1、目录 上页 下页 返回 结束 工程数学工程数学-积分变换1.拉普拉斯变换的定义拉普拉斯变换的定义 有定义，且积分当设函数0)(ttf)()(0Csdtetfst的某一域收敛，则在s0)()(dtetfsFst),()(象函数的拉普拉斯变换称为tf)()(tfsFL L记作目录 上页 下页 返回 结束 工程数学工程数学-积分变换)()(1sFtfL L),()()(象原函数的拉普拉斯逆变换称为sFtf记作注：注：)()()(tetutftfF FL L目录 上页 下页 返回 结束 工程数学工程数学-积分变换满足下列条件：若函数)(tf；的任一区间上分段连续在01tctMetf)(的拉普拉斯变换成
2、立，则)(tf使得及时，存在常数当,002cMt0)()(dtetfsFst一定存在，在半平面cs)Re(上右端积分在ccs1)Re(，绝对收敛而且一致收敛的半平面内，并且在cs)Re(.)(为解析函数sF目录 上页 下页 返回 结束 工程数学工程数学-积分变换解解:.Laplace)(变换的求函数tu01 1 dteLstsesst110)0)(Re(s解解:).(为实数求kektL L0dteeeLstktktksekstks110)()(Re(ks 目录 上页 下页 返回 结束 工程数学工程数学-积分变换解解:0coscosdtektktLst22kss)0)(Re(s).(cos为实数
3、求kktL L021dteeestjktjkt1121jksjkssinktL22ksk)0)(Re(s同理同理目录 上页 下页 返回 结束 工程数学工程数学-积分变换解解:0dtettLst)0)(Re(s.tL L求01sttdes0011dtestesstst01dtesst21s1!nnsntL L)0)(Re(s同理同理目录 上页 下页 返回 结束 工程数学工程数学-积分变换解解:).(tL求0)()(dtettLst0)(dtetstdtetst)(1目录 上页 下页 返回 结束 工程数学工程数学-积分变换解解:).(),()()(tfLtuetetftt求设0)()(dtetft
4、fLst0)()(dtetuetesttt0)(0)()(dtdtettsts0)(0)(seetsttssss1目录 上页 下页 返回 结束 工程数学工程数学-积分变换)()()()(2121sFsFtftfL 2.位移位移性质性质 )(Re()()(casasFtfeLat0)()(dtetfetfeLstatat0)()(dtetftas)(asF目录 上页 下页 返回 结束 工程数学工程数学-积分变换 3.延迟延迟性质性质 ,0)(,0),()(则对任一非负实数又若tftsFtfL0)()(dtetftfst有)()(sFetfLsdtetfdtetfstst)()(0dtetfst)
5、(tu令0)()(dueufus)(sFes目录 上页 下页 返回 结束 工程数学工程数学-积分变换4.微分性质微分性质 )0()()(fssFtf00()()ststf t esf t edt0()()stf tf t edtL L)0()(fssF)()(tfn)0()0()()1(1nnnffssFs时，有当0)0()0()0()1(nfff)()()(sFstfnn目录 上页 下页 返回 结束 工程数学工程数学-积分变换)()(1ttfsF)()1()()(1tftsFnnn)()(tfdsdttf)()1()()(sFtftnnn目录 上页 下页 返回 结束 工程数学工程数学-积分变
6、换5.积分积分性质性质 )(1)(0sFsdttft由微分性质，得则有设,)()(0tdttfth.0)0(),()(htfth且)0()()(hthsth)(ths即)(1)(0tfsdttft)(1sFs目录 上页 下页 返回 结束 工程数学工程数学-积分变换)(1)(000sFsdttfdtdtntttttfdssFs)()(1sdssFttf)()(sssndssFdsdsttf)()(目录 上页 下页 返回 结束 工程数学工程数学-积分变换解解:.Laplace)()(变换的求函数tutf)(tu)(tuesses1解解:.Laplacecos)(变换的求函数atetfbtcosat
7、22sskbsbtatatecoscos22)(absbs目录 上页 下页 返回 结束 工程数学工程数学-积分变换解解:.Laplace)1()(2变换的求函数 ttf)(tf2tesses32 12)(2tttf)0)(Re(12223sssstoto目录 上页 下页 返回 结束 工程数学工程数学-积分变换解解:.Laplace)()(变换的是正整数求函数mttfm)(!)(tfmm,!)(,0)0()0()0()()1(mtffffmm由于所以)0()0()0()()1(21mmmmffsfstfs即!1!mmtssmmm1!mmsmt目录 上页 下页 返回 结束 工程数学工程数学-积分变
8、换解解:.Laplacesin)(变换的求函数ktttfsinkt22ksksinktt22kskdsd222)(2ksks目录 上页 下页 返回 结束 工程数学工程数学-积分变换解解:.Laplacesin)(变换的求函数tttfsdsttttsinsinsdss112sarctan2)0)(Re(arccotss目录 上页 下页 返回 结束 工程数学工程数学-积分变换解解:.Laplace11ln)(逆变换的求函数sssF)(1)(11sFtsF111111sst)(1tteet目录 上页 下页 返回 结束 工程数学工程数学-积分变换解解:.Laplace3sin)(0变换的求函数tttd
9、ttetf3sin0tttdtte3sin1ttest3sin1tedsdst3sin11stdsds223)1(31sdsds)1)(Re(3)1()1(6222ssss目录 上页 下页 返回 结束 工程数学工程数学-积分变换解解:.Laplace)1(12逆变换的求函数sstssin1121ttdtss021sin111tcos1目录 上页 下页 返回 结束 工程数学工程数学-积分变换解解:.cos10dtettt计算积分cos1ttsssds)1(2dsssss112sss)1ln(21ln2)0)(Re()11ln(212ss得令,1s.2ln21)11ln(21cos1120stsd
10、tett目录 上页 下页 返回 结束 工程数学工程数学-积分变换0,)(21)(tdsesFjtfjjst tetutf)()(dedeeuftjj)()(21ddfejtj)(210)(,)(21djFetj0t目录 上页 下页 返回 结束 工程数学工程数学-积分变换也就有0,)(21)()(tdejFtftj有令,sj0,)(21)(tdsesFjtfjjst目录 上页 下页 返回 结束 工程数学工程数学-积分变换的所有奇点，是函数若)(,21sFsssn时，且当s，则有0)(sFjjstdsesFj)(21nkkstsesF1,)(Res即0,)(Res)(1tsesFtfnkkst目录
11、 上页 下页 返回 结束 工程数学工程数学-积分变换解解:.Laplace1)(2逆变换的求函数sssF.,)(均为一级极点的奇点为jsF,)(ResjesFstjsstsse)1(2jtjsstesse212jtstejesF21,)(Res)(tf所以)(21jtjtee0,costt目录 上页 下页 返回 结束 工程数学工程数学-积分变换12120()()()()tf tf tff td1221()*()()*()f tf tf tf t123123()*()*()()*()*()f tf tf tf tf tf t1231323()()*()()*()()*()f tf tf tf t
12、f tf tf t目录 上页 下页 返回 结束 工程数学工程数学-积分变换解解:12()*().f tf t求,sin)(,)(21ttfttf设函数tdttt0)sin(sin*ttdtt00)cos()cos(ttsin目录 上页 下页 返回 结束 工程数学工程数学-积分变换3.卷积定理卷积定理1212()*()()()f tf tF s F sL L12()*()f tf tL L证：证：120()*()stf tf t edt1200()()tstff tdedt120()()stff tedt dtot目录 上页 下页 返回 结束 工程数学工程数学-积分变换120()()sfeF s
13、 d12()()F s F s()1200()()s uff u edt d)ut(令推论：推论：1212()*()*()()()()nnf tf tf tF sF sF sL L120()()stff tedt d目录 上页 下页 返回 结束 工程数学工程数学-积分变换解解:.Laplace)1(1)(22逆变换的求函数sssF111)(2211sssF11*12121sstt sin*ttsin目录 上页 下页 返回 结束 工程数学工程数学-积分变换解解:.Laplace)1()(222逆变换的求函数sssF11)(2211sssssF1*12121sssstt cos*costdt0)c
14、os(costdtt0)2cos(cos21sincos21ttt目录 上页 下页 返回 结束 工程数学工程数学-积分变换解解:，为正整数已知函数),()(,)(21nmttfttfnm)()()(*)(2121tftftftf).(*)(21tftf求nmtt11!nmsnsm11(!nmsnm所以所以!)(*)(1)1(121nmsnmtftf.)!1(!1nmtnmnm目录 上页 下页 返回 结束 工程数学工程数学-积分变换微分、积分方程象函数的(代数、微分)方程象原函数(方程的解)象函数目录 上页 下页 返回 结束 工程数学工程数学-积分变换解解:满足条件求方程teyyy 32).()
15、(0),(sYtytty 且设方程的解为1)0(,0)0(yy.的解变换，得方程两边取Laplace11)(3)(21)(2ssYsYsYs)3)(1)(1(2)(sssssY整理得目录 上页 下页 返回 结束 工程数学工程数学-积分变换)3)(1)(1(2)(1sssstf所以31,)3)(1)(1(2Reskkstsessss 1,)(ResstesYte41te83te381 1,)(ResstesY3,)(ResstesY目录 上页 下页 返回 结束 工程数学工程数学-积分变换解解:满足边界条件求方程02 yyy).()(0),(sYxylxxyy且设方程的解为4)(,0)0(lyy.
16、为已知常数其中的解l变换，得方程两边取Laplace)0()0()(2ysysYs2)1()0()(sysY整理得)0()(2yssY0)(sY目录 上页 下页 返回 结束 工程数学工程数学-积分变换代入上式，得令,lx 2)1()0()(sysY逆变换，得取Laplacexxeyxy)0()(lleyly)0()(4从而,4)0(lely于是.4)(lxxelxy目录 上页 下页 返回 结束 工程数学工程数学-积分变换解解:满足初始条件求方程02)21(yyty t),()(sYtyL L设2)0(,1)0(yy.的解变换，得方程两边取Laplace)0()()0()0()(2yssYysysYsdsd0)(2)0()(2sYyssYdsd整理，得考虑到初始条件，代入目录 上页 下页 返回 结束 工程数学工程数学-积分变换0)()()2(sYsYs分离变量，得2sdsYdY积分后，得2)(sCsY逆变换，得取LaplacetCety2)(目录 上页 下页 返回 结束 工程数学工程数学-积分变换tCety2)(代入，有令0tCy)0(1所以方程的解为tety2)(
