1、十九课时空间点、直线、平面之间的十九课时空间点、直线、平面之间的位置关系位置关系理解空间直线、平面位置关系的定理解空间直线、平面位置关系的定义，并了解可以作为推理依据的公义，并了解可以作为推理依据的公理和定理。理和定理。教教 材材 复复 习习 1.平面的基本性质平面的基本性质公理公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点在此平面内那么这条直线上所有的点在此平面内.公理公理2：过不在同一条直线上的三点，有且只有：过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面一个平面.(注意三个推论注意三个推论)公理公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，：
2、如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线那么它们有且只有一条过该点的公共直线.2.空间两条直线的位置关系：空间两条直线的位置关系：平行、相交、异面平行、相交、异面公理公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行：平行于同一条直线的两条直线互相平行.等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行且方向相同，那么这两个角相等分别平行且方向相同，那么这两个角相等.异面直线的定义：不同在异面直线的定义：不同在任何任何一个平面内一个平面内的两条直线的两条直线.异面直线异面直线a和和b所成的角：直线所成的角：直线a、b是异面是异面直
3、线，经过空间任意一点直线，经过空间任意一点O分别引直线分别引直线a/a，b/b，则把直线，则把直线a和和b所成的锐角所成的锐角(或直角或直角)叫做异面直线叫做异面直线a和和b所成的角所成的角.异面直线异面直线a、b所成角所成角的范围：的范围：(0，/2基基 础础 自自 测测D1.正方体正方体ABCD-A1B1C1D1中，中，P、Q、R分分别是别是AB、AD、B1C1的中点的中点.那么，正方体那么，正方体的过的过P、Q、R的截面图形是的截面图形是()A.三角形三角形 B.四边形四边形 C.五边形五边形 D.六边形六边形2.如图，长方体如图，长方体ABCD-A1B1C1D1中，中，AA1=AB=2
4、，AD=1，点，点E、F、G分别是分别是DD1、AB、CC1的中点，则异面直线的中点，则异面直线A1E与与GF所成的角是所成的角是()2.510arccos.4.515arccos.DCBAD3.下列各图是正方体和正四面体，下列各图是正方体和正四面体，P、Q、R、S分别是所在棱的中点，过四个点共面分别是所在棱的中点，过四个点共面的图形是的图形是_.解：在选项中，可证解：在选项中，可证Q点所在棱与点所在棱与PRS平行，因此，平行，因此，P、Q、R、S四点不共面；四点不共面；可证中可证中PQRS为梯形；为梯形；中可证中可证PQRS为平行四边形；中如右图取为平行四边形；中如右图取A1A与与BC的中点
5、的中点M、N，可证明，可证明PMQNRS为平面图为平面图形，且形，且PMQNRS为正六边形为正六边形.题型一题型一 点、线共面问题点、线共面问题【例【例1】已知直线】已知直线a、b、c、l满足满足a/b/c且且al=A，b l=B，c l=C，证明四条直线，证明四条直线a、b、c、l在同一平面内在同一平面内.思维导图：共面问题思维导图：共面问题由由a、l确定确定平面平面证明证明b b、c c在平面在平面内内。证明：证明：al=A，直线直线a、l确定一个平面确定一个平面；又又a/ba/b，则，则a a、b b也确定一个平面也确定一个平面，而平面，而平面内与内与平面平面都过直线都过直线a与直线与直
6、线a外一外一点点B，因此平面，因此平面与平面与平面为同一平面，因此为同一平面，因此b，同理，同理 c c，因此直线因此直线a、b、c、l在同一平面内在同一平面内.变变 式式 演演 练练1.(1)如图如图(1)AB为平面为平面的斜线，的斜线，AO，且垂，且垂足为足为O，P为为 AB上任意一点，试证：上任意一点，试证：P点在点在平面平面上的射影在上的射影在OB上上.(2)如图如图(2)在正方体在正方体ABCD-A1B1C1D1中，中，E、F、G、H、M、N分别为正方体相应棱的中点，求证：分别为正方体相应棱的中点，求证：此六点共面此六点共面.证明：证明：(1)过过P点作点作PQ，垂足为，垂足为Q，A
7、O平面平面，AO/PQ，直线，直线 AB、PQ、AO在同一在同一平面平面ABO内，又平面内，又平面ABO平面平面=BO，PQ平平面面=Q，QBO，即，即P点在点在平面平面上的射影在上的射影在OB上上.(2)可证可证MN/EH/FG，且，且MN、EH、FG都与都与MF相交，由例相交，由例1可知可知M、N、E、F、G、H六点六点共面共面.题型二题型二 三点共线和三线共点问题三点共线和三线共点问题【例【例2】已知空间四边形】已知空间四边形ABCD中，中，E、H分分别是边别是边AB、AD的中点，的中点，F、G分别是边分别是边BC、CD上的点上的点.(1)若若F、G分别为分别为BC、CD的中点，试证：的
8、中点，试证：EFGH为平行四边形；为平行四边形；(2)若若CF:FB=CG:GD=2，试证：，试证：EF、AC、HG相交于一点相交于一点.思维导图：证明思维导图：证明EF、AC、HG三线共点三线共点转转化为化为EF与与HG的交点的交点O在直线在直线AC上；上；证明证明O、A、C都是平面都是平面ABC与平面与平面ADC的公共点。的公共点。2.(1)三个平面两两相交，则三个平面的交线三个平面两两相交，则三个平面的交线可能有可能有_条，可能将整个空间划条，可能将整个空间划分为分为_部分；部分；变变 式式 演演 练练若三个平面有一条交线，则三个平面将空间分为六部分，若三个平面有一条交线，则三个平面将空
9、间分为六部分，若三个平面有三条交线可将空间分为七或八部分若三个平面有三条交线可将空间分为七或八部分.一或三一或三六或七或八六或七或八(2)已知三个平面两两相交且有三条交线，已知三个平面两两相交且有三条交线，试证：三条交线互相平行或者相交于一点试证：三条交线互相平行或者相交于一点.题型三题型三 异面直线所成的角异面直线所成的角【例【例3】如图，在棱长为】如图，在棱长为2的正方体的正方体ABCD-A1B1C1D1中，中，O是底面是底面ABCD的中心，的中心，E、F分别是分别是CC1、AD的中点，那么异面直线的中点，那么异面直线OE和和FD1所成角的余弦值等于所成角的余弦值等于()32.54.515
10、.510.DCBA思维导图：求异面直线所成的角：思维导图：求异面直线所成的角：平移法：平移法：作辅助线找出异面直线所成作辅助线找出异面直线所成角，证明，利用余弦定理计算；角，证明，利用余弦定理计算；向向量法：建立直角坐标系，写出相关点量法：建立直角坐标系，写出相关点的坐标或直接用向量表示，求出夹角的坐标或直接用向量表示，求出夹角的余弦值。的余弦值。注意异面直线所成角的范注意异面直线所成角的范围。围。B变变 式式 演演 练练3.如图，在正四棱柱如图，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，中，AA1=2AB，则异面直线，则异面直线A1B与与AD1所成角的所成角的余弦值为余弦值为()A.1/5 B
11、.2/5 C.3/5 D.4/5D方法规律：方法规律：1.由公理由公理2及公理及公理2的推论结合公理的推论结合公理1，可证明点线共面，可证明点线共面问题，如例问题，如例1及变式将立体几何问题转化为平面几何问及变式将立体几何问题转化为平面几何问题题.2.利用公理利用公理3可证明点共线，线共点等问题可证明点共线，线共点等问题.3.求异面直线所成的角，是要将异面直线问题转化为求异面直线所成的角，是要将异面直线问题转化为相交直线所成的锐角或直角，可通过余弦定理解三角相交直线所成的锐角或直角，可通过余弦定理解三角形，而作辅助线主要是作已知直线的平行线，可利用形，而作辅助线主要是作已知直线的平行线，可利用
12、平行四边形对边平行、三角形或梯形的中位线与底边平行四边形对边平行、三角形或梯形的中位线与底边平行等，也可利用向量的夹角求异面直线所成的角平行等，也可利用向量的夹角求异面直线所成的角.4.求异面直线所成的角无论是用几何法还是向量法都要求异面直线所成的角无论是用几何法还是向量法都要特别注意异面直线成角的范围特别注意异面直线成角的范围(00，9005.异面直线的判定定理异面直线的判定定理这个结论是对异面直线直接判定的重这个结论是对异面直线直接判定的重要依据，也是求异面直线成角作辅助要依据，也是求异面直线成角作辅助线的重要依据之一线的重要依据之一.连结平面外一点和平面内一点的直线连结平面外一点和平面内
13、一点的直线与平面内不经过此点的直线是异面直与平面内不经过此点的直线是异面直线线.剖析试题，追踪题源，预测趋势，强化训练剖析试题，追踪题源，预测趋势，强化训练【高考动向】【高考动向】高考考查平面的基本性质高考考查平面的基本性质(如正方体的截面问题如正方体的截面问题)、异面直线公垂线、异面直线公垂线的证明的证明(在指明公垂线的前提下在指明公垂线的前提下)，以及异，以及异面直线成角大小的计算问题面直线成角大小的计算问题.例例4主要解决异面直线成角大小的计算，主要解决异面直线成角大小的计算，可通过作图、证明、计算，也可以利用向可通过作图、证明、计算，也可以利用向量计算向量的夹角，无论哪种方法都应注量计
14、算向量的夹角，无论哪种方法都应注意到异面直线成角的范围是意到异面直线成角的范围是(00，900.【命题视角】【命题视角】【例【例4】如右图，】如右图，ABCD-A1B1C1D1是正四是正四棱柱棱柱.(1)求证：求证：BD平面平面ACC1A1；(2)已知二面角已知二面角C1-BD-C的大小为的大小为600，求异，求异面直线面直线BC1与与AC所成角的余弦值所成角的余弦值.【解法一】【解法一】(1)证明：证明：ABCD-A1B1C1D1是正四棱柱，是正四棱柱，CC1 平面平面ABCD，BD CC1，ABCD是是正方形，正方形，BD AC，又，又 AC、CC1 平面平面ACC1A1，且且AC CC1
15、=C，BD平面平面ACC1A1.【解法一】【解法一】(2)设设BD与与AC相交于相交于O，连结，连结C1O，C1OC是二面角是二面角C1-BD-C的平面角，的平面角，C1OC=600.连结连结A1B，A1C1/AC，A1C1B是异面直线是异面直线BC1与与AC所成的角所成的角.55552cos.22102660tan22111121212111111111101所成角的余弦值为与异面直线，中，由余弦定理得，在，则设ACBCBCCABABCCABCABCAaCAaBCBAaCOCCaCOaBC【解法二】【解法二】向量法：建立直角坐标向量法：建立直角坐标系，写出相关点的坐标，利用夹角公系，写出相关
16、点的坐标，利用夹角公式计算式计算.注意异面直线所成角的范围注意异面直线所成角的范围.【例【例5】在正方体】在正方体ABCD-A1B1C1D1中，中，E、F分别为棱分别为棱AA1，CC1的中点，则在空间中的中点，则在空间中与三条直线与三条直线A1D1，EF，CD都相交的直线都相交的直线()A.不存在不存在 B.有且只有两条有且只有两条 C.有且只有三条有且只有三条 D.有无数条有无数条D【解】本小题主要考查立体几何中空间直线相交问【解】本小题主要考查立体几何中空间直线相交问题，考查学生的空间想象能力题，考查学生的空间想象能力.在在EF上任取一点上任取一点M，直线直线A1D1与与M确定一个平面，这
17、个平面与确定一个平面，这个平面与CD有且仅有且仅有有1个交点个交点N，当，当M取不同的位置就确定不同的平面，取不同的位置就确定不同的平面，从而与从而与CD有不同的交点有不同的交点N，而直线，而直线MN与这与这3条异面条异面直线都有交点的直线都有交点的.如图：如图：【随堂小练】【随堂小练】B1.异面直线异面直线a，b成成800角，角，P为为a，b之外的之外的一个定点，若过一个定点，若过P有且仅有两条直线与有且仅有两条直线与a，b所成的角相等所成的角相等(都等于都等于)()A.|00400 B.|400500 C.|400900 D.|500900 当当00400时这样的直线不存在；当时这样的直线
18、不存在；当=400时仅有一条；当时仅有一条；当=500 时有三条；时有三条；当当500900时有四条时有四条.故选故选B.2.已知正四棱锥已知正四棱锥S-ABCD的侧棱长与底面边的侧棱长与底面边长都相等，长都相等，E是是SB的中点，则的中点，则AE，SD所所成的角的余弦值为成的角的余弦值为()32.33.32.31.DCBAC【作业】【作业】创新设计第三十九创新设计第三十九课时练习作业手册课时练习作业手册 85.每一年，我都更加相信生命的浪费是在于：我们没有献出爱，我们没有使用力量，我们表现出自私的谨慎，不去冒险，避开痛苦，也失去了快乐。约翰B塔布 86.微笑，昂首阔步，作深呼吸，嘴里哼着歌儿
19、。倘使你不会唱歌，吹吹口哨或用鼻子哼一哼也可。如此一来，你想让自己烦恼都不可能。戴尔卡内基 87.当一切毫无希望时，我看着切石工人在他的石头上，敲击了上百次，而不见任何裂痕出现。但在第一百零一次时，石头被劈成两半。我体会到，并非那一击，而是前面的敲打使它裂开。贾柯瑞斯 88.每个意念都是一场祈祷。詹姆士雷德非 89.虚荣心很难说是一种恶行，然而一切恶行都围绕虚荣心而生，都不过是满足虚荣心的手段。柏格森 90.习惯正一天天地把我们的生命变成某种定型的化石，我们的心灵正在失去自由，成为平静而没有激情的时间之流的奴隶。托尔斯泰 91.要及时把握梦想，因为梦想一死，生命就如一只羽翼受创的小鸟，无法飞翔
20、。兰斯顿休斯 92.生活的艺术较像角力的艺术，而较不像跳舞的艺术；最重要的是：站稳脚步，为无法预见的攻击做准备。玛科斯奥雷利阿斯 93.在安详静谧的大自然里，确实还有些使人烦恼.怀疑.感到压迫的事。请你看看蔚蓝的天空和闪烁的星星吧!你的心将会平静下来。约翰纳森爱德瓦兹 94.对一个适度工作的人而言，快乐来自于工作，有如花朵结果前拥有彩色的花瓣。约翰拉斯金 95.没有比时间更容易浪费的,同时没有比时间更珍贵的了，因为没有时间我们几乎无法做任何事。威廉班 96.人生真正的欢欣，就是在于你自认正在为一个伟大目标运用自己；而不是源于独自发光.自私渺小的忧烦躯壳，只知抱怨世界无法带给你快乐。萧伯纳 97
21、.有三个人是我的朋友爱我的人.恨我的人.以及对我冷漠的人。爱我的人教我温柔；恨我的人教我谨慎；对我冷漠的人教我自立。JE丁格 98.过去的事已经一去不复返。聪明的人是考虑现在和未来，根本无暇去想过去的事。英国哲学家培根 99.真正的发现之旅不只是为了寻找全新的景色，也为了拥有全新的眼光。马塞尔普劳斯特 100.这个世界总是充满美好的事物，然而能看到这些美好事物的人，事实上是少之又少。罗丹 101.称赞不但对人的感情，而且对人的理智也发生巨大的作用，在这种令人愉快的影响之下，我觉得更加聪明了，各种想法，以异常的速度接连涌入我的脑际。托尔斯泰 102.人生过程的景观一直在变化，向前跨进，就看到与初
22、始不同的景观，再上前去，又是另一番新的气候。叔本华 103.为何我们如此汲汲于名利，如果一个人和他的同伴保持不一样的速度，或许他耳中听到的是不同的旋律，让他随他所听到的旋律走，无论快慢或远近。梭罗 104.我们最容易不吝惜的是时间，而我们应该最担心的也是时间；因为没有时间的话，我们在世界上什么也不能做。威廉彭 105.人类的悲剧，就是想延长自己的寿命。我们往往只憧憬地平线那端的神奇【违禁词，被屏蔽】，而忘了去欣赏今天窗外正在盛开的玫瑰花。戴尔卡内基 106.休息并非无所事事，夏日炎炎时躺在树底下的草地，听着潺潺的水声，看着飘过的白云，亦非浪费时间。约翰罗伯克 107.没有人会只因年龄而衰老，我
23、们是因放弃我们的理想而衰老。年龄会使皮肤老化，而放弃热情却会使灵魂老化。撒母耳厄尔曼 108.快乐和智能的区别在于：自认最快乐的人实际上就是最快乐的，但自认为最明智的人一般而言却是最愚蠢的。卡雷贝C科尔顿 109.每个人皆有连自己都不清楚的潜在能力。无论是谁，在千钧一发之际，往往能轻易解决从前认为极不可能解决的事。戴尔卡内基 110.每天安静地坐十五分钟倾听你的气息，感觉它，感觉你自己，并且试着什么都不想。艾瑞克佛洛姆 111.你知道何谓沮丧-就是你用一辈子工夫，在公司或任何领域里往上攀爬，却在抵达最高处的同时，发现自己爬错了墙头。坎伯 112.伟大这个名词未必非出现在规模很大的事情不可；生活
24、中微小之处，照样可以伟大。布鲁克斯 113.人生的目的有二：先是获得你想要的；然后是享受你所获得的。只有最明智的人类做到第二点。罗根皮沙尔史密斯 114.要经常听.时常想.时时学习，才是真正的生活方式。对任何事既不抱希望，也不肯学习的人，没有生存的资格。阿萨赫尔帕斯爵士 115.旅行的精神在于其自由，完全能够随心所欲地去思考.去感觉.去行动的自由。威廉海兹利特 116.昨天是张退票的支票，明天是张信用卡，只有今天才是现金；要善加利用。凯里昂 117.所有的财富都是建立在健康之上。浪费金钱是愚蠢的事，浪费健康则是二级的谋杀罪。BC福比斯 118.明知不可而为之的干劲可能会加速走向油尽灯枯的境地，
25、努力挑战自己的极限固然是令人激奋的经验，但适度的休息绝不可少，否则迟早会崩溃。迈可汉默 119.进步不是一条笔直的过程，而是螺旋形的路径，时而前进，时而折回，停滞后又前进，有失有得，有付出也有收获。奥古斯汀 120.无论那个时代，能量之所以能够带来奇迹，主要源于一股活力，而活力的核心元素乃是意志。无论何处，活力皆是所谓“人格力量”的原动力，也是让一切伟大行动得以持续的力量。史迈尔斯 121.有两种人是没有什么价值可言的：一种人无法做被吩咐去做的事，另一种人只能做被吩咐去做的事。CHK寇蒂斯 122.对于不会利用机会的人而言，机会就像波浪般奔向茫茫的大海，或是成为不会孵化的蛋。乔治桑 123.未
26、来不是固定在那里等你趋近的，而是要靠你创造。未来的路不会静待被发现，而是需要开拓，开路的过程，便同时改变了你和未来。约翰夏尔 124.一个人的年纪就像他的鞋子的大小那样不重要。如果他对生活的兴趣不受到伤害，如果他很慈悲，如果时间使他成熟而没有了偏见。道格拉斯米尔多 125.大凡宇宙万物，都存在着正、反两面，所以要养成由后面.里面，甚至是由相反的一面，来观看事物的态度。老子 126.在寒冷中颤抖过的人倍觉太阳的温暖，经历过各种人生烦恼的人，才懂得生命的珍贵。怀特曼 127.一般的伟人总是让身边的人感到渺小；但真正的伟人却能让身边的人认为自己很伟大。G.K.Chesteron 128.医生知道的事如此的少，他们的收费却是如此的高。马克吐温 129.问题不在于：一个人能够轻蔑、藐视或批评什么，而是在于：他能够喜爱、看重以及欣赏什么。约翰鲁斯金
