1、微积分微积分第第5章章 定积分定积分5.1 定积分概念与性质5.2 微积分基本定理与基本公式5.3 定积分的换元法5.4 定积分的分部积分法5.5 定积分应用5.6 反常积分微积分微积分一、一、定积分问题举例定积分问题举例二、二、定积分的定义定积分的定义三、三、定积分的性质定积分的性质5.1 定积分的概念及性质 第五五章 微积分微积分一、定积分问题举例一、定积分问题举例1.曲边梯形的面积曲边梯形的面积设曲边梯形是由连续曲线)0)()(xfxfy，轴及x以及两直线bxax,所围成,求其面积 A.?A)(xfy 矩形面积ahhaahb梯形面积)(2bah微积分微积分1xix1ixxabyo解决步骤
2、解决步骤:1)大化小大化小.在区间 a,b 中任意插入 n 1 个分点bxxxxxann1210,1iiixx用直线ixx 将曲边梯形分成 n 个小曲边梯形;2)常代变常代变.在第i 个窄曲边梯形上任取作以,1iixx为底,)(if为高的小矩形,并以此小梯形面积近似代替相应窄曲边梯形面积,iA得)()(1iiiiiixxxxfA),2,1,nii微积分微积分3)近似和近似和.niiAA1niiixf1)(4)取极限取极限.令,max1inix则曲边梯形面积niiAA10limniiixf10)(limxabyo1xix1ixi微积分微积分abxo二、定积分定义二、定积分定义,)(上定义在设函数
3、baxf的若对,ba任一种分法,210bxxxxan,1iiixxx令任取,1iiixxi时只要0max1inixiniixf1)(总趋于确定的极限 I,则称此极限 I 为函数)(xf在区间,ba上的定积分定积分,1xix1ixbaxxfd)(即baxxfd)(iniixf10)(lim此时称 f(x)在 a,b 上可积可积.记作微积分微积分baxxfd)(iniixf10)(lim积分上限积分下限被积函数被积表达式积分变量积分和称为积分区间,ba定积分仅与被积函数及积分区间有关,而与积分变量用什么字母表示无关,即baxxfd)(battfd)(bauufd)(微积分微积分定积分的几何意义定积
4、分的几何意义:Axxfxfbad)(,0)(曲边梯形面积baxxfxfd)(,0)(曲边梯形面积的负值abyx1A2A3A4A5A54321d)(AAAAAxxfba各部分面积的代数和A微积分微积分o1 xyni定理定理1.上连续在函数,)(baxf.,)(可积在baxf定理定理2.,)(上有界在函数baxf且只有有限个间断点 可积的充分条件可积的充分条件:(证明略)例例1.利用定义计算定积分.d102xx解解:将 0,1 n 等分,分点为niix),1,0(ninix1,nii取),2,1(ni.,)(可积在baxf2xy iiiixxf2)(则32ni微积分微积分o1 xyniiinixf
5、)(1niin1231)12)(1(6113nnnn)12)(11(61nniniixxx120102limdnlim31)12)(11(61nn2xy 注注微积分微积分注注 利用,133)1(233nnnn得133)1(233nnnn1)1(3)1(3)1(233nnnn1131312233两端分别相加,得1)1(3n)21(3nn即nnn3323nii12332)1(nnnnii1261)12)(1(nnn)21(3222n微积分微积分三、定积分的性质三、定积分的性质(设所列定积分都存在)abbaxxfxxfd)(d)(.10d)(aaxxfbaxd.2xxfkxxfkbabad)(d)(
6、.3(k 为常数)bababaxxgxxfxxgxfd)(d)(d)()(.4证证:iiinixgf)()(lim10左端iiniiinixgxf)(lim)(lim1010=右端ab微积分微积分bccabaxxfxxfxxfd)(d)(d)(.5证证:当bca时,因)(xf在,ba上可积,所以在分割区间时,可以永远取 c 为分点,于是,)(baiixf,)(caiixf,)(bciixfabc0令baxxfd)(caxxfd)(bcxxfd)(微积分微积分abc当 a,b,c 的相对位置任意时,例如,cba则有caxxfd)(baxxfd)(cbxxfd)(caxxfd)(baxxfd)(c
7、bxxfd)(caxxfd)(bcxxfd)(微积分微积分6.若在 a,b 上0)(1iinixf则.0d)(xxfba证证:,0)(xfbaxxfd)(0)(lim10iinixf推论推论1.若在 a,b 上,)()(xgxf则xxfbad)(xxgbad)(微积分微积分推论推论2.xxfbad)(xxfbad)(证证:)(xf)(xf)(xf)(ba xxfxxfxxfbababad)(d)(d)(即xxfxxfbabad)(d)(7.设,)(min,)(max,xfmxfMbaba则)(d)()(abMxxfabmba)(ba 微积分微积分例例3.试证:.2dsin120 xxx证证:设
8、)(xf,sinxx则在),0(2上,有)(xf2sincosxxxx)tan(xx2cosxx0)0()()(fxff2即2,1)(xf),0(x2故xxxfxd1d)(d2220002即2dsin120 xxx微积分微积分8.积分中值定理积分中值定理,)(baCxf若则至少存在一点,ba使)(d)(abfxxfba证证:,)(Mmbaxf别为上的最小值与最大值分在设则由性质性质7 可得Mxxfabmbad)(1根据闭区间上连续函数介值定理,上至少存在一在,ba,ba点使xxfabfbad)(1)(因此定理成立.微积分微积分oxbay)(xfy 说明说明:.都成立或baba 可把)(d)(f
9、abxxfba.,)(上的平均值在理解为baxf故它是有限个数的平均值概念的推广.积分中值定理对abxxfbad)(因nabfabniin)(lim11)(1lim1niinfn微积分微积分例例4.计算从 0 秒到 T 秒这段时间内自由落体的平均速度.解解:已知自由落体速度为tgv 故所求平均速度v2211TgT2TgTttg0d01Totgv vTt221TgS 微积分微积分二、积分上限的函数及其导数二、积分上限的函数及其导数 三、牛顿三、牛顿 莱布尼兹公式莱布尼兹公式 一、引例一、引例 5.2 微积分的基本公式 第五五章 微积分微积分一、引例一、引例 在变速直线运动中,已知位置函数)(ts
10、与速度函数)(tv之间有关系:)()(tvts物体在时间间隔,21TT内经过的路程为)()(d)(1221TsTsttvTT这种积分与原函数的关系在一定条件下具有普遍性.)()(的原函数是这里tvts微积分微积分)(xfy xbaoy)(xxhx二、积分上限的函数及其导数二、积分上限的函数及其导数,)(baCxf则变上限函数xattfxd)()(证证:,bahxx则有hxhx)()(h1xahxattfttfd)(d)(hxxttfhd)(1)(f)(hxxhxhxh)()(lim0)(lim0fh)(xf)(x定理定理1.若.,)(上的一个原函数在是baxf,)(baCxf微积分微积分说明说
11、明:1)定理 1 证明了连续函数的原函数是存在的.2)变限积分求导:bxttfxd)(dd)(xf)(d)(ddxattfx)()(xxf同时为通过原函数计算定积分开辟了道路.)()(d)(ddxxttfx)()()()(xxfxxf)()(d)(d)(ddxaaxttfttfx微积分微积分)sin(2cosxex例例1.求0limxtextd1cos22x解解:原式0limx00 x2e21例例2.确定常数 a,b,c 的值,使).0(d)1ln(sinlim20ccttxxaxbx解解:,0sin0 xxax时,0c.0 b00原式=)1ln(coslim20 xxaxcxxax20cos
12、lim c 0,故.1a又由221cos1xx,得.21c微积分微积分 ttf txfxd)()(0例例3.,0)(,),0)(xfxf且内连续在设证明)(xFttf txd)(0ttfxd)(0在),0(内为单调递增函数.证证:)(xF20d)(ttfxttfxfxxd)()(020d)(ttfxttfxfxd)()(0)(tx0.)0)(内为单调增函数，（在xF只要证0)(xF 20d)(ttfxxfx)()()(xf)0(x微积分微积分三、牛顿三、牛顿 莱布尼兹公式莱布尼兹公式上的一个原在是连续函数设,)()(baxfxF)()(d)(aFbFxxfba(牛顿-莱布尼兹公式)证证:根据定
13、理 1,)(d)(的一个原函数是xfxxfxa故CxxfxFxad)()(,ax 令,)(aFC 得因此)()(d)(aFxFxxfxa,bx 再令得)()(d)(aFbFxxfba记作)(xFab)(xFab定理定理2.函数,则微积分微积分例例4.计算.1d312 xx解解:xxxarctan1d31213)1arctan(3arctan3127例例5.计算正弦曲线轴所围成上与在xxy,0sin的面积.解解:0dsinxxAxcos0112)4(yoxxysin微积分微积分例例6.汽车以每小时 36 km 的速度行驶,速停车,2sm5a解解:设开始刹车时刻为,0t则此时刻汽车速度0v)(10
14、sm)(sm3600100036刹车后汽车减速行驶,其速度为tavtv0)(t510当汽车停住时,0)(tv即,0510 t得(s)2t故在这段时间内汽车所走的距离为20d)(ttvs20d)510(tt22510tt(m)1002)(36hmk刹车,问从开始刹到某处需要减设汽车以等加速度车到停车走了多少距离?微积分微积分二、定积分的分部积分法二、定积分的分部积分法 不定积分一、定积分的换元法一、定积分的换元法 换元积分法分部积分法定积分换元积分法分部积分法5.3 定积分的换元法 5.4分部积分法 第五五章 微积分微积分一、定积分的换元法一、定积分的换元法 定理定理1.设函数,)(baCxf单
15、值函数)(tx满足:1),)(1Ct 2)在,上,)(bta;)(,)(batfxxfbadd)()(t)(t证证:所证等式两边被积函数都连续,因此积分都存在,且它们的原函数也存在.,)()(的一个原函数是设xfxF是的原函数,因此有则baxxfd)()()(aFbF)(F)(Ftfd)(t)(tF)(tf)(t)(t则微积分微积分说明说明:1)当 1 时收敛;p1 时发散.,因此,当 p 1 时,反常积分收敛,其值为;11pap当 p1 时,反常积分发散.微积分微积分例例3.计算反常积分.)0(d0ptettp解解:tpept原式00d1teptptpep21021p微积分微积分二、无界函数
16、的反常积分二、无界函数的反常积分引例引例:曲线xy1所围成的1x与 x 轴,y 轴和直线开口曲边梯形的面积可记作10dxxA其含义可理解为 10dlimxxA12lim0 x)1(2lim02xy10A1xy微积分微积分定义定义2.设,()(baCxf而在点 a 的右邻域内无界,0取存在,xxfxxfbabad)(limd)(0这时称反常积分xxfbad)(收敛;如果上述极限不存在,就称反常积分xxfbad)(发散.类似地,若,),)(baCxf而在 b 的左邻域内无界,xxfxxfbabad)(limd)(0若极限baxxfd)(lim0数 f(x)在 a,b 上的反常积分,记作则定义则称此
17、极限为函 微积分微积分若被积函数在积分区间上仅存在有限个第一类 说明说明:,)(,)(外连续上除点在若bcacbaxf而在点 c 的无界函数的积分又称作第二类反常积分第二类反常积分,无界点常称邻域内无界,xxfbad)(xxfcad)(xxfbcd)(xxfcad)(lim110 xxfbcd)(lim220为瑕点瑕点(奇点奇点).例如,xxxd11112xxd)1(11间断点,而不是反常积分.则本质上是常义积分,则定义微积分微积分注意注意:若瑕点,)()(的原函数是设xfxF的计算表达式:xxfbad)()()(aFbFxxfbad)()()(aFbFxxfbad)()()(aFbF则也有类
18、似牛 莱公式的若 b 为瑕点,则若 a 为瑕点,则若 a,b 都为瑕点,则,),(bac则xxfbad)()()(cFbF)()(aFcF可相消吗可相消吗?微积分微积分112dxx211111x下述解法是否正确:,积分收敛例例4.计算反常积分.)0(d022axaxa解解:显然瑕点为 a,所以原式0arcsinaax1arcsin2例例5.讨论反常积分112dxx的收敛性.解解:112dxx012dxx102dxx101x011x所以反常积分112dxx发散.微积分微积分例例6.证明反常积分baqaxx)(d证证:当 q=1 时,当 q 1 时收敛;q1 时发散.baaxxdbaax ln当
19、q1 时baqaxx)(dabqqax1)(11q,1)(1qabq1q,所以当 q 1 时,该广义积分收敛,其值为;1)(1qabq当 q 1 时,该广义积分发散.微积分微积分例例7.解解：,)2()1()1()(32xxxxxf设求.d)(1)(312xxfxfI)(20 xfxx为与的无穷间断点,故 I 为反常xxfxfd)(1)(2)(1)(d2xfxfCxf)(arctan012d)(1)(xxfxfI202d)(1)(xxfxf322d)(1)(xxfxf积分.)(arctanxf)(arctanxf02)(arctanxf232222732arctan222732arctan10
