1、24.1.1 数学期望的定义数学期望的定义例：某自动化车床一天内加工的零件中，出现次品的例：某自动化车床一天内加工的零件中，出现次品的数量数量X是一个随机变量。由多日统计，得是一个随机变量。由多日统计，得X分布律如下分布律如下:X012340.150.270.440.100.04问车床平均一天出几个次品？问车床平均一天出几个次品？解：设车床工作解：设车床工作100天，按分布律，理想化后天，按分布律，理想化后可得平均值为可得平均值为0*0.15 1*0.272*0.443*0.104*0.041.61.kkkxx pip3数学期望的定义数学期望的定义1()kkkE Xx p 若级数若级数 不绝对
2、收敛，我们称不绝对收敛，我们称X的的数学期望不存在。数学期望不存在。1kkkxp 定义定义4.1 设离散型随机变量设离散型随机变量X的概率分布的概率分布为为PX=xk=pk,k=1,2,如果级数如果级数 绝对收敛，则称此级数为绝对收敛，则称此级数为X的的数学期望（也称期望或均值），记为数学期望（也称期望或均值），记为1kkkx p 4泊松分布的期望泊松分布的期望例例4.3 设设X ，则，则 E(X)=.0 1 2,!kP Xkekk 0()!kkE Xkek 0!1mmmekm ee 11)!1(kkke 5连续型随机变量的数学期望连续型随机变量的数学期望定义定义4.2 设连续型随机变量设连续
3、型随机变量X的密度函数为的密度函数为f(x),如果广义积分如果广义积分()xfx dx ()()E Xxfx dx则称此积分为随机变量则称此积分为随机变量X的数学期望的数学期望,记为记为绝对收敛，绝对收敛，6例例4.4 分布的数学期望分布的数学期望()EXx f x dx 1000 xxexfxx X的密度函数的密度函数:解解:10.xxxedx 01()()xxedx 1 7例：随机变量不存在的例子例：随机变量不存在的例子 211,()1fxxx 设随机变量设随机变量X服从服从Cauchy分布，其密度函数为：分布，其密度函数为：2202012()111ln(1)xxx f x dxdxdxx
4、xx 这表明积分这表明积分 不绝对收敛不绝对收敛,因而因而EX不存在不存在.()xf x dx 84.1.2 随机变量函数的期望随机变量函数的期望定理定理4.1 设设X为随机变量，为随机变量，Y=g(X)是是X的的连续函数或单调函数，则连续函数或单调函数，则(1)若离散型随机变量若离散型随机变量XPX=xk=pk,k=1,2,，且级数，且级数1()kkkg xp绝对收敛，则绝对收敛，则1()()()kkkE YE g Xg xp91()()()kkkE YE g Xg xpXPg(x)Px1 x2xnp1 p2png(x1)g(x2)g(xn)p1 p2pn 10(2)若连续型随机变量若连续型
5、随机变量Xf(x)，如果广义，如果广义积分积分()()g x fx dx绝对收敛，则绝对收敛，则()()()()E YE g Xg x f x dx4.1.2 随机变量函数的期望随机变量函数的期望11例例4.6 某车站开往甲地的班车每小时某车站开往甲地的班车每小时10分分,40分分发车发车,一乘客因不知车站发车的时间一乘客因不知车站发车的时间,在每在每小时的任意时刻都随机到达车站小时的任意时刻都随机到达车站,求乘客求乘客的平均等待时间的平均等待时间.解：设乘客到达车站的时间为解：设乘客到达车站的时间为X,等车时间等车时间为为Y,则则XU0,60,且且10,010()40,10406010,40
6、60XXyg XXXXX12于是于是,乘客的平均等待时间乘客的平均等待时间E(Y)为为:()()()EYE g Yg x f x dx1040010604011(10).(40).60601(70).60 xdxxdxxdx15例例4.6 13定理定理4.2 设设(X,Y)为二维随机变量，为二维随机变量，Z=g(X,Y)是是(X,Y)的连续函数的连续函数.二维随机变量函数的期望二维随机变量函数的期望(1)设离散型随机变量设离散型随机变量(X,Y)的概率分布的概率分布为为 PX=xiY=yj)=pij,i,j=1,2,1()(,)(,)ijiji jE ZE g X Yg x yp,1(,)ij
7、iji jg xyp绝对收敛绝对收敛,则则如果级数如果级数14(2)若连续型随机变量若连续型随机变量(X,Y)f(x,y)，如果广义积分如果广义积分(,)(,)g x y f x y dxdy 绝对收敛，则绝对收敛，则()(,)(,)(,)E ZE g X Yg x y f x y dxdy 二维随机变量函数的期望二维随机变量函数的期望15例例4.7两元件并联构成系统，由元件寿命两元件并联构成系统，由元件寿命X及及Y独立同分布于独立同分布于e(0.5),求系统的平均寿命求系统的平均寿命.1()21,0,40,xyex yfx yothers 解：写出解：写出(X,Y)的联合密度函数的联合密度函
8、数令令Z表示系统寿命表示系统寿命,则则(,)max(,)Zg X YX Y16()(max(,)max(,)(,)E ZEX Yx yf x y dxdy11()()2200011.44xx yx yxxedxdyyedxdy 120012xxxedxe dx2(2)(1)3 例例4.7174.1.3 数学期望的性质数学期望的性质().E CC（1）()()E CXC E X（2）证证:设设X有密度有密度f(x)，则，则()()()E CXCx f x dx()Cxf x dx.()C E X18()E XYEXEY（3）证证(,)(,),X Yf x y设有密度()()(,)E XYxy f
9、 x y dxdy dxdyyxyfdxdyyxxf),(),(dydxyxfydxdyyxfx),(),()().XYxfx dxyfy dyEXEY4.1.3 数学期望的性质数学期望的性质19(4)设设Xi(i=1,2,n)是是n个随机变量，个随机变量，Ci(i=1,2,n)是是n个常数，则个常数，则11()()nniiiiiiEC XC E X-线性性质线性性质(5)若若X及及Y独立，则独立，则E(XY)=E(X).E(Y)(独立时，乘积的期望等于期望的乘积独立时，乘积的期望等于期望的乘积)4.1.3 数学期望的性质数学期望的性质20例例4.8设随机变量设随机变量(1),(2,1).Xe
10、Y（1）求）求 E(X-Y)（2）求）求（3）若）若X及及Y独立，求独立，求 E(XY).23(23)EXY21例例4.9 设设 X B n,p,则则 EX=np解：解：设设 X表示表示n次独立重复试验中事件次独立重复试验中事件A发生的次数发生的次数，11 20,.iiAXiniA第第 次次试试验验中中 发发生生；第第 次次试试验验中中 不不发发生生则则1niiXX而而1 2,iEXpin故故1niiEXEXnppni 1224.2 方差方差 4.2.1 方差的定义及计算方差的定义及计算定义定义4.3 设设X是随机变量，若是随机变量，若E(X-EX)2存在，称为存在，称为X的方差，记为的方差，
11、记为 D(X)=E(X-EX)2（或（或Var(X)），称），称 为标准差。为标准差。D X(方差本质是随机变量函数的期望方差本质是随机变量函数的期望)度量随机变量度量随机变量及及均值的偏离程度均值的偏离程度23方差的计算式方差的计算式 22DXEXEX2DXE XEX(实数实数)222.()DXE XX EXEX222()DXEXEX EXEX22()DXEXEX24(),().XPD X 则例例4.11例例4.122(,),().XD X 则254.2.2 方差的性质方差的性质()D XYDXDY()0.D C(常数的方差等于常数的方差等于0)（1）2()aXbaDX（2）a,b为常数，为
12、常数，（3）若）若X及及Y独立，独立，26(,),()(1).XB n pD Xnpp则例例4.13例例4.14 随机变量随机变量(1)3242,();UXXYYZE U求(1,3),(2),(2,2),XUYeZ且且X，Y，Z相互独立，相互独立，(2)232,().VXYZD V求27(4)设随机变量设随机变量Xi(i=1,2,n)相互独立，相互独立，ci(i=1,2,n)是是n个常数，则个常数，则211()()nniiiiiiDc Xc D X(5)D(X)=0 存在常数存在常数C，使得，使得PX=C=1，且，且 C=EX.4.2.2 方差的性质方差的性质28().()vD XCE X 4
13、.2.3 变异系数，矩变异系数，矩定义定义4.4 若随机变量若随机变量X的期望、方差均的期望、方差均存在，且存在，且 ，则变异系数为，则变异系数为()0E X 定义定义4.5 若随机变量若随机变量X对非负整数对非负整数k有有下列期望存在，下列期望存在，()kkmE X()kkE XEX X的的k阶原点矩阶原点矩X的的k阶中心矩阶中心矩29例例4.15 随机变量随机变量 求求X的的变异系数，变异系数，k阶原点矩及阶原点矩及3阶中心矩。阶中心矩。(,),X 30随机变量的标准化随机变量的标准化设随机变量设随机变量X的数学期望的数学期望E(X)，方差，方差D(X)均存在，且均存在，且D(X)0，定义
14、一个新的随机，定义一个新的随机变量变量()*XE XXDX 则则 EX*=0，DX*=1，称称X*是随机变量是随机变量X的标准化随机变量。的标准化随机变量。31定义定义4.6：对二维随机变量：对二维随机变量(X,Y)，Cov(X,Y)=EX-E(X)Y-E(Y)称为称为X及及Y的协方差。的协方差。4.3.1 协方差协方差Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y).协方差的计算式为：协方差的计算式为：特别地，特别地，Cov(X,X)=DX.32协方差的性质协方差的性质(1)Cov(X,Y)=Cov(Y,X)(2)Cov(X,a)=0(3)Cov(aX,bY)=abCov(X,Y)(4)Cov
15、(X+Y,Z)=Cov(X,Z)+Cov(Y,Z)(5)D(XY)D(X)+D(Y)2Cov(X,Y)(6)若若X及及Y独立，则独立，则Cov(X,Y)=0.33二维向量的数字特征二维向量的数字特征对二维随机变量对二维随机变量(X,Y),称向量称向量()(,)(,)()D XCov X YVCov Y XD Y为为(X,Y)的的协方差阵。协方差阵。（可推广到（可推广到n维）维）称矩阵称矩阵 EYEX为为(X,Y)的的数学期望数学期望(均值向量均值向量).34例例4.16 (X,Y)有二维分布律有二维分布律XY0 1 2011/6 1/12 1/61/12 1/3 1/6求求(X,Y)的数学期望
16、和协方差矩阵的数学期望和协方差矩阵.解解：(1)先求先求X,Y的边缘分布律的边缘分布律;12421251123012712510YX，35例例4.16(2)计算计算X,Y的期望和方差的期望和方差,得：得：14483,1213,14435,127 DYEYDXEX(3)为计算为计算Cov(X,Y)，须计算二维随机，须计算二维随机变量函数变量函数 Z=XY 的期望：的期望：32)(,jiijjipyxXYE(4)余下的代入公式计算，见余下的代入公式计算，见P123.36例例4.17(3,6),(3),(2,3),XUYeZ随机变量随机变量且且X,Y独立独立,2),(,3/1)(ZXCovYZE求求
17、D(3X-2Y+Z).解：本题主要利用协方差的性质解：本题主要利用协方差的性质,D(3X-2Y+Z)=D(3X-2Y)+DZ +2Cov(3X-2Y,Z)D(3X-2Y)=?=D(3X)+D(2Y)2Cov(3X,Z)-2Cov(2Y,Z)Cov(3X-2Y,Z)=?37标准化随机变量的协方差标准化随机变量的协方差),(),(*DYEYYDXEXXCovYXCov),(1.1),(*YXCovDYDXYXCov 常数常数4.3.2 相关系数相关系数38定义定义4.4 若随机变量若随机变量 X，Y的期望和方差的期望和方差均存在，且均存在，且DX0,DY0，则，则*(,)(,)(,)XYCov X
18、 YR X YCov X YDXDY称为称为X及及Y的相关系数。的相关系数。39相关系数的性质相关系数的性质定理定理4.4 (1)R(X,Y)=R(Y,X)(2)|R(X,Y)|1(3)|R(X,Y)|=1 的充要条件为：存在的充要条件为：存在常数常数a,b,且且a0,使得使得P(Y=aX+b)=1.特别地，若特别地，若a0,可得可得R(X,Y)=1,称为称为正线性相关；反之正线性相关；反之,称为负线性相关。称为负线性相关。40关于关于t的一元二次方程的一元二次方程 f(t)对任意对任意t都有都有022DYYXtDXttf),cov()(0442DXDYYX),cov(证明：证明：(2)|R(
19、X,Y)|12cov(,)X YDX DY,()0tD YtX2()2 cov(,)D YtXDYt DXtX Y41独立独立及及不相关不相关nX,Y独立时，可以推出独立时，可以推出 Cov(X,Y)=0,因而可以推出因而可以推出R(X,Y)=0,即不相关；即不相关；反之不一定成立，即：反之不一定成立，即：X,Y不相关不能说明不相关不能说明X,Y独立。独立。例例4.19 设设XU(-1,1),Y=X2,则则X,Y不相关不相关.32(,)()()0Cov X YE XEX E X解解:02/)(,01133 dxxXEEX42例例4.20设二维随机变量设二维随机变量(X,Y)在在G上均匀分布，上
20、均匀分布，其中其中1,1,10|),(yxyxxyxG 求求X,Y的期望的期望及及方差；方差；证明：证明：X与与Y不相关，不独立。不相关，不独立。解：写出解：写出(X,Y)的联合密度函数的联合密度函数x+y=1x-y=1 .,0),(,1),(其它其它Gyxyxf43例例4.20分别求出分别求出X,Y的边缘密度函数的边缘密度函数11()(,)12(1)xXxfxf x y dydyx11|,|1)(yyyfY同理同理:12202(1)1/6,EXxx dx从而从而:20,()1/6.EYE Y同理同理:x+y=1x-y=1102(1)1/3,EXxx dx44 定义域定义域dxdyyxxyfXYE),()(x+y=1x-y=11101.10 xxxy dy dx 0)(.)(),(YEEXXYEYXCov可见，可见，X,Y不相关。不相关。但是在但是在G中，中，)().(),(yfxfyxfYX 例例4.20可见，可见，X,Y不独立。不独立。Thank You世界触手可及携手共进，齐创精品工程
