1、空间向量与平行关系空间向量与平行关系研究 从今天开始,我们将进一步来体会向量这一工具在立体几何中的应用.1.1.直线的方向向量的定义直线的方向向量的定义直线的方向向量是指与这条直线直线的方向向量是指与这条直线_的向量的向量.平行或共线平行或共线一、基础梳理2.2.平面的法向量平面的法向量3.平面法向量的求法平面法向量的求法(1)当已知平面的垂线时，在垂线上取一非零向量即可作为当已知平面的垂线时，在垂线上取一非零向量即可作为平面的法向量平面的法向量(2)当已知平面当已知平面内两不共线向量内两不共线向量a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)时，常用待定系数法求法向量：时，常用待定系数法求法
2、向量：在上述方程组中，对在上述方程组中，对x，y，z中的任一个赋值，求出另两中的任一个赋值，求出另两个，所得个，所得n即为平面的法向量即为平面的法向量设向量设向量设平面的法向量为设平面的法向量为n=(x=(x，y y，z)z)找向量找向量找出找出(或求出或求出)平面内两个不共线向量的坐标平面内两个不共线向量的坐标a=(a=(a1 1，b bl l，c cl l)，b=(a=(a2 2，b b2 2，c c2 2).).数量积数量积根据法向量的定义建立关于根据法向量的定义建立关于x x，y y，z z的方程组的方程组 =0=0n an b解方解方程组程组解方程组解方程组,得含得含x(x(或或y
3、y，z)z)的不定解，取其中的的不定解，取其中的一个解，即得到平面的一个法向量一个解，即得到平面的一个法向量.由两个三元一次方程由两个三元一次方程组成的方程组的解是组成的方程组的解是不惟一的，为方便起不惟一的，为方便起见，取见，取z=1z=1较合理。较合理。其实平面的法向量不其实平面的法向量不是惟一的。是惟一的。nxyz解：设平面的法向量为（，），(2,2,1)0(4,5,3)0,nABnACxyzxyz 则，（，），（，）220,4530 xyzxyz即1121xzy 取，得1(,1,1),2n.),3,5,4(),1,2,2(1法向量的求平面、已知ABCACABl1l21e 2e 12/l
4、l 1212/eeee 二、空间中平行关系的向量表示：(1)线线平行：lua/l0 uaua(2)(2)线面平行：线面平行：u v /vuvu /(3)(3)面面平行：面面平行：空间中平行关系总结(1)线线平行：线线平行：设直线设直线l,m的方向向量分别为的方向向量分别为a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2)，且，且x2,y2,z20，则：，则：l/m .(2)线面平行：线面平行：设直线设直线l的方向向量分别为的方向向量分别为a=(x1,y1,z1),平面平面的法向量的法向量u=(x2,y2,z2)，且，且x2,y2,z20，则：，则：l/.(3)面面平行：面面平行：设平面设平面,
5、的法向量分别为的法向量分别为u=(x1,y1,z1),v=(x2,y2,z2),则：则：/.a/ba=kbx1=kx2,y1=ky2,z1=kz2auau=0 x1x2+y1y2+z1z2=0u/vu=kvx1=kx2,y1=ky2,z1=kz2题型一利用方向向量和法向量判定线面位置关系题型一利用方向向量和法向量判定线面位置关系 1。设。设a，b分别是不重合的直线分别是不重合的直线l1，l2的方向向量，根的方向向量，根据下列条件判断据下列条件判断l1，l2的位置关系：的位置关系：a(4，6，2)，b(2，3，1)；a(5，0，2)，b(0，1，0)；【例【例1】解：解：a(4，6，2)，b(2
6、，3，1)，a2b，ab，l1l2.a(5，0，2)，b(0，1，0)，ab0，ab，l1l2.三、应用巩固2。设。设u是平面是平面的法向量，的法向量，a是直线是直线l的方向向量，根据下的方向向量，根据下列条件判断平面列条件判断平面与与l的位置关系；的位置关系；u(2，2，1)，a(6，8，4)；u(2，3，0)，a(8，12，0)3。设。设u，v分别是不同的平面分别是不同的平面，的法向量，根据下列条件的法向量，根据下列条件判断判断，的位置关系；的位置关系；u(3，0，0)，v(2，0，0)；(12分分)已知正方体已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为的棱长为2，E、F分别是分别是BB1、
7、DD1的中点，求证：的中点，求证：(1)FC1平面平面ADE；(2)平面平面ADE平面平面B1C1F.题型二利用空间向量证明平行问题题型二利用空间向量证明平行问题【例【例3】证明如图所示建立空间直角坐标系证明如图所示建立空间直角坐标系D Dxyzxyz，则有则有D(0D(0，0 0，0)0)、A(2A(2，0 0，0)0)，C(0C(0，2 2，0)0)，C1(0C1(0，2 2，2)2)，E(2E(2，2 2，1)1)，F(0F(0，0 0，1)1)，B1(2B1(2，2 2，2)2)，如图所示，正方体如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1中，中，M，N，E，F分别是棱分别是棱A1B1，A
8、1D1，B1C1，C1D1的中点的中点求证：平面求证：平面AMN平面平面EFDB.【变式】【变式】证明如图，分别以证明如图，分别以DADA、DCDC、DD1DD1所在直线为所在直线为x x轴，轴，y y轴，轴，z z轴，轴，建立空间直角坐标系建立空间直角坐标系.设正方体棱长为设正方体棱长为a a，则则A(aA(a，0 0，0)0)，A1(aA1(a，0 0，a)a)，D1(0D1(0，0 0，a)a)，B1(aB1(a，a a，a)a)，思路分析思路分析 可先建系，写出直线的方向向量与平面的法向可先建系，写出直线的方向向量与平面的法向量，再用待定系数法确定点量，再用待定系数法确定点E.E.解分别以解分别以ABAB，ADAD，APAP为为x x，y y，z z轴建立空间直角坐标系，轴建立空间直角坐标系，P(0P(0，0 0，1)1)，C(1C(1，1 1，0)0)，D(0D(0，2 2，0)0)，四、课堂检测(1)线线平行的证明方法:/()abakb kR(2)线面平行的证明方法:/0laua u(3)面面平行的证明方法:/()u vukv kR 五、小结五、小结
