1、课题：课题： 27.1.2圆的轴对称性圆的轴对称性 复习提问：复习提问： 1 1、什么是轴对称图形？我们在前面学过哪些轴、什么是轴对称图形？我们在前面学过哪些轴 对称图形？对称图形？ 如果一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能如果一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能 够互相重合，那么这个图形叫轴对称图形。如线段、够互相重合，那么这个图形叫轴对称图形。如线段、 角、等腰三角形、矩形、菱形、等腰梯形、正方形角、等腰三角形、矩形、菱形、等腰梯形、正方形 2 2、我们所学的圆是不是、我们所学的圆是不是 轴对称图形呢？轴对称图形呢？ 圆是轴对称图形，经过圆圆是轴对称图形，经过圆 心的每一条直线都是
2、它们心的每一条直线都是它们 的对称轴的对称轴 . 看一看看一看 B . O C A E D O . C A E B D AEBE AEBE 动动脑筋动动脑筋 已知：在已知：在O中，中，CD是直径，是直径， AB是弦，是弦，CDAB，垂足为，垂足为E。求证：。求证： AEBE，ACBC，ADBD。 C . O A E B D 叠叠 合合 法法 证明：连结证明：连结OA、OB，则，则OAOB。 因为垂直于弦因为垂直于弦AB的直径的直径CD所在的所在的 直线既是等腰三角形直线既是等腰三角形OAB的对称轴的对称轴 又是又是 O的对称轴。所以，当把圆的对称轴。所以，当把圆 沿着直径沿着直径CD折叠时，折
3、叠时，CD两侧的两两侧的两 个半圆重合，个半圆重合，A点和点和B点重合，点重合，AE 和和BE重合，重合，AC、AD分别和分别和BC、 BD重合。因此重合。因此 AEBE，ACBC，ADBD 垂径定理垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并垂直于弦的直径平分这条弦，并 且平分弦所对的两条弧。且平分弦所对的两条弧。 题设题设 结论结论 （1）过圆心）过圆心 （直径）（直径） （2）垂直于弦）垂直于弦 （3）平分弦）平分弦 （4）平分弦所对的优弧）平分弦所对的优弧 （5）平分弦所对的劣弧）平分弦所对的劣弧 讨论讨论 （1）过圆心）过圆心 （2）垂直于弦）垂直于弦 （3）平分弦）平分弦 （4）平）平
4、分弦所对优弧分弦所对优弧 （5）平分弦所对的劣弧）平分弦所对的劣弧 （3） （1） （2） （4） （5） （2） （3） （1） （4） （5） （1） （4） （3） （2） （5） （1） （5） （3） （4） （2） （1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且 平分弦所对的两条弧平分弦所对的两条弧 （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对 的两条弧的两条弧 （3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦， 并且平分弦所对的另一条弧并且平分弦所对的另一条弧 命题（命
5、题（1）：平分弦（不是直径）的直径垂）：平分弦（不是直径）的直径垂 直于弦，并且平分弦所对的两条弧直于弦，并且平分弦所对的两条弧 已知：已知：CD是直径，是直径，AB是弦，并且是弦，并且CD平分平分AB 求证：求证：CDAB，ADBD，ACBC 命题（命题（2）：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对）：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对 的两条弧的两条弧 已知：已知：AB是弦，是弦，CD平分平分AB， CD AB，求证：，求证：CD是直径，是直径， ADBD，ACBC 命题（命题（3）：平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且）：平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且 平分弦所对的
6、另一条弧平分弦所对的另一条弧 已知：已知：CD是直径，是直径，AB是弦，并且是弦，并且ADBD （ACBC）求证：）求证：CD平分平分AB，ACBC （ADBD）CD AB . O C A E B D C 推论（推论（1） （1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦， 并且平分弦所对的两条弧并且平分弦所对的两条弧 （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所 对的两条弧对的两条弧 （3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分 弦，并且平分弦所对和的另一条弧弦，并且平分弦所对和的另一条弧 垂直于弦
7、的直径平分这条弦，垂直于弦的直径平分这条弦， 并且平分弦所对的两条弧。并且平分弦所对的两条弧。 （1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平 分弦所对的两条弧分弦所对的两条弧 （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对 的两条弧的两条弧 （3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并 且平分弦所对的另一条弧且平分弦所对的另一条弧 垂径定理垂径定理 记忆记忆 判断判断 （1）垂直于弦的直线平分弦，并且平分弦所对的）垂直于弦的直线平分弦，并且平分弦所对的 弧弧( ) （2
8、）弦所对的两弧中点的连线，垂直于弦，并且）弦所对的两弧中点的连线，垂直于弦，并且 经过圆心经过圆心( ) （3）圆的不与直径垂直的弦必不被这条直径平）圆的不与直径垂直的弦必不被这条直径平 分分.( ) （4）平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的）平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的 两条弧两条弧( ) （5）圆内两条非直径的弦不能互相平分（）圆内两条非直径的弦不能互相平分（ ） 例例1 如图，已知在如图，已知在O中，中， 弦弦AB的长为的长为8厘米，圆心厘米，圆心O到到 AB的距离为的距离为3厘米，求厘米，求O的的 半径。半径。 解：连结解：连结OA。过。过O作作OEAB，垂足为，垂足为E
9、， 则则OE3厘米，厘米，AEBE。AB8厘米厘米 AE4厘米厘米 在在RtAOE中，根据勾股定理有中，根据勾股定理有OA5厘米厘米 O的半径为的半径为5厘米。厘米。 . A E B O 讲解讲解 根据垂径定理与推论可知对于一个根据垂径定理与推论可知对于一个 圆和一条直线来说。如果具备圆和一条直线来说。如果具备 （1）过圆心）过圆心 （2）垂直于弦）垂直于弦 （3）平分弦（）平分弦（4） 平分弦所对的优弧平分弦所对的优弧 （5）平分弦所对的劣弧）平分弦所对的劣弧 上述五个条件中的任何两个条件都上述五个条件中的任何两个条件都 可以推出其他三个结论可以推出其他三个结论 注意注意 画法：连结AB；画
10、AB的中垂线，交弧AB 于点E。 点E就是所求的分点。 例例3 已知：如图，在以已知：如图，在以 O为圆心的两个同心圆中，为圆心的两个同心圆中， 大圆的弦大圆的弦AB交小圆于交小圆于C， D两点。两点。 求证：求证：ACBD。 证明：过证明：过O作作OEAB，垂足为，垂足为E， 则则AEBE，CEDE。 AECEBEDE。 所以，所以，ACBD E . A C D B O 讲解讲解 例例4 已知：已知：O中弦中弦 ABCD。 求证：求证：ACBD 证明：作直径证明：作直径MNAB。ABCD， MNCD。则。则AMBM，CMDM （垂直平分弦的直径平分弦所对的弦）（垂直平分弦的直径平分弦所对的弦
11、） AMCMBMDM ACBD . M C D A B O N 讲解讲解 （1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦， 并且平分弦所对的两条弧并且平分弦所对的两条弧 （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所 对的两条弧对的两条弧 （3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分 弦，并且平分弦所对的另一条弧弦，并且平分弦所对的另一条弧 推论（推论（2） 圆的两条平行弦所夹的弧相等圆的两条平行弦所夹的弧相等 E 小结小结: 解决有关弦的问题，经常是过圆心作解决有关弦的问题，经常是过圆心作 弦的垂线，或作垂直于弦的直径，连结半弦的垂线，或作垂直于弦的直径，连结半 径等辅助线，为应用垂径定理创造条件。径等辅助线，为应用垂径定理创造条件。 . C D A B O M N E . A C D B O . A B O 学生练习学生练习 已知：已知：AB是是O直径，直径，CD 是弦，是弦，AECD，BFCD 求证：求证：ECDF . A O B E C D F
