1、专题3 函数与导数第 18 练 存在与恒成立问题典例剖析精题狂练 “存在存在”与与“恒成立恒成立”两个表示范围的词语在题目两个表示范围的词语在题目问法中出现是近年高考的一大热点，其本质是问法中出现是近年高考的一大热点，其本质是“特称特称”与与“全称全称”量词的一个延伸，弄清其含义，适当进行转量词的一个延伸，弄清其含义，适当进行转化来加以解决化来加以解决.内容精要内容精要典例剖析 题型一 不等式的恒成立问题 题型二 存在性问题 题型三 存在与恒成立的综合性问题 题型一不等式的恒成立问题破题切入点破题切入点 有关不等式的恒成立求参有关不等式的恒成立求参数范围的问题，通常采用的数范围的问题，通常采用
2、的是将参数分离出来的方法是将参数分离出来的方法.例例1已知函数已知函数f(x)ax1ln x，aR.(1)讨论函数讨论函数f(x)的单调区间；的单调区间；当当a0时，时，f(x)0，函数，函数f(x)单调递增单调递增.综上所述：当综上所述：当a0时，时，f(x)的单调递减区间是的单调递减区间是(0，)，无单调递增区间；无单调递增区间；题型一不等式的恒成立问题(2)若函数若函数f(x)在在x1处取得极值，对处取得极值，对 x(0，)，f(x)bx2恒成立，求实数恒成立，求实数b的取值范围的取值范围.解解因为函数因为函数f(x)在在x1处取得极值，处取得极值，所以所以f(1)0，解得，解得a1，经
3、检验可知满足题意经检验可知满足题意.由已知由已知f(x)bx2，即，即x1ln xbx2，题型一不等式的恒成立问题易得易得g(x)在在(0，e2上单调递减，在上单调递减，在e2，)上单调递增，上单调递增，破题切入点破题切入点 利用极值处导利用极值处导数为数为0及导数的几及导数的几何意义求出何意义求出f(x).题型二存在性问题例例2已知函数已知函数f(x)ax3bx2cx在在x1处取得极值，且在处取得极值，且在x0处的切线的斜率为处的切线的斜率为3.(1)求求f(x)的解析式；的解析式；解解f(x)3ax22bxc.又又f(0)3，c3，a1，f(x)x33x.题型二存在性问题破题切入点破题切入
4、点 借助导数几何意义表示切借助导数几何意义表示切线方程，然后分离参数，利线方程，然后分离参数，利用数形结合求用数形结合求m范围范围.(2)若过点若过点A(2，m)可作曲线可作曲线yf(x)的三条切线，求实数的三条切线，求实数m的取值范围的取值范围.又切线过点又切线过点A(2，m).题型二存在性问题令令g(x)2x36x26，则则g(x)6x212x6x(x2)，由由g(x)0得得x0或或x2.g(x)极小值极小值g(0)6，g(x)极大值极大值g(2)2.题型二存在性问题画出草图如画出草图如下下图图.当当6m0，函数，函数f(x)ln xax2，x0.(f(x)的图象连续不断的图象连续不断)(
5、1)求求f(x)的单调区间；的单调区间；题型三存在与恒成立的综合性问题当当x变化时，变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：的变化情况如下表：xf(x)0f(x)极大值极大值 题型三存在与恒成立的综合性问题由由(1)知知f(x)在在(0,2)内单调递增，在内单调递增，在(2，)内单调递减内单调递减.由于由于f(x)在在(0,2)内单调递增，内单调递增，题型三存在与恒成立的综合性问题所以存在所以存在x0(2，x)，使，使g(x0)0，(说明：说明：x的取法不唯一，只要满足的取法不唯一，只要满足x2，且，且g(x)0即可即可)题型三存在与恒成立的综合性问题从而从而f(x)在在，上的最小值为上的
6、最小值为f().又由又由1，1,3，知，知123.题型三存在与恒成立的综合性问题总结提高总结提高 (1)存在与恒成立两个热点词汇在高考中频繁出现，存在与恒成立两个热点词汇在高考中频繁出现，关键要把握两个词语的本质：存在即特称量词，关键要把握两个词语的本质：存在即特称量词，“有的有的”意意思；恒成立即全称量词，思；恒成立即全称量词，“任意的任意的”意思意思.(2)解决这类问题的关键是转化与化归思想，转化为求解函解决这类问题的关键是转化与化归思想，转化为求解函数的最大值与最小值问题数的最大值与最小值问题.(3)函数与方程思想的应用在求解参数范围中体现的淋漓尽函数与方程思想的应用在求解参数范围中体现
7、的淋漓尽致，将参数分离出来，另一侧设为函数，转化为求解另一侧致，将参数分离出来，另一侧设为函数，转化为求解另一侧函数的最大值和最小值问题函数的最大值和最小值问题.精题狂练1.(2013课标全国课标全国)若存在正数若存在正数x使使2x(xa)0.f(x)在在(0，)上单调递增，上单调递增，f(x)f(0)011，a的取值范围为的取值范围为(1，)，故选，故选D.答案答案D精题狂练精题狂练解析解析当当a0时，显然不成立，故排除时，显然不成立，故排除D；当当a0时，注意到时，注意到f(x)6ax26ax6ax(x1)，即即f(x)在在0,1上是减函数，在上是减函数，在1,2上是增函数，上是增函数，当
8、当x00时，结论不可能成立；时，结论不可能成立；进一步，可知进一步，可知a2或或m2.答案答案C精题狂练精题狂练 精题狂练精题狂练则则f(x)sin xx0(x0)，答案答案C精题狂练6.(2014辽宁辽宁)当当x2,1时，不等式时，不等式ax3x24x30恒成立，则实数恒成立，则实数a的取值范围是的取值范围是()A.5，3 B.6，C.6，2 D.4，3解析解析当当x0时，时，ax3x24x30变为变为30恒成立，恒成立，即即aR.精题狂练精题狂练(x)在在(0,1上递增，上递增，(x)max(1)6.a6.精题狂练当当x2，1)时，时，(x)0.当当x1时，时，(x)有极小值，即为最小值有
9、极小值，即为最小值.综上知综上知6a2.答案答案C精题狂练7.设函数设函数f(x)ax33x1(xR)，若对于任意，若对于任意x1,1，都有都有f(x)0成立，则实数成立，则实数a的值为的值为_.解析解析若若x0，则不论，则不论a取何值，取何值，f(x)0显然成立；显然成立；精题狂练精题狂练g(x)在区间在区间1,0)上单调递增，上单调递增，所以所以g(x)ming(1)4，从而从而a4，综上可知，综上可知a4.答案答案4精题狂练8.(2014江苏江苏)已知函数已知函数f(x)x2mx1，若对于任意，若对于任意xm，m1，都有，都有f(x)0成立，则实数成立，则实数m的取值范围是的取值范围是_
10、.解析解析作出二次函数作出二次函数f(x)的图象，的图象，精题狂练因此函数因此函数f(x)在在0,1上单调递增，上单调递增，所以所以x0,1时，时，f(x)minf(0)1.根据题意可知存在根据题意可知存在x1,2，使得，使得g(x)x22ax41，精题狂练精题狂练10.(2014浙江浙江)已知函数已知函数f(x)x33|xa|(aR).(1)若若f(x)在在1,1上的最大值和最小值分别记为上的最大值和最小值分别记为M(a)，m(a)，求求M(a)m(a)；精题狂练当当a1时，有时，有xa，故，故f(x)x33x3a.此时此时f(x)在在(1,1)上是增函数，上是增函数，因此，因此，M(a)f
11、(1)43a，m(a)f(1)43a，故故M(a)m(a)(43a)(43a)8.当当1a1时，时，若若x(a,1)，f(x)x33x3a，在，在(a,1)上是增函数；上是增函数；若若x(1，a)，f(x)x33x3a，在，在(1，a)上是减函数，上是减函数，精题狂练所以，所以，M(a)maxf(1)，f(1)，m(a)f(a)a3.由于由于f(1)f(1)6a2，当当a1时，有时，有xa，故，故f(x)x33x3a，此时此时f(x)在在(1,1)上是减函数，上是减函数，因此，因此，M(a)f(1)23a，m(a)f(1)23a，精题狂练故故M(a)m(a)(23a)(23a)4.精题狂练(2
12、)设设bR，若，若f(x)b24对对x1,1恒成立，求恒成立，求3ab的取值范围的取值范围.解解令令h(x)f(x)b，精题狂练因为因为f(x)b24对对x1,1恒成立，恒成立，即即2h(x)2对对x1,1恒成立，恒成立，所以由所以由(1)知，知，当当a1时，时，h(x)在在(1,1)上是增函数，上是增函数，h(x)在在1,1上的最大值是上的最大值是h(1)43ab，最小值是最小值是h(1)43ab，则则43ab2且且43ab2，矛盾；，矛盾；精题狂练最大值是最大值是h(1)43ab，所以所以a3b2且且43ab2，令令t(a)2a33a，精题狂练故故t(a)t(0)2，因此因此23ab0.最
13、大值是最大值是h(1)3ab2，所以所以a3b2且且3ab22，精题狂练当当a1时，时，h(x)在在1,1上的最大值是上的最大值是h(1)23ab，最小值是最小值是h(1)23ab，所以所以3ab22且且3ab22，解得，解得3ab0.综上，得综上，得3ab的取值范围是的取值范围是23ab0.精题狂练11.已知函数已知函数f(x)(x1)ln xx1.(1)若若xf(x)x2ax1，求，求a的取值范围；的取值范围；而而xf(x)x2ax1(x0)等价于等价于ln xxa.精题狂练当当0 x1时，时，g(x)0；当当x1时，时，g(x)0，x1是是g(x)的最大值点，的最大值点，g(x)g(1)
14、1.综上可知，综上可知，a的取值范围是的取值范围是 .精题狂练(2)证明：证明：(x1)f(x)0.证明证明由由(1)知，知，g(x)g(1)1，即，即ln xx10.当当0 x1时，时，f(x)(x1)ln xx1xln x(ln xx1)0；当当x1时，时，f(x)ln x(xln xx1)(x1)f(x)0.综上，在定义域内满足综上，在定义域内满足(x1)f(x)0恒成立恒成立.精题狂练(1)当当me(e为自然对数的底数为自然对数的底数)时，求时，求f(x)的极小值；的极小值；当当x(0，e)时，时，f(x)0，f(x)在在(e，)上单调递增，上单调递增，f(x)的极小值为的极小值为2.
15、精题狂练则则(x)x21(x1)(x1)，当当x(0,1)时，时，(x)0，(x)在在(0,1)上单调递增；上单调递增；精题狂练当当x(1，)时，时，(x)0，(x)在在(1，)上单调上单调递减递减.x1是是(x)的唯一极值点，且是极大值点，因此的唯一极值点，且是极大值点，因此x1也是也是(x)的最大值点，的最大值点，精题狂练又又(0)0，结合，结合y(x)的图象的图象(如图如图)，当当m0时，函数时，函数g(x)有且只有一个零点有且只有一个零点.精题狂练精题狂练等价于等价于f(b)bf(a)a恒成立恒成立.(*)(*)等价于等价于h(x)在在(0，)上单调递减上单调递减.精题狂练谢谢观看更多精彩内容请登录
