1、2022-12-223-3二阶系统的时域分析133 二阶系统的时域分析二阶系统的时域分析2022-12-223-3二阶系统的时域分析21.二阶系统的数学模型二阶系统的数学模型开环传递函数开环传递函数:22()2nnG sss闭环传递函数闭环传递函数:222()()1()2nnnG ssG sss)2(2nnss ()R s()C s-n自然频率阻尼比特征方程：特征方程：2220nnss特征根：特征根：21,21nns 001112022-12-223-3二阶系统的时域分析32.二阶系统的单位阶跃响应二阶系统的单位阶跃响应(1)1()R ss222121()()12nnnC sssssABCss
2、sss 1()()c tLC ss2+2ns+n2(s)=n2输入：输入：输出：输出：2022-12-223-3二阶系统的时域分析42.二阶系统的单位阶跃响应二阶系统的单位阶跃响应(2)-欠阻尼欠阻尼222222222222222211:()221 ()(1)()(1)1 *()()nnnnnnnnnnnnddddsC ss sssssssssssss阶跃响应21,2d:1nnsjj 极点:()1(cossin)1cos()sin()sin()1sincos ssinnitddtddtddc tettettte 拉氏反变换1s2s21njnn2022-12-223-3二阶系统的时域分析52.二
3、阶系统的单位阶跃响应二阶系统的单位阶跃响应(3)-欠阻尼欠阻尼极点的负实部极点的负实部 决定了指数衰减的快慢，虚部决定了指数衰减的快慢，虚部 是振荡频率。称是振荡频率。称 为阻尼振荡圆频率。为阻尼振荡圆频率。21nddnsin()()1,0sintdtc tet)(t2022-12-223-3二阶系统的时域分析62.二阶系统的单位阶跃响应二阶系统的单位阶跃响应(4)-过阻尼过阻尼21,21nns 极点：12ss212c()1()(t0)ss21ttneet 阶跃响应：稳态分量为稳态分量为1 1，瞬态分量包含两个衰减指数，瞬态分量包含两个衰减指数项，曲线单调上升。项，曲线单调上升。1s2s1过阻
4、尼时极点分布过阻尼时极点分布2022-12-223-3二阶系统的时域分析72.二阶系统的单位阶跃响应二阶系统的单位阶跃响应(5)-临界临界阻尼阻尼1,2:ns 极点临界阻尼响应临界阻尼响应1)(00sssC1)(21nsnssCdsdnsnnssC)()(22201222()()()nnnnC ss sssstntnnteetC 1)()1(1tentn)0(t12s snj1 是输出响应的单调和振荡过程的分界，通是输出响应的单调和振荡过程的分界，通常称为临界阻尼状态。常称为临界阻尼状态。12022-12-223-3二阶系统的时域分析82.二阶系统的单位阶跃响应二阶系统的单位阶跃响应(6)-无
5、无阻尼阻尼1,2 snj极点：c()1cosntt阶 跃 响 应：jn1s2s0系统的输出响应是无阻尼的等幅振荡过程，系统的输出响应是无阻尼的等幅振荡过程，其振荡频率为其振荡频率为n)sin1(cos1)(2ttetCddtn0将将 代入代入2022-12-223-3二阶系统的时域分析92-1S1,2=-nnS1,2=-n-n=S1,2=jn01101j0j0j0j0s2+2ns+n2(s)=n2-j1-2 nS1,2=nh(t)=1T2tT1T21e+T1tT2T11e+h(t)=1-(1+nt)e-tnh(t)=1-cosntj0j0j0j0T11T2111010sin(dt+)e-t h
6、(t)=1-211n过阻尼过阻尼临界阻尼临界阻尼欠阻尼欠阻尼零阻尼零阻尼2.二阶系统的单位阶二阶系统的单位阶跃响应跃响应(7)2022-12-223-3二阶系统的时域分析102.二阶系统的单位阶跃响应二阶系统的单位阶跃响应(8)可以看出：随着可以看出：随着 的增加，的增加，c(t)c(t)将从无衰减的周期运动变为有衰减的正弦运动，将从无衰减的周期运动变为有衰减的正弦运动，当当 时时c(t)c(t)呈现单调上升运动呈现单调上升运动(无振荡无振荡)。可见。可见 反映实际系统的阻尼情反映实际系统的阻尼情况，故称为阻尼系数况，故称为阻尼系数。102468101200.20.40.60.811.21.4
7、1.61.82ntC(t)2022-12-223-3二阶系统的时域分析113.二阶系统的性能指标二阶系统的性能指标(1)上升时间上升时间dsin(t+)()1,0sintc tet dsin(t+)=0根据定义，当 时，。rtt()1rc ttdsin(t+)e0sinrdt解得：dsin(t+)()1=1sintc te 令dt=k k=0,1,2)(t2022-12-223-3二阶系统的时域分析123.二阶系统的性能指标二阶系统的性能指标(2)峰值时间峰值时间当当 时，时，ptt()0pc ttt()sin()cos()0dddctttee令k k=0,1dtk=1,pdt取得 dsin(
8、t+)()1,0sintc tet 1s2s21njnn10dtan(t+)=tan2022-12-223-3二阶系统的时域分析133.二阶系统的性能指标二阶系统的性能指标(3)超调量超调量()()%100%()1)100%()ppc tcc tcctan%100%e故：()():pc tc t得将峰值时间将峰值时间 代入代入dptdsin()()1sinptpptc te dsin(+)1sine ctan1e00.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9101020304050607080901002022-12-223-3二阶系统的时域分析143.二阶系统的性能
9、指标二阶系统的性能指标(4)调节时间调节时间根据定义，当根据定义，当t tt ts s时时|c(t)-c()|c()|c(t)-c()|c()%。sin()%sintdte%sinte 2ln(1%)snt 1 1C(tC(t)0 0t ts stts s2 21 11 11 1z z-=5 5t t2 21 11 1z zzwzw-+-t tn ne e2 21 11 11 1z z-+2 21 11 1z zzwzw-t tn ne e取：取：211ln(0.02)3.9124 ln(0.05)2.9963 时当时当52,3,4nnst所以所以2022-12-223-3二阶系统的时域分析1
10、53.二阶系统的性能指标二阶系统的性能指标(5)小结小结q阻尼系数阻尼系数 是二阶系统的一个重要参数，用它可以间接地判断是二阶系统的一个重要参数，用它可以间接地判断一个二阶系统的瞬态品质。在一个二阶系统的瞬态品质。在 的情况下瞬态特性为单调变化的情况下瞬态特性为单调变化曲线，无超调和振荡，但曲线，无超调和振荡，但 长。当长。当 时，输出量作等幅振荡或时，输出量作等幅振荡或发散振荡，系统不能稳定工作。发散振荡，系统不能稳定工作。1st0q在欠阻尼在欠阻尼 情况下工作时，若情况下工作时，若 过小，则超调量大，振过小，则超调量大，振荡次数多，调节时间长，瞬态控制品质差。荡次数多，调节时间长，瞬态控制
11、品质差。(01)注意到注意到 只与只与 有关，所以一般根据有关，所以一般根据 来选择来选择 。21%100%e%q 越大，越大，（当（当 一定时）一定时）3.5,snnt stq为了限制超调量，并使为了限制超调量，并使 较小，较小，一般取一般取0.40.8，则超调量在，则超调量在25%1.5%之间。之间。st2022-12-223-3二阶系统的时域分析16 例例：求系统的特征参数：求系统的特征参数 并分析与性能指标的关系：并分析与性能指标的关系：,n()R s)1(TssK()C s22222()12nnnKKTsKTss KssssTT 解解：闭环传递函数为：闭环传递函数为：21T2 112
12、K22nnnnnKKTTTKT或q 时，时，。快速性好，振荡加剧。快速性好，振荡加剧(矛盾矛盾!)!)；K,%,Nq 时，时，T 4,%,(2)nsnNtT)2(2nnss()R s()C s-3.3.二阶系统的性能指标二阶系统的性能指标(6)(6)举例举例2022-12-223-3二阶系统的时域分析174.4.二阶系统性能的改善（二阶系统性能的改善（1 1）比例微分控制）比例微分控制22(1)()(2)(1)dnndnT sss sT s222(1)(2)dndnnnT ssTs 222(z)1.z2ndnnsss 1z,2znddT式 中：22nn2222dnndnn0011*s+2s+s
13、s+2s+s C(s)C(s)C(s)=(s)*R(s)s1=*z1=s+z ()C s)2(2nnssdT s+-()R s0 01 1)(t tc c)(t tc c)(0 0t tc c)(0 0t tcct t1)1)动态特性与全体闭零极点均有关；动态特性与全体闭零极点均有关；2)2)响应类型仅取决于闭极点；响应类型仅取决于闭极点；3)3)零点使阻尼增大零点使阻尼增大,超调量减小超调量减小,调节时间变短；调节时间变短；4)4)输入端噪声较强时输入端噪声较强时,比例比例-微分不宜采用；微分不宜采用；5)5)比例比例-微分控制相当于增加微分控制相当于增加开环零点开环零点的作用。的作用。20
14、22-12-223-3二阶系统的时域分析184.4.二阶系统性能的改善（二阶系统性能的改善（2 2）测速反馈控制）测速反馈控制2(2)nns stK s-()R s()C s2222t()(2K)nnnnsss222()2nnnsss与典型形式比较：)2(2nnsstK1s-()R s()C s2)2)由于自然频率由于自然频率 不变，故调节时间减小；不变，故调节时间减小；ntK2tn1)1)等效阻尼比等效阻尼比故，等效阻尼比增大，超调量减小；故，等效阻尼比增大，超调量减小；3 3）测）测-反控制将使稳态误差增大；（开环增益增大）反控制将使稳态误差增大；（开环增益增大）4 4）测速）测速-反馈与
15、比例反馈与比例-微分可取相同的开环传递函数，但闭环传递函数并不相同。微分可取相同的开环传递函数，但闭环传递函数并不相同。2022-12-223-3二阶系统的时域分析194.4.二阶系统性能的改善（二阶系统性能的改善（3 3）举例）举例1 1 解解：116118,0.250.2522160.25nKsTKT0.5038，解得,16.0%,16%21e当当T T不变时，不变时，K=4K=422113.9388440.250.5038KT21%100%100%44%e)(,5.125.0833)(,225.084452当当sstnns)(sR)1(TssK)(sC 例例3-13-1：如图所示系统，：
16、如图所示系统，试求：试求：和和 ;和和 若要求若要求 时，当时，当T T不变时不变时K=?K=?116,0.25KsTs%16%nst2022-12-223-3二阶系统的时域分析204.4.二阶系统性能的改善（二阶系统性能的改善（4 4）举例）举例2 2 解解：2()1kTskkssTT 例例3-23-2：上例中，用速度反馈改善系统的性能。如下图所示。：上例中，用速度反馈改善系统的性能。如下图所示。为使为使 ，求，求 的值。并计算加入速度反馈后的瞬态指标。的值。并计算加入速度反馈后的瞬态指标。10.5)1(Tssks-()R s()C s211111122nnkkTTkkTkT 12111%1
17、00%16%e25.00625.01611,21kk求得：11441()0.58snts 2022-12-223-3二阶系统的时域分析214 4.二阶系统性能的改善（二阶系统性能的改善（5 5）小结小结（1 1）改善二阶系统动态性能的措施）改善二阶系统动态性能的措施（2 2）附加开环零点的影响）附加开环零点的影响增加阻尼增加阻尼 （3 3）附加闭环零点的影响）附加闭环零点的影响测速反馈控制测速反馈控制改变：特征方程系数改变：特征方程系数特征根特征根模态模态阶跃响应阶跃响应性能性能改变：部分分式系数改变：部分分式系数模态的加权值模态的加权值阶跃响应阶跃响应性能性能比例比例+微分控制微分控制提前控
18、制提前控制2022-12-223-3二阶系统的时域分析22本节总结本节总结q二阶系统的动态性能指标基于以下两个条件：二阶系统的动态性能指标基于以下两个条件：第一，第一，性能指标是根据系统对单位阶跃输入的响应给出的；性能指标是根据系统对单位阶跃输入的响应给出的；第二，初始条件为零。第二，初始条件为零。q典型二阶系统的瞬态响应典型二阶系统的瞬态响应二阶无阻尼、欠阻尼、临二阶无阻尼、欠阻尼、临界阻尼和过阻尼系统的阻尼系数、特征根、极点分布界阻尼和过阻尼系统的阻尼系数、特征根、极点分布和单位阶跃响应。和单位阶跃响应。q典型二阶系统的性能指标典型二阶系统的性能指标主要是超调量和调整时间；主要是超调量和调整时间；与系统参数之间的关系；速度反馈校正。与系统参数之间的关系；速度反馈校正。q具有零点的二阶系统具有零点的二阶系统单位阶跃响应的紧凑形式；性单位阶跃响应的紧凑形式；性能指标；速度顺馈校正；能指标；速度顺馈校正；
