m56.0mN10
20、375483max zaaIyM 于是有于是有危险截面上点危险截面上点a 处的正应力为处的正应力为例题例题 9-2#工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案第第9章章 弯弯 曲曲MPa148 MPa1602m56.0m021.02m56.0maxmax yyaa 该点处的正应力该点处的正应力 a亦可根据直亦可根据直梁横截面上的正应力在与中性轴梁横截面上的正应力在与中性轴z 垂垂直的方向按直线变化的规律，利用直的方向按直线变化的规律，利用已求得的该横截面上的已求得的该横截面上的 max=160 MPa来计算：来计算：例题例题 9-2#工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案第第9章章 弯弯 曲曲
21、显然，梁的自重引起的最大正应力仅为显然，梁的自重引起的最大正应力仅为而危险截面上的最大正应力变为而危险截面上的最大正应力变为MPa7.165Pa107.165m102342mN103886363max MPa7.5MPa1607.165 远小于外加荷载远小于外加荷载F 所引起的最大正应力。所引起的最大正应力。mkN388mkN13mkN375842max qlFlM 如果考虑梁的自重如果考虑梁的自重(q=1.041 kN/m)则危险截面未则危险截面未变，但相应的最大弯矩值变为变，但相应的最大弯矩值变为例题例题 9-2#工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案第第9章章 弯弯 曲曲9-3 求惯性
22、矩的平行移轴公式求惯性矩的平行移轴公式.,bzzayycc 22222dd2dd)(dAbIAbAzbAzAbzAzIcyAAcAcAAcy 2AaIIczz 同理可得：同理可得：zyCabdAzyyczcyczcO*#工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案第第9章章 弯弯 曲曲(1)根据求惯性矩的平行移轴公式，是否可得如下结根据求惯性矩的平行移轴公式，是否可得如下结论：图形对于形心轴的惯性矩是图形对于与该形心论：图形对于形心轴的惯性矩是图形对于与该形心轴平行的轴之惯性矩中的最小者？轴平行的轴之惯性矩中的最小者？(2)求图示截面对于形心轴求图示截面对于形心轴z的惯性矩。的惯性矩。思考题思考题
23、 9-5yz8065202080 35 单位:mm#工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案第第9章章 弯弯 曲曲横力弯曲横力弯曲M 0FS 0弯曲正应力弯曲正应力弯曲切应力弯曲切应力FSMzyAdAdAd(-)(+)yAd AAFdS AAyMd#工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案第第9章章 弯弯 曲曲9.4.1 单一材料矩形截面梁的弯曲切应力单一材料矩形截面梁的弯曲切应力 (3)荷载作用在纵向对称平面内。荷载作用在纵向对称平面内。lxbhyz1.分析模型分析模型(1)单一材料窄高矩形截面梁（单一材料窄高矩形截面梁（h b）；(2)细长梁（细长梁（lh 10）；）；#工程力学教程电子教
24、案工程力学教程电子教案第第9章章 弯弯 曲曲2.关于切应力分布的假设关于切应力分布的假设FSyyzyFS(1)切应力与侧边方向平行；切应力与侧边方向平行；(2)切应力沿截面宽度方向均匀分布。切应力沿截面宽度方向均匀分布。对对hb的截面而言，此假设为合理的。的截面而言，此假设为合理的。#工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案第第9章章 弯弯 曲曲为什么关于切应力分布的假设是合理的？为什么关于切应力分布的假设是合理的？答：根据切应力互等定理可知关于应力方向的答：根据切应力互等定理可知关于应力方向的假设是合理的。又对于狭长矩形应力沿宽度的变化假设是合理的。又对于狭长矩形应力沿宽度的变化不可能大，所
25、以假设切应力沿宽度不变是合理的。不可能大，所以假设切应力沿宽度不变是合理的。思考题思考题 9-6FSyyzyFS#工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案第第9章章 弯弯 曲曲3.分离体平衡分析分离体平衡分析FS(x)M(x)FS(x)M(x)+dM(x)dxmmnnMeFq(x)lhbxyzmmnndxdx(x)+d(x)(x)#工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案第第9章章 弯弯 曲曲(x)+d(x)dx(x)SdFdx(x)yz(x)+d(x)xFSyyzyFS#工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案第第9章章 弯弯 曲曲dxb*NFNFSdF*Axdx(x)(x)+d(x)zzz
26、zbISFbISxM*S*dd xbFddS S*N*NdFFF *ddd*NAzAzAAyIMAyIMAF *dd*NAzAyIMMF得得*Sdddd*zzAzSIMAyIMF 0 xF得到得到 由平衡方程由平衡方程yzy*FSydA#工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案第第9章章 弯弯 曲曲切应力计算公式切应力计算公式:zzbISF*S yzFSy其中：其中：FS 所求切应力截面上的剪力所求切应力截面上的剪力 Iz 整个截面对中性轴的惯性矩整个截面对中性轴的惯性矩 b 所求切应力点处横截面的宽度所求切应力点处横截面的宽度 Sz*过所求切应力点作中性轴的平行线，过所求切应力点作中性轴的平
27、行线，将横截面分为两部分，其中任意一部将横截面分为两部分，其中任意一部分对中性轴的静矩。分对中性轴的静矩。注意：实际计算中直接由剪力注意：实际计算中直接由剪力FS的方向确定的方向确定 的方向。的方向。#工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案第第9章章 弯弯 曲曲4.单一材料矩形截面梁的切应力分布与计算单一材料矩形截面梁的切应力分布与计算发生在中性轴处发生在中性轴处023minSmax bhF发生在上下边缘处发生在上下边缘处bhcyyzyFS max*计算式：计算式：)4(222SyhIFz )41(8 )2(21)2()(222*hybhyhyyhbyAySCz#工程力学教程电子教案工程力学
28、教程电子教案第第9章章 弯弯 曲曲 实心细长梁弯曲切应力分布对弯曲正应力实心细长梁弯曲切应力分布对弯曲正应力有什么影响？有什么影响？FxmpnqFmpqnm p n q 思考题思考题 9-7#工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案第第9章章 弯弯 曲曲 5.切应力分析方法小结切应力分析方法小结:横截面上的切应力横截面上的切应力 应力分布假设应力分布假设分离体平衡分离体平衡纵截面上的剪力纵截面上的剪力切应力互等定理切应力互等定理 纵截面上纵截面上的切应力的切应力#工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案第第9章章 弯弯 曲曲9.4.2 型截面梁型截面梁yzbhtd对矩形截面梁所作的切应力分布假
29、设依然适用。对矩形截面梁所作的切应力分布假设依然适用。#工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案第第9章章 弯弯 曲曲yzdxFS(x)FS(x)M(x)M(x)+dM(x)dISFdISxMzzzzff *S*dd 1.腹板部分腹板部分(x)+d(x)(x)dxfyzdf max#工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案第第9章章 弯弯 曲曲2.顶板部分顶板部分(1)竖直切应力分析竖直切应力分析 (b)对顶板竖直切应力大小的判断对顶板竖直切应力大小的判断()根据腹板承受的剪力判断根据腹板承受的剪力判断 结论：顶板部分竖直切应力分量很小。结论：顶板部分竖直切应力分量很小。(a)切应力分布假设对
30、顶板竖直切应力不再适用；切应力分布假设对顶板竖直切应力不再适用；()根据切应力互等定理根据切应力互等定理 fAffFAFSSd ydz#工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案第第9章章 弯弯 曲曲zzzzyiyitISFtISxM*S*dd (2)水平切应力分析水平切应力分析 *N*Nxtyid ydzydztdxFS(x)M(x)+dM(x)FS(x)M(x)#工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案第第9章章 弯弯 曲曲2/)(*thtSz ydzhtyimax3.型截面梁的切应力分布型截面梁的切应力分布ydzyi maxf max#工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案第第9章章 弯
31、弯 曲曲 max 1.纯弯曲的梁最大弯曲正应力：纯弯曲的梁最大弯曲正应力：Wz 抗弯截面系数抗弯截面系数(1)等截面直梁，中性轴为横截面对称轴等截面直梁，中性轴为横截面对称轴zWM/maxmax 故由故由 max 得得 zWM/max#工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案第第9章章 弯弯 曲曲(2)中性轴不是横截面对称轴，且材料拉压强度不中性轴不是横截面对称轴，且材料拉压强度不相等相等则则容许拉应力容许拉应力 1max,1 容许压应力容许压应力 amax,a#工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案第第9章章 弯弯 曲曲(3)利用正应力的强度条件可以对梁进行三种利用正应力的强度条件可以对梁
32、进行三种不同形式的强度计算：不同形式的强度计算：(a)校核强度校核强度(b)选择截面尺寸或型钢号选择截面尺寸或型钢号(c)确定许可荷载确定许可荷载#工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案第第9章章 弯弯 曲曲另还要满足另还要满足 max 2.横力弯曲的梁横力弯曲的梁 max b 中性轴处截面之宽度中性轴处截面之宽度对于等截面直梁，则有：对于等截面直梁，则有：bISFzz max,maxS#工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案第第9章章 弯弯 曲曲注意：注意：(1)一般的梁，其强度主要受到按正应力的强度一般的梁，其强度主要受到按正应力的强度条件控制，所以在选择梁的截面尺寸或确定许可条件控制
33、，所以在选择梁的截面尺寸或确定许可荷载时，都先按正应力强度条件进行计算，然后荷载时，都先按正应力强度条件进行计算，然后按切应力强度条件校核。按切应力强度条件校核。(2)在弯矩为最大的横截面上距中性轴最远点处有在弯矩为最大的横截面上距中性轴最远点处有最大正应力；在剪力为最大的横截面的中性轴上最大正应力；在剪力为最大的横截面的中性轴上各点处有最大切应力。各点处有最大切应力。#工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案第第9章章 弯弯 曲曲 如图，已知如图，已知q=3.6kN/m，梁的跨长，梁的跨长l=3m，梁的，梁的横截面为横截面为bh=120mm180mm的矩形，梁的材料的矩形，梁的材料为松木。由
34、于该梁长期处于潮湿状态，故容许应力为松木。由于该梁长期处于潮湿状态，故容许应力取得很低，容许弯曲应力取得很低，容许弯曲应力 =7 MPa,容许切应力容许切应力 =0.9MPa。试校核此梁的强度。试校核此梁的强度ABq例题例题 9-3#工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案第第9章章 弯弯 曲曲ABqFAFB+M（kNm）x4.05例题例题 9-3解：解：FS（kN）x+-5.45.4作剪力图及弯矩图作剪力图及弯矩图kN4.52/maxS qlFmkN05.48/2max qlM#工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案第第9章章 弯弯 曲曲此梁之最大弯矩发生在跨中的横截面上此梁之最大弯矩发生
35、在跨中的横截面上mkN05.48/2max qlM抗弯截面系数为抗弯截面系数为362m106486/bhWz则则MPa7MPa25.6/maxmax zWM 此梁的最大剪力出现在梁的支座处横截此梁的最大剪力出现在梁的支座处横截面上面上,其值为其值为kN4.52/maxS qlF例题例题 9-3#工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案第第9章章 弯弯 曲曲以上两方面强度条件均能满足以上两方面强度条件均能满足,故此木梁是安全故此木梁是安全的。的。又又23m106.21 bhAMPa0.9MPa375.02/3smax AF 例题例题 9-3ABq#工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案第第9章
36、章 弯弯 曲曲 图图a所示工字所示工字钢制成的梁，其计钢制成的梁，其计算简图可取为如图算简图可取为如图b所示的简支梁。所示的简支梁。钢的许用弯曲正应钢的许用弯曲正应力力 =152 MPa。试选择工字钢的号试选择工字钢的号码。码。例题例题 9-4#工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案第第9章章 弯弯 曲曲1.画画M图，并确定图，并确定Mmax。弯矩图如图弯矩图如图c所示所示mkN375max M例题例题 9-4解解:#工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案第第9章章 弯弯 曲曲强度条件强度条件 要求：要求：zWMmax 366maxm102460Pa10152mkN375 MWz363m1
37、02447cm2447 zW 此值虽略小于要求的此值虽略小于要求的Wz但相差不到但相差不到1%，故，故可以选用可以选用56b工字钢。工字钢。由型钢规格表查得由型钢规格表查得56b号工字钢的号工字钢的Wz为为2.求求Wz，选择工字钢型号，选择工字钢型号例题例题 9-4#工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案第第9章章 弯弯 曲曲 图图a所示为槽形截面铸铁梁，横截面尺寸和形心所示为槽形截面铸铁梁，横截面尺寸和形心C的位置，如图的位置，如图b所示。已知横截面对于中性轴所示。已知横截面对于中性轴z 的的惯性矩惯性矩Iz=5493104 mm4，b=2 m。铸铁的许用拉应。铸铁的许用拉应力力 t=30
38、 MPa，许用压应力，许用压应力 c=90 MPa。试求梁。试求梁的许用荷载的许用荷载F。例题例题 9-5#工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案第第9章章 弯弯 曲曲铸铁的拉压强度不等，其强度条件为铸铁的拉压强度不等，其强度条件为 t,max t，c,max c。由。由M图可知，图可知，B、C截面上正应力的分截面上正应力的分布规律如图布规律如图d所示。所示。B、C截面上的最大拉应力分别截面上的最大拉应力分别为为 ，。可见全梁。可见全梁的最大拉应力为的最大拉应力为 。显。显然然 。zIFb 1344/1max,c 862/1max,t zBIFb zCIFb 1344/1max,t Bmax
39、,tmax,t 86134C截面截面D截面截面(d)例题例题 9-5解解:#工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案第第9章章 弯弯 曲曲1.由由 t,max t 确定确定F。Pa1030m105493)m1086)(m22/(648-3max,t F F119200N=19.2kN例题例题 9-586134C截面截面D截面截面(d)#工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案第第9章章 弯弯 曲曲F236893N=36.893kN2.由由 c,max c 确定确定F。Pa1090m105493)m10134)(m22/(648-3maxc,F F=19.2kN，可见梁的强度由拉应力确定。，可见
40、梁的强度由拉应力确定。例题例题 9-586134C截面截面D截面截面(d)#工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案第第9章章 弯弯 曲曲 该题的该题的 t,max和最大压应力均发生在和最大压应力均发生在B截面处，当截面处，当 t,max=t时，时，而，而 c=3 t，可见，当，可见，当 t,max=t，c,max c。所以。所以该题由拉应力强度控制，仅需由该题由拉应力强度控制，仅需由 t,max t求求F即即可。可。56.186134ttmax,c 例题例题 9-5#工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案第第9章章 弯弯 曲曲 一简易吊车的示意图如图一简易吊车的示意图如图a所示，其中所示，
41、其中F=30 kN，跨长跨长 l=5 m。吊车大梁由。吊车大梁由20a号工字钢制成，许用弯号工字钢制成，许用弯曲正应力曲正应力 =170 MPa，许用切应力，许用切应力 =100 MPa。试校核梁的强度。试校核梁的强度。例题例题 9-6#工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案第第9章章 弯弯 曲曲1.校核正应力强度。吊车梁可简化为简支梁校核正应力强度。吊车梁可简化为简支梁(图图b)。荷载移至跨中荷载移至跨中C截面处截面处(图图b)时梁的横截面上的时梁的横截面上的最大弯矩比荷载在任何其它位置都要大。荷载在此最大弯矩比荷载在任何其它位置都要大。荷载在此最不利荷载位置时的弯矩图如图最不利荷载位置时
42、的弯矩图如图c所示，所示，mkN5.374maxFlM例题例题 9-6解解:#工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案第第9章章 弯弯 曲曲 由型钢规格表查得由型钢规格表查得20a号工字钢的号工字钢的Wz=237cm3。梁的最大弯曲正应力为梁的最大弯曲正应力为MPa158Pa10158m10237mN105.376363maxmax zWM例题例题 9-6#工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案第第9章章 弯弯 曲曲mm7 ,cm2.17*max,dSIzz2.校核切应力强度。校核切应力强度。荷载移至紧靠支座荷载移至紧靠支座A处处(图图d)时时梁的剪力为最大。此时的约束力梁的剪力为最大。此时
43、的约束力FAF，相应的剪，相应的剪力图如图力图如图e所示。所示。FS,max=FA=30kN对于对于20a号钢，由型钢规格表查得：号钢，由型钢规格表查得：例题例题 9-6#工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案第第9章章 弯弯 曲曲于是有于是有 MPa9.24m107m102.17N1030323*max,max,Smax dSIFzz由于梁的正应力和切应力强度条件均能满足，所以由于梁的正应力和切应力强度条件均能满足，所以该梁是安全的。该梁是安全的。(e)例题例题 9-6#工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案第第9章章 弯弯 曲曲9-6 挠度和转角挠度和转角挠度：直梁发生弯曲变形时，其横
44、截面的形心在挠度：直梁发生弯曲变形时，其横截面的形心在垂直于弯曲前的轴线方向所产生的线位移，如下垂直于弯曲前的轴线方向所产生的线位移，如下图所示。图所示。ABxy挠曲线挠曲线w（+）（+）转角转角)(x 挠度曲线挠度曲线)(xww 在小变形情况下在小变形情况下w tan#工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案第第9章章 弯弯 曲曲1.研究梁的挠度和转角的目的：研究梁的挠度和转角的目的：(1)对梁作刚度校核，即检查梁弯曲时的最大对梁作刚度校核，即检查梁弯曲时的最大挠度是否超过按要求所规定的容许值；挠度是否超过按要求所规定的容许值；(2)解超静定梁。如下图所示梁。解超静定梁。如下图所示梁。ABC
45、F1F2FAFCFB#工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案第第9章章 弯弯 曲曲2.求梁位移的基本方法求梁位移的基本方法 根据挠曲线的近似微分方程式通过积分求挠根据挠曲线的近似微分方程式通过积分求挠度方程：度方程：w=w(x)和转角方程：和转角方程：wx )(具体分析，在纯弯曲情况下：具体分析，在纯弯曲情况下：EIM 1ABxyMeMe观察下梁观察下梁#工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案第第9章章 弯弯 曲曲 纯弯曲情况下，纯弯曲情况下，M与所对应的挠曲线的曲率与所对应的挠曲线的曲率1/的关系为：的关系为：对于下图横力弯曲的梁对于下图横力弯曲的梁ABxyF1F2EIM 1(1)有有)
46、(,)(xxMM#工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案第第9章章 弯弯 曲曲 由解析几何知识知：一根平缓的曲线由解析几何知识知：一根平缓的曲线w=w(x)，其曲率其曲率1/近似地等于近似地等于w(x)对于对于x的二阶导函数，即的二阶导函数，即)(,)(xxMM 则则EIxMx)()(1 (2)(dd)(122xwxwx (3)将将(3)代入代入(2)，考虑到曲率，考虑到曲率半径总是正的，对图示坐半径总是正的，对图示坐标有标有)()(xMxwEI EIM 1ABxyF1F2#工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案第第9章章 弯弯 曲曲 因此，对于某根具体的梁，只要列出它的因此，对于某根具体
47、的梁，只要列出它的弯矩方程弯矩方程M=M(x)，将其代入上式，对，将其代入上式，对x连续积连续积分后有：分后有：利用梁的位移条件确定式中的积分常数，就得转利用梁的位移条件确定式中的积分常数，就得转角方程角方程 =(x)=w(x)和挠度方程和挠度方程 w=w(x)，从而，从而也就可以求某个具体横截面处的转角和挠度了。也就可以求某个具体横截面处的转角和挠度了。1d)(CxxMwEI 21dd)(CxCxxxMEIw )()(xMxwEI#工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案第第9章章 弯弯 曲曲 求图示悬臂梁的转角方程求图示悬臂梁的转角方程 =(x)和挠度方程和挠度方程 w=w(x)，并求最大
48、转角，并求最大转角 max及最大挠度及最大挠度 wmax。梁在。梁在竖直平面内弯曲时的抗弯刚度竖直平面内弯曲时的抗弯刚度EI为已知。为已知。例题例题 9-7F maxxylxwmax#工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案第第9章章 弯弯 曲曲解：解：(1)FxFlxlFxM )()()1(2)FxFlxMwEI )()2(3)122/CFxFlxwEI (4)21326/2/CxCFxFlxEIw 例题例题 9-7F maxxylxwmax#工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案第第9章章 弯弯 曲曲将将x=0,w=0代入代入(3)式有式有C1=0(3)固定端处转角为零固定端处转角为零,
49、即即固定端处挠度为零固定端处挠度为零,即即 x=0,w=0将之代入将之代入(4)式得式得C2=0则将则将C1=0，C2=0代入代入(3)、(4)式有式有EIFxFlxw/)2/(2 EIFxFlxw/)6/2/(32 例题例题 9-7F maxxxwmax#工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案第第9章章 弯弯 曲曲(4)EIFllx2/2max EIFlwwlx3/3max 例题例题 9-7F maxxylxwmax#工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案第第9章章 弯弯 曲曲3.按叠加原理计算按叠加原理计算 为了方便，对于简单的梁在简单荷载作用下，为了方便，对于简单的梁在简单荷载作用下
50、，其最大挠度和最大转角事先列出了他们的计算公其最大挠度和最大转角事先列出了他们的计算公式（教材和手册中可查到）。式（教材和手册中可查到）。利用这些公式可按叠加原理较方便地计算某利用这些公式可按叠加原理较方便地计算某些受力较复杂情况下梁的挠度和转角。些受力较复杂情况下梁的挠度和转角。梁在线性弹性范围内梁在线性弹性范围内工作，且变形微小工作，且变形微小#工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案第第9章章 弯弯 曲曲求求 wC 和和 B。ABqBqwCq例题例题 9-8ABBMewCMeMeABMel/2 l/2Cq#工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案第第9章章 弯弯 曲曲由叠加原理得：由叠加
