1、11.1.3导数的几何意义导数的几何意义2 xxfxxflimxylimxf0 x0 x0即：000 xxyf xxxfxy函数 在 处的导数，记作：或表示“平均变化率”xy 附近的变化情况。反映了函数在处的瞬时变化率，在表示函数000 x0 xxxxxfxylimxf2 一、复习一、复习导数的定义导数的定义其中：其中：其几何意义是其几何意义是 表示曲线上两点连线（就是曲线表示曲线上两点连线（就是曲线的的割线割线）的斜率。）的斜率。其几何意义是？其几何意义是？3P1P2P3P4PTTTTPP xfy xfy xfy xfy OyxOyxOyxOyx211.图图 1 2 3 4?,.什么什么是是
2、趋势趋势化化变变的的割线割线时时趋近于点趋近于点沿着曲线沿着曲线当点当点图图如如察察观观nnnnPPxfxPxfnxfxP004321211 4PQoxyy=f(x)割割线线切线切线T一、曲线上一点的切线的定义一、曲线上一点的切线的定义结论结论:当当Q Q点无限逼近点无限逼近P P点时点时,此时此时直线直线PQPQ就是就是P P点处的切线点处的切线PT.PT.点点P处的割线与切线存在什么关系？处的割线与切线存在什么关系？新授新授.动动画画演演示示割割线线变变化化趋趋势势5xoyy=f(x)设曲线设曲线C是函数是函数y=f(x)的图象，的图象，在曲线在曲线C上取一点上取一点P(x0,y0)及邻近
3、一及邻近一点点Q(x0+x,y0+y),过过P,Q两点作两点作割割线线，当点当点Q沿着曲线沿着曲线无限接近无限接近于点于点P点点P处的处的切线切线。即即x0时时,如果割线如果割线PQ有一个有一个极极限位置限位置PT,那么直线那么直线PT叫做曲线在叫做曲线在曲线在某一点处的切线的定义曲线在某一点处的切线的定义xyPQT此处切线定义与以前的定义有何不同？此处切线定义与以前的定义有何不同？6 圆的切线定义并不适圆的切线定义并不适用于一般的曲线。用于一般的曲线。通过通过逼近逼近的方法，将的方法，将割线趋于的确定位置的割线趋于的确定位置的直线直线定义为切线定义为切线（交点（交点可能不惟一）可能不惟一）适
4、用于各适用于各种曲线。所以，这种定种曲线。所以，这种定义才真正反映了切线的义才真正反映了切线的直观本质。直观本质。2l1lxyABC7xoyy=f(x)P(x0,y0)Q(x1,y1)Mxy割线与切线的斜率有何关系呢？割线与切线的斜率有何关系呢？xxfxxfkPQ)()(xy 即：当即：当x0时，割线时，割线PQ的的斜率的极限斜率的极限，就是曲线，就是曲线在点在点P处的处的切线的斜率切线的斜率，xxfxxfxyxx)()(k0000limlim所以：8xoyy=f(x)PQ1Q2Q3Q4T 想方法以直代曲！中的重要思近似代替。这是微积分的切线就可以用过点曲线附近，。因此，在点附近的曲线最贴紧点
5、的切线过点，更贴紧曲线比，更贴紧曲线比，更贴紧曲线比附近，在点观察图像，可以发现，PTPxfPxfPPTPxfPQPQxfPQPQxfPQPQP342312继续观察图像的运动过程，还有什么发现？继续观察图像的运动过程，还有什么发现？9当点当点Q沿着曲线无限接近点沿着曲线无限接近点P即即x0时时,割线割线PQ有一个有一个极限位置极限位置PT.则我们把直线则我们把直线PT称为曲线在点称为曲线在点P处的处的切线切线.设切线的倾斜角为设切线的倾斜角为,那么当那么当x0时时,割线割线PQ的斜率的斜率,称为曲线在点称为曲线在点P处的处的切线的斜率切线的斜率.即即:xxfxxfxykxx )()(limli
6、mtan0000 切切线线 这个概念这个概念:提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法法;切线斜率的本质切线斜率的本质函数平均变化率的极限函数平均变化率的极限.要注意要注意,曲线在某点处的切线曲线在某点处的切线:1)与该点的位置有关与该点的位置有关;2)要根据割线是否有极限来判断与求解要根据割线是否有极限来判断与求解.如有极限如有极限,则在此则在此点有切线点有切线,且切线是唯一的且切线是唯一的;如不存在如不存在,则在此点处无切线则在此点处无切线;3)曲线的切线曲线的切线,并不一定与曲线只有一个交点并不一定与曲线只有一个交点,可以有多个可以有多个,甚至可以无穷多
7、个甚至可以无穷多个.10 函数函数 y=f(x)在点在点x0处的导数的几何意义，就是曲处的导数的几何意义，就是曲线线 y=f(x)在点在点P(x0,f(x0)处的切线的斜率，即曲线处的切线的斜率，即曲线y=f(x)在点在点P(x0,f(x0)处的切线的斜率是处的切线的斜率是 .)(0 xf 故曲线故曲线y=f(x)在点在点P(x0,f(x0)处的切线方程是处的切线方程是:)()(000 xxxfxfy 题型三：导数的几何意义的应用题型三：导数的几何意义的应用11例例1:（1）求函数）求函数y=3x2在点在点(1,3)处的导数处的导数.22103(1)3 1|limxxxyx 解：2210(1)
8、1(11)|limxxxyx 解：22(1)yx切线方程：20 xy即：（2）求曲线）求曲线y=f(x)=x2+1在点在点P(1,2)处的切线方程处的切线方程.题型三：导数的几何意义的应用题型三：导数的几何意义的应用2036limxxxx 0lim 3(2)xx 6202lim2xxxx 12 .,.,.附近的变化情况附近的变化情况在在述、比较曲线述、比较曲线请描请描据图象据图象根根图象图象的的数数时间变化的函时间变化的函示跳水运动中高度随示跳水运动中高度随它表它表如图如图例例21021056943112tttthttth 0l1l2lthO0t1t2t311.图图.,的的变变化化情情况况刻刻
9、画画曲曲线线在在动动点点附附近近利利用用曲曲线线在在动动点点的的切切线线 .,变化情况在上述三个时刻附近的线刻画曲处的切线在我们用曲线解thtttxh21013 .,.,几乎没有升降较平坦附近曲线比在所以轴平行于处的切线在曲线时当00001ttxltthtt .,.,附近单调递减在即函数降附近曲线下在所以的斜率处的切线在曲线时当11111102ttthttthltthtt .,.,单调递减附近也在即函数附近曲线下降在所以的斜率处的切线在曲线时当12222203ttthttthltthtt .,.附近下降得缓慢附近比在在这说明曲线程度的倾斜的倾斜程度小于直线直线可见从图2121311ttthll
10、 0l1l2lthO0t1t2t311.图图14hto3t4t 附近的变化情况。、在较曲线根据图像，请描述、比43ttth。数在两点附近单调递增点附近曲线上升，即函，所以在两斜率均大于处的切线的、函数在0tt43附近上升的快速附近比在这说明曲线在处切线的倾斜程度，处切线的倾斜程度大于但是4343tttt1580.80.50.0010.20.30.40.60.70.90.01.11.10.20.30.40.50.60.70.90.01.11.mlmgc/mint411.图图 .,min.,.,.,.min:)/:(,.10806040204113精确到精确到率率物浓度的瞬时变化物浓度的瞬时变化血
11、管中药血管中药时时估计估计根据图象根据图象函数图象函数图象变化的变化的单位单位随时间随时间位位单单物浓度物浓度表示人体血管中药表示人体血管中药它它如图如图例例 ttmlmgtfc 它表示从图象上看在此时刻的导数药物浓度就是度的瞬时变化率血管中某一时刻药物浓解,.,tf16二、函数的导数：二、函数的导数：)()(xfxyyxf需指明自变量时记作或记作：）的导函数（简称为导数我们称它为,)()(limlim)(0 x0 xxxfxxfxyyxf即：的函数，便是一个变化时，这样，当是一个确定的值；时，当是一个确定的值；时，当是一个确定的值；时，当是一个确定的值；时，当是一个时，当到：的导数的过程中可
12、以看从求函数xxfx xfxx 35f5x13f3x 56f6x确定的值；32f2x157xxxf00217函数在点函数在点 处的导数处的导数 、导函数、导函数 、导数、导数 之之间的区别与联系。间的区别与联系。1）函数在一点 处的导数 ，就是在该点的函数的改变量与自变量的改变量之比的极限，它是一个常数，不是变数。2）函数的导数，是指某一区间内任意点x而言的，就是函数f(x)的导函数 3）函数在点 处的导数 就是导函数 在 处的函数值，这也是 求函数在点 处的导数的方法之一。0 x0()fx()fx0 xx0 x0()fx()f x0 x0()fx0 x()fx18课堂练习课堂练习:如图（见课
13、本如图（见课本P80.A6）已知函数的图像，试画）已知函数的图像，试画出其导函数图像的大致形状。出其导函数图像的大致形状。P80.B2：根据下面的文字叙述，画出相应的路：根据下面的文字叙述，画出相应的路程关于时间的函数图像的大致形状。程关于时间的函数图像的大致形状。（1）汽车在笔直的公路上匀速行驶；）汽车在笔直的公路上匀速行驶；（2）汽车在笔直的公路上不断加速行驶；）汽车在笔直的公路上不断加速行驶；（3）汽车在笔直的公路上不断减速行驶；）汽车在笔直的公路上不断减速行驶；19PPnoxyy=f(x)割割线线切线切线T当点当点Pn沿着曲线无限接近点沿着曲线无限接近点P即即x0时时,割线割线PPn趋
14、近于确定的位置，这个确趋近于确定的位置，这个确定位置的直线定位置的直线PT称为点称为点P处的处的切线切线.?同同过过的的切切线线定定义义有有什什么么不不此此处处切切线线定定义义与与以以前前学学2021例例2:如图如图,已知曲线已知曲线 ,求求:(1)点点P处的切线的斜率处的切线的斜率;(2)点点P处的切线方程处的切线方程.)38,2(313Pxy上一点上一点 yx-2-112-2-11234OP313yx31(1),3yx解：.42|22 xy即即点点P处的切线的斜率等于处的切线的斜率等于4.(2)在点在点P处的切线方程是处的切线方程是y-8/3=4(x-2),即即12x-3y-16=0.330011()33limlimxxxxxyyxx 2230133()()lim3xxxxxxx 22201lim33().3xxx xxx 22练：设练：设f(x)为可导函数为可导函数,且满足条件且满足条件 ,求曲线求曲线y=f(x)在点在点(1,f(1)处的切线的斜率处的切线的斜率.12)1()1(lim0 xxffx,12)1()1(lim)(0 xxffxfx是是可可导导函函数数且且解解：01(1)(1)lim1,21(1)xffxx.2)1(f故所求的斜率为故所求的斜率为-2.题型三：导数的几何意义的应用题型三：导数的几何意义的应用0(1)(1)lim2,(1)1xfxfx
