1、长沙民政职业技术学院教案课程名称数学应用基础课题优化问题的数学模型授课课时2课型新授课教案编号 5-1 教学目标（知识、技能、素质）：1、 知识目标：掌握优化问题的三个要素及优化问题的基本类型2、技能目标：分析解决问题的能力和数学建模的能力3、素质目标：培养学生理性的思维方式和数学应用意识教学重点：优化模型的决策变量、约束条件、目标函数教学难点：优化模型的建立主要教学方法：启发引导式、讲授法教学环节与内容一、问题引入在日常生活、经济管理和科学研究等领域，人们经常会遇到一类决策问题：在一系列客观或主观限制条件下，寻求使所关注的指标达到最优(最大或最小)的决策。例如，资源分配要在有限资源约束下，制
2、定最优分配方案，使资源产生的总效益最大；生产计划要按照产品生产流程和市场需求，制定原料、零件和部件的最佳订购时间点，尽量降低生产成本使利润最高；运输方案要在满足物资需求和装载条件下，安排从各供应点到需求点的最优路线和运量，使运输总费用最低等。二、新课讲授引例1 给定一条1 米长的铁丝，要求将其弯成一个矩形，使得该矩形的面积最大。解 该问题的目标是矩形面积最大，约束条件是矩形周长为1米。设矩形的两条边长分别为和，于是，建立该问题的数学模型如下：目标函数 约束条件 其中，“s. t.”为Subject to的缩写，意即“满足于”或“受限于”。易求得米时，矩形面积最大，最大面积为。引例2 某企业在计
3、划期内要安排、两种产品的生产，已知每生产100千克产品所需设备A及原材料B、C的消耗如表5-1所示。表5-1 生产设备和原材料消耗表产品产品日允许消耗量设 备A128（台时）原材料B3012（100千克）原材料C0515（100千克）已知每生产100千克的产品可获利2万元，生产100千克的产品可获利5万元，问怎样安排生产，才能使每天获得的利润最大？解 该问题的目标是每天的利润最大，约束条件是每一天可供使用的设备台时和原材料B、C的日供应量。设生产、两种产品的日产量分别为(100千克)，则每一天的利润可表示为由于设备A每天可供使用的台时不能超过8，而生产单位产品需要台时，生产单位产品需要台时，故
4、有 ，同理，因受原材料B、C的限制，可以得到以下两个不等式 ， ，此外，根据问题的实际意义，应该取非负数。综上所述，建立生产计划问题的数学模型为：目标函数 约束条件 可得最优解为，最优值为19。引例3 某机械厂需要长80厘米的钢管800根，长60厘米的钢管200根，这两种长度不同的钢管由长200厘米的钢管截得。工厂该如何下料，使得用料最省？解 对于该问题，首先必须找到可行的下料方式。由1根长200厘米的钢管去截得80厘米与60厘米两种型号的钢管，共有三种截取方法。第一种下料方式：一根长200厘米的钢管截得长80厘米的钢管2根；第二种下料方式：一根长200厘米的钢管截得长80厘米的钢管1根，长6
5、0厘米的钢管2根；第三种下料方式：一根长200厘米的钢管截得长60厘米的钢管3根。设三种下料方式分别用掉长200厘米的钢管，根，则用掉的总钢管数量为对于所需长80厘米的钢管：第一种下料方式截得根，第二种下料方式截得根，两种方式共截得根，它不能少于所需数量800根，即；对于所需长60厘米的钢管：第二种下料方式截得根，第三种下料方式截得根，两种方式共截得根，它不能少于所需数量200根，即；又考虑到,表示钢管的根数，因而它们的取值只能是正整数或零。综上所述，得钢管下料问题的数学规划模型为：目标函数 约束条件 最优解为，最少需要450根长200厘米的钢管。优化问题的数学模型1. 决策变量：一个优化问题
6、一般伴随着一个优化方案，该方案用一组参数的最优组合来表示，这些参数可概括地划分为两类：一类是可以根据客观规律、具体条件、已有数据等预先给定的参数，称为常量；另一类是在优化过程中经过逐步调整、最后达到最优值的参数，称为决策变量(简称变量)，如例1的产品产量、例2的矩形长与宽、例3的生产计划和例4的下料方案都是决策变量 2. 目标函数：反映变量间相互关系的数学表达式称为目标函数，其值的大小可以用来评价优化方案的好坏。目标函数可能是求最小值，如例1、例4；也可能是求最大值，如例2、例3。目标函数一般可表示为.如果优化问题只有一个目标函数，称为单目标函数，如果优化问题同时追求多个目标，则该问题的目标函
7、数称为多目标函数。3. 约束条件：变量间应该遵循的限制条件的数学表达式称为约束条件或约束函数。约束条件一般可表示为不等式约束 等式约束 其中，不带约束条件的优化问题称为无约束最优化问题，如例1；带约束条件的优化问题称为约束最优化问题。4. 优化问题数学模型的表示形式 (5.1)对于优化问题(5.1)，满足所有约束条件的解称为可行解，可行解的集合称为可行域。求解优化问题(5.1)，就是从可行域中找到一个解，使目标函数取得最大值(或最小值)，这样的解称为最优解，相应的目标函数值称为最优值。5. 优化问题的基本类型i)根据决策变量的数量，可以分为单变量优化问题和多变量优化问题ii)根据有无约束条件，可以分为无约束的优化问题和有约束的优化问题iii)根据决策变量在目标函数与约束条件中最高次项的次数是否大于1，可以分为线性规划问题和非线性规划问题iv)根据决策变量是否要求取整数，可以分为整数规划问题和连续优化问题课后小记
