1、2022-12-22控制工程基础第四章频控制工程基础第四章频域响应法域响应法 频率响应法是二十世纪三十年代发展起来的一种频率响应法是二十世纪三十年代发展起来的一种经典工经典工程实用程实用方法方法,是一种利用是一种利用频率特性频率特性进行控制系统分析的进行控制系统分析的图解方图解方法法,可方便地用于控制工程中的可方便地用于控制工程中的系统分析与设计系统分析与设计。频率法用于。频率法用于分析和设计系统有如下优点：分析和设计系统有如下优点：（1）不必求解系统的特征根，采用较为简单的图解方法不必求解系统的特征根，采用较为简单的图解方法就可研究系统的稳定性。就可研究系统的稳定性。由于频率响应法主要通过开
2、环频率特由于频率响应法主要通过开环频率特性的图形对系统进行分析，因而具有形象直观和计算量少的特性的图形对系统进行分析，因而具有形象直观和计算量少的特点。点。（2）系统的频率特性可用实验方法测出。系统的频率特性可用实验方法测出。频率特性具有频率特性具有明确的物理意义，它可以用实验的方法来确定，这对于难以列明确的物理意义，它可以用实验的方法来确定，这对于难以列写微分方程式的元部件或系统来说，具有重要的实际意义。写微分方程式的元部件或系统来说，具有重要的实际意义。（3）可推广应用于某些非线性系统。可推广应用于某些非线性系统。频率响应法不仅适频率响应法不仅适用于线性定常系统，而且还适用于传递函数中用于
3、线性定常系统，而且还适用于传递函数中含有延迟环节的含有延迟环节的系统和部分非线性系统的分析。系统和部分非线性系统的分析。（4）用频率法设计系统，用频率法设计系统，可方便设计出能有效抑制噪声可方便设计出能有效抑制噪声的系统的系统。设系统的传递函数为：已知输入其拉氏变换为则系统输出为 趋向于零）稳态响应Css(t)瞬态响应（假设系统稳定）4-2 频率特性基本概念由于是一个复数向量，因而可表示为 线性系统的稳态输出是和输入具有相同频率的正弦信号，其输出与输入的幅值比为输出与输入的相位差相频特性幅频特性一、基本概念 幅相频率特性幅相频率特性G(j):G(j)的幅值和相位均随输入正弦信的幅值和相位均随输
4、入正弦信号角频率号角频率 的的变化而变化。变化而变化。在系统闭环传递函数在系统闭环传递函数G(s)中，令中，令s=j，即可得到系统的频率，即可得到系统的频率特性。特性。1、频率响应、频率响应 在正弦输入信号作用下，系统输出的稳态值称为系统的在正弦输入信号作用下，系统输出的稳态值称为系统的频率响应频率响应,记为记为css(t)2、频率特性、频率特性 幅频特性幅频特性A():稳态输出信号的幅值与输入信号的幅值之比稳态输出信号的幅值与输入信号的幅值之比:相频特性相频特性():稳态输出信号的相角与输入信号相角之差稳态输出信号的相角与输入信号相角之差:频率特性与传递函数具有十分相的形式 【例例】某单位反
5、馈控制系统得开环传递函数为某单位反馈控制系统得开环传递函数为G(s)H(s)=1/(s+1),试求输入信号试求输入信号r(t)=2sin t时系统的稳态输出时系统的稳态输出 解解 首先求出系统的闭环传递函数首先求出系统的闭环传递函数(s)，令，令s=j 得得 如如=2,则则 (j2)=0.35 -45o则则系统稳态输出系统稳态输出为：为：c(t)=0.35*2sin(2t-45o)=0.7sin(2t-45o)二、频率特性表示法 频率特性可用解析式或图形来表示。频率特性可用解析式或图形来表示。（一）解析表示（一）解析表示 系统开环频率特性可用以下解析式表示系统开环频率特性可用以下解析式表示 幅
6、频幅频-相频形式相频形式：指数形式指数形式(极坐标极坐标)：三角函数形式：三角函数形式：实频实频-虚频形式虚频形式：（二）系统频率特性常用的图解形式（二）系统频率特性常用的图解形式 1.极坐标图极坐标图奈奎斯特图奈奎斯特图（Nyqusit）幅相特性曲线幅相特性曲线 系统频率特性为幅频系统频率特性为幅频-相频形式相频形式 当当 在在0 变化时变化时,相量相量G(j)H(j)的幅值和相角随的幅值和相角随 而变化而变化,与此对应与此对应的相量的相量G(j)H(j)的端点在复平面的端点在复平面 G(j)H(j)上的运动轨迹就称为上的运动轨迹就称为幅相幅相频率特性频率特性或或 Nyqusit曲线曲线。画
7、有。画有 Nyqusit曲线的坐标图称为曲线的坐标图称为极坐标图极坐标图或或Nyqusit图图。对数相频特性记为对数相频特性记为单位为分贝（单位为分贝（dB)对数幅频特性记为对数幅频特性记为单位为弧度（单位为弧度（rad)如将系统频率特性如将系统频率特性G(j )的幅值和相角分别绘在的幅值和相角分别绘在半对数坐标半对数坐标图图上上,分别得到分别得到对数幅频特性曲线对数幅频特性曲线（纵轴：对幅值取分贝数后进行（纵轴：对幅值取分贝数后进行分度；横轴：对频率取以分度；横轴：对频率取以10为底的对数后进行分度为底的对数后进行分度:lgw）和）和相频相频特性曲线特性曲线（纵轴纵轴：对相角进行线性分度；：
8、对相角进行线性分度；横轴横轴：对频率取以：对频率取以10为为底的对数后进行分度底的对数后进行分度lgw），合称为伯德图），合称为伯德图(Bode图图)。（二）系统频率特性常用的图解形式（二）系统频率特性常用的图解形式 2.伯德图伯德图(Bode图图)（二）系统频率特性常用的图解形式（二）系统频率特性常用的图解形式 3.对数幅相图对数幅相图(Nichols图图)将将Bode图的两张图合二为一。图的两张图合二为一。0o180o-180ow0-20dB20dB1.比例环节比例环节:G(s)=K4-3 典型环节的幅相频率特性2.积分环节积分环节:G(s)=1/s3.微分环节微分环节:G(s)=s4.惯
9、性环节惯性环节:G(s)=1/(Ts+1)5.一阶微分环节一阶微分环节:G(s)=Ts+16.振荡环节振荡环节7.二阶微分环节二阶微分环节8.延迟环节延迟环节9.不稳定环节不稳定环节G(s)=-K -180oG(s)=1/(-Ts+1)0 90oG(s)=-Ts+1 0 -90o0 180o0 -180o4-4 系统开环频率特性的绘制系统开环传函的一般形式为：系统开环传函的一般形式为：一、系统开环传函幅频特性一、系统开环传函幅频特性系统开环传函由多个典型环节相串联：系统开环传函由多个典型环节相串联：那麽，系统幅相特性为：那麽，系统幅相特性为：即开环系统的幅频特性与相频特性为：即开环系统的幅频特
10、性与相频特性为：开环系统的幅频特性是各串联环节幅频特性的幅值之积；开环系统的幅频特性是各串联环节幅频特性的幅值之积；开环系统的相频特性是各串联环节相频特性的相角之和。开环系统的相频特性是各串联环节相频特性的相角之和。二、系统开环频率特性曲线的绘制二、系统开环频率特性曲线的绘制1、系统、系统(标准型标准型)简单吗？简单吗？2、比较复杂、比较复杂2、比较简单、比较简单则写出则写出G(jw)Re+j Im3、分别求出、分别求出w=0+、+时的时的G(jw)4、必要时画出幅相曲线中间几点、必要时画出幅相曲线中间几点 5、勾画出、勾画出w=0+时时G(jw)的大致曲线（当然，的大致曲线（当然，越精确越好
11、）越精确越好）注意：若传递函数不存在微分项（纯微分、一阶微分、二阶注意：若传递函数不存在微分项（纯微分、一阶微分、二阶微分等），则幅相特性曲线相位连续减少；反之，若出现微微分等），则幅相特性曲线相位连续减少；反之，若出现微分环节，则幅相曲线会出现凹凸。分环节，则幅相曲线会出现凹凸。例例1 某单位反馈系统的开环传函为：某单位反馈系统的开环传函为：试概略绘制系统开环幅相图。试概略绘制系统开环幅相图。例例2 某单位反馈系统的开环传函为：某单位反馈系统的开环传函为：试概略绘制系统开环幅相图。试概略绘制系统开环幅相图。例例3 某单位反馈系统的开环传函为：某单位反馈系统的开环传函为：试概略绘制系统开环幅相
12、图。试概略绘制系统开环幅相图。例例4 某单位反馈系统的开环传函为：某单位反馈系统的开环传函为：试概略绘制系统开环幅相图。试概略绘制系统开环幅相图。例例5 某单位反馈系统的开环传函为：某单位反馈系统的开环传函为：试概略绘制系统开环幅相图。试概略绘制系统开环幅相图。例例6 某单位反馈系统的开环传函为：某单位反馈系统的开环传函为：试概略绘制系统开环幅相图。试概略绘制系统开环幅相图。例例7 某单位反馈系统的开环传函为：某单位反馈系统的开环传函为：试概略绘制系统开环幅相图。试概略绘制系统开环幅相图。例例8 某单位反馈系统的开环传函为：某单位反馈系统的开环传函为：试概略绘制系统开环幅相图。试概略绘制系统开
13、环幅相图。4-5 最小相位系统和非最小相位系统（1）如果系统）如果系统开环传递开环传递函数在右半函数在右半S平面上没有极点和零点，则称该系统为平面上没有极点和零点，则称该系统为最小相位系统，如最小相位系统，如（2）系统的开环传递函数在右半）系统的开环传递函数在右半S平面上有一个平面上有一个(或多个或多个)零点或极点零点或极点,则该则该系统称为非最小相位系统。开环传递函数含有延迟环节的系统也称非最小相系统称为非最小相位系统。开环传递函数含有延迟环节的系统也称非最小相位系统。位系统。（4）非最小相位一般由两种情况产生）非最小相位一般由两种情况产生:系统内包含有非最小相位元件系统内包含有非最小相位元
14、件(如如延迟因子延迟因子);内环不稳定。内环不稳定。（5）最小相位系统的幅值特性和相角特性有一一对应关系）最小相位系统的幅值特性和相角特性有一一对应关系(Bode定理定理)（3）具有）具有相同幅值的两个系统相同幅值的两个系统,由由0时时,最小相位系统的相角迟后最小相位系统的相角迟后最小最小,而非最小相位系统的相角迟后则而非最小相位系统的相角迟后则较大较大。对数相频特性记为对数相频特性记为单位为分贝（单位为分贝（dB)对数幅频特性记为对数幅频特性记为单位为弧度（单位为弧度（rad)如将系统频率特性如将系统频率特性G(j )的幅值和相角分别绘在的幅值和相角分别绘在半对数坐标图半对数坐标图上上,分别
15、得到分别得到对数幅频特性曲线对数幅频特性曲线（纵轴：纵轴：对幅值取分贝数后进行分度；对幅值取分贝数后进行分度；横横轴：轴：对频率取以对频率取以10为底的对数后进行分度）和为底的对数后进行分度）和相频特性曲线相频特性曲线（纵轴：纵轴：对相角进行线性分度对相角进行线性分度；横轴：横轴：对频率取以对频率取以10为底的对数后进行分度为底的对数后进行分度），合称为伯德图，合称为伯德图(Bode图图)。4-6 典型环节的对数频率特性:伯德图伯德图(Bode图图)L(w)(dB)0.010.1110wlgw20404020.0(w)0.010.1110wlgw45o90o90o45o.0o 对数幅频特性对数
16、幅频特性 对数相频特性对数相频特性1.比例环节比例环节(K)K0幅相曲线的负实轴幅相曲线的负实轴 对数相频特性的对数相频特性的-180o(2k+1)线线幅相曲线中由上向下穿越（逆时针）为正幅相曲线中由上向下穿越（逆时针）为正 对数相频曲线中由下向上对数相频曲线中由下向上 穿越穿越-180o(2k+1)线线 为正为正幅相曲线中由下向上穿越（顺时针）为负幅相曲线中由下向上穿越（顺时针）为负 对数相频曲线中由上向下穿越对数相频曲线中由上向下穿越-180o(2k+1)线线 为负为负 N=N+-N-N+：幅频特性曲线：幅频特性曲线零分贝线以上频率范围内零分贝线以上频率范围内，对数相频曲线由下，对数相频曲
17、线由下向上穿越向上穿越-180o(2k+1)线的次数；线的次数；N-：幅频特性曲线：幅频特性曲线零分贝线以上频率范围内零分贝线以上频率范围内，对数相频曲线由上，对数相频曲线由上向下穿越向下穿越-180o(2k+1)线的次数；线的次数；Z=P-2N-180owL(w)w(N-)(N+)稳定性分析稳定性分析1 开环传函不含积分环节开环传函不含积分环节2开环传函含积分环节开环传函含积分环节 此时需对开环幅相曲线作修正：此时需对开环幅相曲线作修正：在在Bode图的图的w为为0+处，由下向上补画一条线，该线通过处，由下向上补画一条线，该线通过的相位为的相位为v90o，计算正负穿越时，应将补画的线也看成，
18、计算正负穿越时，应将补画的线也看成Bode图的一部分。图的一部分。例例1：系统开环传函为：系统开环传函为试试利用利用Bode图图判断闭环系统的稳定性。判断闭环系统的稳定性。例例2：已知已知系统开环系统开环Bode图如下所示，已知图如下所示，已知 ，试判断闭环系统稳定性试判断闭环系统稳定性-180owL(w)w4-9 稳定裕度稳定裕度稳定裕度是衡量闭环系统稳定程度的指标。稳定裕度是衡量闭环系统稳定程度的指标。例：系统开环传函为例：系统开环传函为 分析对于不同分析对于不同的的K，系统的稳定性。，系统的稳定性。1.幅值裕量幅值裕量Kg 或或h相角交界频率相角交界频率 g：开环幅相曲线上，相角为：开环
19、幅相曲线上，相角为-180o点的频率称为点的频率称为相角交界相角交界 频率。即频率。即argG(jwg)H(jwg)=-180o。幅值裕量幅值裕量Kg：开环幅相曲线与负实轴交点处幅值的倒数称为幅值裕量，开环幅相曲线与负实轴交点处幅值的倒数称为幅值裕量，记为记为：物理意义：若系统开环增益增大到原来的物理意义：若系统开环增益增大到原来的Kg倍，系统处于临界稳定。倍，系统处于临界稳定。一、一、开环幅相曲线上的幅值裕度和相角裕度开环幅相曲线上的幅值裕度和相角裕度2.相角裕量相角裕量 截止频率截止频率 c：开环幅相曲线上，幅值为：开环幅相曲线上，幅值为1的频率称为的频率称为截止频率。截止频率。即即|G(
20、jwc)H(jwc)|=1。相角裕量相角裕量 ：=180+(c)物理意义：若系统截止频率物理意义：若系统截止频率 c处的相位迟后再增加处的相位迟后再增加，系统处于临界，系统处于临界稳定。稳定。ReIm二、二、开环对数幅相曲线上的幅值裕度和相角裕度开环对数幅相曲线上的幅值裕度和相角裕度Kg(dB)0-Kg(dB)工程上，一般取：工程上，一般取：若系统稳定，则：若系统稳定，则：Kg1(K(dB)0)，r0。一般，为确定系统的相对稳定性，描述系统的稳定程度，一般，为确定系统的相对稳定性，描述系统的稳定程度，需要同时给出幅值裕度和相位裕度两个量，缺一不可。需要同时给出幅值裕度和相位裕度两个量，缺一不可
21、。判断（最小相位）系统稳定的又一方法三、三、举例举例例例1：系统开环传函为：系统开环传函为K=24，试试求求Kg，r。例例2：系统开环传函为：系统开环传函为试试求求Kg，r。例例3：系统开环传函为：系统开环传函为画出系统的画出系统的Bode图，并由图图，并由图试试求求Kg，r。例例4：系统开环传函为：系统开环传函为分别画出分别画出K=5、20系统的系统的Bode图，并求图，并求Kg，r。答案：答案：K=5：r=12o，Kg=6dBK=20：r=-12o，Kg=-6dB例例5：典型二阶系统如图所示：典型二阶系统如图所示：试确定其相角裕度。试确定其相角裕度。R(s)C(s)_一、一、闭环闭环频率特
22、性主要性能指标频率特性主要性能指标R(s)C(s)_闭环系统幅频特性和相频特性为：闭环系统幅频特性和相频特性为：闭环系统幅频特性表示稳态时输入输出的幅值比。闭环系统幅频特性表示稳态时输入输出的幅值比。4-10 闭环闭环频率特性与时域性能指标频率特性与时域性能指标：带宽频率：带宽频率：峰值频率：峰值频率：谐振峰值：谐振峰值：零频值：零频值M Mr r是是系统相对稳定性的一种常用指标。二、一阶、二阶系统二、一阶、二阶系统闭环闭环频率指标与时域指标频率指标与时域指标1、一阶系统、一阶系统R(s)C(s)_闭环频域指标：闭环频域指标：闭环阶跃响应闭环阶跃响应时域指标：时域指标：2、二阶系统、二阶系统R
23、(s)C(s)_闭环频域指标：闭环频域指标：闭环阶跃响应闭环阶跃响应时域指标：时域指标：因此，若知道频域指标中的任两个，就可解算出因此，若知道频域指标中的任两个，就可解算出 ，从而求出时域指标。反之，给出时域指标的任两个，就可确定从而求出时域指标。反之，给出时域指标的任两个，就可确定闭环频域指标。闭环频域指标。3*、高阶系统、高阶系统4-11 开环对数频率特性与时域指标开环对数频率特性与时域指标一、开环对数幅频特性一、开环对数幅频特性“三频段三频段”1、低频段：、低频段：开环对数幅频特性的第一个转折频率以前的区段。该段取开环对数幅频特性的第一个转折频率以前的区段。该段取决于系统开环增益和开环积分环节的数目。低频段决定了系统决于系统开环增益和开环积分环节的数目。低频段决定了系统稳态精度稳态精度2、中频段：、中频段：附近。附近。反映系统的动态特性。中频段应以反映系统的动态特性。中频段应以-20dB/dec穿越穿越wc，且，且应当有较大的宽度。应当有较大的宽度。3、高频段：、高频段：主要决定闭环系统的抗干扰性。故高频段幅值越低，系统主要决定闭环系统的抗干扰性。故高频段幅值越低，系统抗干扰能力越强。抗干扰能力越强。二、期望开环对数幅频特性的确定二、期望开环对数幅频特性的确定-20-40或-60-20-40wL(w)-60期望开环对数幅频特性期望开环对数幅频特性低频中频高频
