1、24.1 圆的有关性质 第二十四章 圆 导入新课 讲授新课 当堂练习 课堂小结 学练优九年级数学上（RJ） 教学课件 24.1.2 垂直于弦的直径 1.进一步认识圆，了解圆是轴对称图形. 2.理解垂直于弦的直径的性质和推论，并能应用它解决一 些简单的计算、证明和作图问题.（重点） 3.灵活运用垂径定理解决有关圆的问题. .（难点） 学习目标 赵州桥主桥拱的半径是多少？ 问题:你知道赵州桥吗? 它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的 弦的长)为37m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.23m，你能求出 赵州桥主桥拱的半径吗？ 导入新课导入新课 可以发现：圆是轴对称图形.任何一条直径所在直线都是它的
2、对 称轴 讲授新课讲授新课 垂径定理及其推论 一 问题1 剪一个圆形纸片，沿着它的任意一条直径对折，重 复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？你能证 明这个结论吗？ 问题2 如图,AB是O的一条弦, 直径CDAB, 垂足为E.你能 发现图中有那些相等的线段和劣弧? 为什么? 线段: AE=BE 弧: AC=BC, AD=BD 理由如下： 把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两 个半圆重合，点A与点B重合，AE与BE 重合，AC和BC,AD与BD重合 O A B D E C 垂径定理 O A B C D E 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧. CD是直径，CDAB ， AE=BE
3、, AC =BC, AD =BD. 归纳总结 推导格式： 温馨提示：垂径定理是圆中一个重要的定理,三种语言要相 互转化,形成整体,才能运用自如. 想一想：下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不是，请说 明为什么？ 是 不是，因为 没有垂直 是 不是，因为CD 没有过圆心 A B O C D E O A B C A B O E A B D C O E 垂径定理的几个基本图形： A B O C D E A B O E D A B O D C A B O C 思考：“不是直径”这个条件能去掉吗？如果不能，请举 出反例. 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦 所对的两条弧. 垂径定理的推论 O
4、 A B C D 特别说明： 圆的两条直径是互相平分的. 归纳总结 典例精析 例1 如图，OEAB于E，若O的半径为10cm,OE=6cm, 则AB= cm. O A B E 解析：连接OA， OEAB， AB=2AE=16cm. 16 一 垂径定理及其推论的计算 二 22 22 1068 AEOAOE cm. 例2 如图， O的弦AB8cm ，直径CEAB于D，DC 2cm，求半径OC的长. O A B E C D 解：连接OA， CEAB于D， 11 84(cm) 22 ADAB 设OC=xcm，则OD=x-2,根据勾股 定理，得 解得 x=5， 即半径OC的长为5cm. x2=42+(x
5、-2)2， 你能利用垂径定理解决求赵州桥主桥拱半径的问题吗? 垂径定理的实际应用 三 A B O C D 解：如图，用AB表示主桥拱，设AB 所在圆的圆心为O，半径为R. 经过圆心O作弦AB的垂线OC垂足为 D，与弧AB交于点C，则D是AB的中 点，C是弧AB的中点，CD就是拱 高. AB=37m，CD=7.23m. 解得R27.3（m）. . 即主桥拱半径约为27.3m. =18.52+(R-7.23)2 AD= AB=18.5m，OD=OC-CD=R-7.23. 222 OAADOD 练一练：如图a、b,一弓形弦长为 cm，弓形所在的 圆的半径为7cm，则弓形的高为_. 64 C D C
6、B O A D O A B 图a 图b 2cm或12cm 在圆中有关弦长a,半径r, 弦心距d（圆心 到弦的距离），弓形高h的计算题时，常常 通过连半径或作弦心距构造直角三角形， 利用垂径定理和勾股定理求解. 方法归纳 涉及垂径定理时辅助线的添加方 法 弦a，弦心距d，弓形高h，半径r 之间有以下关系： 弓形中重要数量关系 A B C D O h r d 2 a 2 22 2 a rd d+h=r O A B C 1.已知O中，弦AB=8cm，圆心到AB的距离为3cm，则 此圆的半径为 . 5cm 2.O的直径AB=20cm, BAC=30 则弦AC= _ . 10 3 cm 3.（分类讨论题
7、）已知O的半径为10cm，弦MNEF,且 MN=12cm,EF=16cm,则弦MN和EF之间的距离为 _ . 14cm或2cm 当堂练习当堂练习 4.如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中弧CD,点O 是弧CD的圆心),其中CD=600m,E为弧CD上的一点,且 OECD，垂足为F,EF=90m.求这段弯路的半径. 解:连接OC. O C D E F ,CDOE 11 600300(m). 22 CFCD 222 ,OCCFOF 2 22 30090.RR 设这段弯路的半径为Rm,则OF=(R-90)m. 根据勾股定理，得 解得R=545. 这段弯路的半径约为545m. 拓展提升： 如图，O的直径为10，弦AB=8,P为AB上的一个动点， 那么OP长的取值范围 . 3cmOP5cm B A O P 垂径定理 内 容 推 论 辅助线 一条直线满足:过圆心;垂直于弦; 平 分弦（不是直径）; 平分弦所对的优弧; 平分弦所对的劣弧.满足其中两个条件就 可以推出其它三个结论（“知二推三”） 垂直于弦的直径平分弦, 并且平分弦所对的两条弧 两 条 辅 助 线 ： 连半径，作弦心距 构造Rt利用勾股定 理计算或建立方程. 基本图形及 变 式 图 形 课堂小结课堂小结
