1、第七章 立体几何知识点知识点考纲下载考纲下载考情上线考情上线空间几何空间几何体的结构体的结构及三视图及三视图和直观图和直观图1.认识柱、锥、台、球及其简单组认识柱、锥、台、球及其简单组 合体的结构特征，并能运用这些合体的结构特征，并能运用这些 特征描述现实生活中简单物体的特征描述现实生活中简单物体的 结构结构.2.能画出简单空间图形能画出简单空间图形(长方体、长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易 组合组合)的三视图，能识别上述的的三视图，能识别上述的三三 视图所表示的立体模型，会用斜视图所表示的立体模型，会用斜 二测画法画出它们的直观图二测画法画出它们的直观图.3.
2、会用平行投影与中心投影两种方会用平行投影与中心投影两种方 法画出简单空间图形的三视图与法画出简单空间图形的三视图与 直观图，了解空间图形的不同表直观图，了解空间图形的不同表 示形式示形式.4.会画某些建筑物的三视图与直观会画某些建筑物的三视图与直观 图图(在不影响图形特征的基础上，在不影响图形特征的基础上，尺寸、线条等不作严格要求尺寸、线条等不作严格要求).1.柱、锥、台、球及简单几柱、锥、台、球及简单几 何体的直观图、三视图是何体的直观图、三视图是 考查的热点考查的热点.主要考查由几主要考查由几 何体判断三视图，以及由何体判断三视图，以及由 三视图还原几何体，多与三视图还原几何体，多与 面积
3、、体积的计算相结面积、体积的计算相结 合，重在考查空间几何体合，重在考查空间几何体的的 认识及空间想象能力认识及空间想象能力.2.以选择、填空为主，有时以选择、填空为主，有时 在解答题中涉及三视图问题在解答题中涉及三视图问题.知识点知识点考纲下载考纲下载考情上线考情上线空间几何空间几何体的表面体的表面积与体积积与体积了解球、柱体、锥体、台了解球、柱体、锥体、台体的表面积和体积的计算体的表面积和体积的计算公式公式.(不要求记忆公式不要求记忆公式)多与三视图相结多与三视图相结合考查，重点是合考查，重点是与球有关的组合与球有关的组合体问题体问题.知识点知识点考纲下载考纲下载考情上线考情上线 点、线、
4、点、线、面的位置面的位置关系关系1.理解空间直线、平面位理解空间直线、平面位 置置 关系的定义关系的定义.2.了解可以作为推理依据了解可以作为推理依据 的公理和定理的公理和定理.3.能运用公理、定理和已能运用公理、定理和已 获得的结论证明一些空获得的结论证明一些空 间图形的位置关系的简间图形的位置关系的简 单命题单命题.1.点、线、面的位点、线、面的位 置关系是立体几何置关系是立体几何 推理、证明、计算推理、证明、计算 的基础，多融合平的基础，多融合平 行、垂直进行考查行、垂直进行考查.2.对于异面直线的定对于异面直线的定 义是考查的重点义是考查的重点.知识点知识点考纲下载考纲下载考情上线考情
5、上线线、面线、面平行的平行的判定与判定与性质性质以立体几何的定以立体几何的定义、公理和定理义、公理和定理为出发点，认识为出发点，认识和理解空间中线和理解空间中线面平行的判定定面平行的判定定理与有关性质理与有关性质.1.在客观题中，多以符号语言在客观题中，多以符号语言与与 逻辑推理的形式考查命题的逻辑推理的形式考查命题的真真 假判断，往往结合垂直关系假判断，往往结合垂直关系.2.在解答题中考查线线、线面、在解答题中考查线线、线面、面面平行的证明面面平行的证明.知识点知识点考纲下载考纲下载考情上线考情上线线、面线、面垂直的垂直的判定与判定与性质性质以立体几何的定以立体几何的定义、公理和定理义、公理
6、和定理为出发点，认识为出发点，认识和理解空间中线和理解空间中线面垂直的判定定面垂直的判定定理与有关性质理与有关性质.1.在客观题中，多考查与垂在客观题中，多考查与垂 直有关的命题真假的判断直有关的命题真假的判断.2.在解答题中考查线线、线在解答题中考查线线、线 面、面面垂直的证明面、面面垂直的证明.知识点知识点考纲下载考纲下载考情上线考情上线空间向量空间向量及其运算及其运算理理1.了解空间向量的概念，了解了解空间向量的概念，了解 空间向量的基本定理及其意空间向量的基本定理及其意 义，掌握空间向量的正交分义，掌握空间向量的正交分 解及其坐标表示解及其坐标表示.2.掌握空间向量的线性运算及掌握空间
7、向量的线性运算及 其坐标表示其坐标表示.3.掌握空间向量的数量积及其掌握空间向量的数量积及其 坐标表示，能运用向量的数坐标表示，能运用向量的数 量积判断向量的共线与垂直量积判断向量的共线与垂直.1.空间向量的坐标空间向量的坐标 表示是用空间向表示是用空间向 量解决空间平行量解决空间平行 垂直、夹角的问垂直、夹角的问 题的基础题的基础.2.用数量积解决空用数量积解决空 间的垂直问题是间的垂直问题是 考试的热点考试的热点.知识点知识点考纲下载考纲下载考情上线考情上线空间向空间向量与立量与立体几何体几何理理1.理解直线的方向向量与平理解直线的方向向量与平 面的法向量面的法向量.2.能用向量语言表述直
8、线与能用向量语言表述直线与 直线、直线与平面、平面直线、直线与平面、平面 与平面的垂直、平行关系与平面的垂直、平行关系.3.能用向量方法证明有关直能用向量方法证明有关直 线和平面位置关系的一些线和平面位置关系的一些 定理定理(包括三垂线定理包括三垂线定理).4.能用向量方法解决直线与能用向量方法解决直线与 直线、直线与平面、平面直线、直线与平面、平面 与平面的夹角的计算问题，与平面的夹角的计算问题，了解向量方法在研究几何了解向量方法在研究几何 问题中的作用问题中的作用.空间向量是解决立体几何问题空间向量是解决立体几何问题的一个重要工具，一般不单独的一个重要工具，一般不单独命题，自从在新课标中引
9、入空命题，自从在新课标中引入空间向量后，高考对空间向量的间向量后，高考对空间向量的考查一直在逐步加大，它越来考查一直在逐步加大，它越来越成为高考的一个热点内容越成为高考的一个热点内容.空空间向量在立体几何中的应用主间向量在立体几何中的应用主要包括利用空间向量证明平行要包括利用空间向量证明平行与垂直等位置关系，求线线、与垂直等位置关系，求线线、线面、面面所成的角以及解决线面、面面所成的角以及解决立体几何中的探索性问题立体几何中的探索性问题.第一节 空间几何和结构特征以及三视图和直观图一、空间几何体的结构特征一、空间几何体的结构特征多面体多面体(1)棱柱的侧棱都棱柱的侧棱都 ，上下底面是，上下底面
10、是 的多边形的多边形.(2)棱锥的底面是任意多边形，侧面是有一个棱锥的底面是任意多边形，侧面是有一个 的三角形的三角形.(3)棱台可由棱台可由 的平面截棱锥得到，的平面截棱锥得到，其上下底面是其上下底面是 多边形多边形.平行且相等平行且相等全等全等公共点公共点平行于棱锥底面平行于棱锥底面相似相似旋转体旋转体(1)圆柱可以由圆柱可以由 绕其任一边旋转得到绕其任一边旋转得到.(2)圆锥可以由直角三角形绕其圆锥可以由直角三角形绕其 旋转得到旋转得到.(3)圆台可以由直角梯形绕圆台可以由直角梯形绕 或等腰梯形绕或等腰梯形绕 旋转得到，也可由旋转得到，也可由 的平面截圆锥得到的平面截圆锥得到.(4)球可
11、以由半圆或圆绕球可以由半圆或圆绕 旋转得到旋转得到.矩形矩形直角边直角边直角腰直角腰上下底中点连线上下底中点连线平行于棱椎底面平行于棱椎底面直径直径二、三视图与直观图二、三视图与直观图三视图三视图空间几何体的三视图是用空间几何体的三视图是用 得到的，这种投得到的，这种投影下与投影面平行的平面图形留下的影子与平面影下与投影面平行的平面图形留下的影子与平面图形的形状和大小是图形的形状和大小是 的，三视图包的，三视图包括括 、.正投影正投影完全相同完全相同正视图正视图 侧视图侧视图 俯视图俯视图直观图直观图空间几何体的直观图常用空间几何体的直观图常用 画法来画，基本步画法来画，基本步骤是：骤是：(1
12、)画几何体的底面画几何体的底面 在已知图形中取互相垂直的在已知图形中取互相垂直的x轴、轴、y轴，两轴相轴，两轴相 交于点交于点O，画直观图时，把它们画成对应的，画直观图时，把它们画成对应的x 轴、轴、y轴，两轴相交于点轴，两轴相交于点O，且使，且使xOy ，已知图形中平行于，已知图形中平行于x轴的线段，轴的线段，在直观图中长度在直观图中长度 ，平行于，平行于y轴的线段，轴的线段，长度变为长度变为 .斜二测斜二测45(或或135)保持不变保持不变原来的一半原来的一半直观图直观图(2)画几何体的高画几何体的高 在已知图形中过在已知图形中过O点作点作z轴垂直轴垂直于于xOy平面，在平面，在 直观图中
13、对应的直观图中对应的z轴，也垂直于轴，也垂直于xOy平面，已平面，已 知图形中平行于知图形中平行于z轴的线段，在直观图中仍平行轴的线段，在直观图中仍平行 于于z轴且长度轴且长度 .不变不变空间几何体的三视图和直观图在观察角度上有空间几何体的三视图和直观图在观察角度上有什么区别？什么区别？提示：提示：观察直角：三视图是从三个不同位置观观察直角：三视图是从三个不同位置观察几何体而画出的图形；直观图是从某一点观察几何体而画出的图形；直观图是从某一点观察几何体而画出的图形察几何体而画出的图形.1.三视图如图的几何体是三视图如图的几何体是 ()A.三棱锥三棱锥B.四棱锥四棱锥C.四棱台四棱台D.三棱台三
14、棱台解析：解析：由三视图知，该几何体是四棱锥，且其中一条棱由三视图知，该几何体是四棱锥，且其中一条棱与底面垂直与底面垂直.答案：答案：B2.如图，几何体的正视图和侧视图都正确的是如图，几何体的正视图和侧视图都正确的是 ()解析：解析：侧视时，看到一个矩形且不能有实对角线，故侧视时，看到一个矩形且不能有实对角线，故A、D排除，而正视时，应该有一条实对角线，且其对角线位置排除，而正视时，应该有一条实对角线，且其对角线位置应为应为B中所示中所示.答案：答案：B3.下列结论正确的是下列结论正确的是 ()A.各个面都是三角形的几何体是三棱锥各个面都是三角形的几何体是三棱锥 B.以三角形的一条边所在直线为
15、旋转轴，其余两边旋转形以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形 成的曲面所围成的几何体叫圆锥成的曲面所围成的几何体叫圆锥 C.棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则该棱锥可能棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则该棱锥可能 是正六棱锥是正六棱锥 D.圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线解析：解析：A错误错误.如图如图(1)所示，由两个结构相同的三棱锥叠放在所示，由两个结构相同的三棱锥叠放在一起构成的几何体，各面都是三角形，但它不是棱锥一起构成的几何体，各面都是三角形，但它不是棱锥.B错误错误.如图如图(2)、(3)所示，若所示，若
16、ABC不是直角三角形，或是直不是直角三角形，或是直角三角形但旋转轴不是直角边，所得的几何体都不是圆锥角三角形但旋转轴不是直角边，所得的几何体都不是圆锥.C错误错误.若六棱锥的所有棱都相等，则底面多边形是正六边形若六棱锥的所有棱都相等，则底面多边形是正六边形.由几何图形知，若以正六边形为底面，侧棱长必然要大于底由几何图形知，若以正六边形为底面，侧棱长必然要大于底面边长面边长.D正确正确.答案：答案：D4.如图所示为长方体木块堆成的几何体的三视图，此几何体如图所示为长方体木块堆成的几何体的三视图，此几何体 共由共由块木块堆成块木块堆成.解析：解析：由三视图知，由由三视图知，由4块木块木块组成块组成
17、.答案：答案：45.如图，矩形如图，矩形OABC是水平放置的一个平面图形的直是水平放置的一个平面图形的直 观图，其中观图，其中OA6 cm，OC2 cm，则原图形的形，则原图形的形 状是状是.解析：解析：将直观图还原得将直观图还原得 OABC，则则OD OC2 cm，OD2OD4 cm，CDOC2 cm，CD2 cm，OCOAOA6 cmOC，故原图形为菱形，故原图形为菱形.答案：答案：菱形菱形=2 cm,1.几种特殊的四棱柱几种特殊的四棱柱 平行六面体、长方体、正方体、直四棱柱等都是一些特殊平行六面体、长方体、正方体、直四棱柱等都是一些特殊 的四棱柱，要特别注意的四棱柱，要特别注意.(1)直
18、四棱柱不一定是直平行六面体直四棱柱不一定是直平行六面体.(2)正四棱柱不一定是正方体正四棱柱不一定是正方体.(3)长方体不一定是正四棱柱长方体不一定是正四棱柱.2.几种常见的多面体的结构特征几种常见的多面体的结构特征 (1)直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱.特别地，当底面是正多特别地，当底面是正多 边形时，叫正棱柱边形时，叫正棱柱(如正三棱柱，正四棱柱如正三棱柱，正四棱柱).(2)正棱锥：指的是底面是正多边形，且顶点在底面的射影正棱锥：指的是底面是正多边形，且顶点在底面的射影 是底面中心的棱锥是底面中心的棱锥.特别地，各条棱均相等的正三棱锥又叫特别地，各条棱均相等的正三
19、棱锥又叫 正四面体正四面体.(3)平行六面体：指的是底面为平行四边形的四棱柱平行六面体：指的是底面为平行四边形的四棱柱.平面内的一个四边形为平行四边形的充要条件有平面内的一个四边形为平行四边形的充要条件有多个，如两组对边分别平行，类似地，写出空间中的一个多个，如两组对边分别平行，类似地，写出空间中的一个四棱柱为平行六面体的两个充要条件：四棱柱为平行六面体的两个充要条件：充要条件充要条件 ；充要条件充要条件 .(写出你认为正确的两个充要条件写出你认为正确的两个充要条件)利用类比推理中利用类比推理中“线与面线与面”类比类比.再进行验证其再进行验证其正确性正确性.【解】【解】两组相对侧面分别平行两组
20、相对侧面分别平行一组相对侧面平行且全等一组相对侧面平行且全等对角线交于一点且互相平分对角线交于一点且互相平分底面是平行四边形底面是平行四边形.任选两个即可任选两个即可.1.设有四个命题：设有四个命题：底面是矩形的平行六面体是长方体；底面是矩形的平行六面体是长方体；棱长相等的直四棱柱是正方体；棱长相等的直四棱柱是正方体；有两条侧棱都垂直于底面一边的平行六面体是直平行有两条侧棱都垂直于底面一边的平行六面体是直平行 六面体；六面体；对角线相等的平行六面体是直平行六面体对角线相等的平行六面体是直平行六面体.以上四个命题中，真命题的个数是以上四个命题中，真命题的个数是 ()A.1 B.2 C.3 D.4
21、解析：解析：命题命题不是真命题，因为底面是矩形，若侧棱不垂直不是真命题，因为底面是矩形，若侧棱不垂直于底面，这时四棱柱仍然是斜平行六面体于底面，这时四棱柱仍然是斜平行六面体.命题命题不是真命不是真命题，若底面是菱形，底面边长与侧棱长相等的直四棱柱不是题，若底面是菱形，底面边长与侧棱长相等的直四棱柱不是正方体正方体.命题命题也不是真命题，因为有两条侧棱垂直于底面也不是真命题，因为有两条侧棱垂直于底面一边，这时两个相对的侧面是矩形，但是不能推出侧棱与底一边，这时两个相对的侧面是矩形，但是不能推出侧棱与底面垂直面垂直.命题命题是真命题，由对角线相等，可得出平行六面是真命题，由对角线相等，可得出平行六
22、面体的对角面是矩形，从而推得侧棱与底面垂直，这个平行六体的对角面是矩形，从而推得侧棱与底面垂直，这个平行六面体是直平行六面体面体是直平行六面体.答案：答案：A1.三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的正前三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的正前 方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线.画三视图的画三视图的 基本要求是：正俯一样长，俯侧一样宽，正侧一样高基本要求是：正俯一样长，俯侧一样宽，正侧一样高.2.由三视图想象几何体特征时要根据由三视图想象几何体特征时要根据“长对正、宽相等、高长对正、宽相等、高平平 齐齐”的基本原则的基本原则.【
23、注意】【注意】严格按排列规则放置三视图严格按排列规则放置三视图.并用虚线标出长并用虚线标出长宽高的关系宽高的关系.有利于准确把握几何体的结构特征有利于准确把握几何体的结构特征.3.对于简单几何体的组合体，在画其三视图时，首先应分对于简单几何体的组合体，在画其三视图时，首先应分 清它是由哪些简单几何体组成的，然后再画出其三视图清它是由哪些简单几何体组成的，然后再画出其三视图.(2009福建高考福建高考)如下图，某几何体的正视图与侧如下图，某几何体的正视图与侧视图都是边长为视图都是边长为1的正方形，且体积为的正方形，且体积为 ，则该几何体的，则该几何体的俯视图可以是俯视图可以是 ()(1)利用体积
24、与几何体的高先计算出底面积再进利用体积与几何体的高先计算出底面积再进行判断；行判断；(2)排除法排除法.【解析】法一：【解析】法一：体积为体积为 ，而高为，而高为1，故底面积为，故底面积为 ，选选C.法二：法二：选项选项A得到的几何体为正方体，其体积为得到的几何体为正方体，其体积为1，故排除，故排除A；而选项而选项B、D所得几何体的体积都与所得几何体的体积都与有关，排除有关，排除B、D；易知选；易知选项项C符合符合.【答案】【答案】C 2.(2009广州模拟广州模拟)如图所示的图形是由若干个小正方体所叠如图所示的图形是由若干个小正方体所叠 成的几何体的侧视图与俯视图，其中俯视图的小正方形中成的
25、几何体的侧视图与俯视图，其中俯视图的小正方形中 的数字表示该几何体在同一位置上叠放的小正方体的个数，的数字表示该几何体在同一位置上叠放的小正方体的个数，则这个几何体的正视图是则这个几何体的正视图是 ()解析：解析：从俯视图可看出，该几何体从右到左能分别看到从俯视图可看出，该几何体从右到左能分别看到3、2、1块小正方体块小正方体.答案：答案：A1.用斜二测画法画出的平面图形的直观图的面积用斜二测画法画出的平面图形的直观图的面积S与原平与原平 面图形的面积面图形的面积S之间的关系是之间的关系是S=2.对于图形中与对于图形中与x轴、轴、y轴、轴、z轴都不平行的线段，可通过确轴都不平行的线段，可通过确
26、 定端点的办法来解决，即过端点作坐标轴的平行线段，再定端点的办法来解决，即过端点作坐标轴的平行线段，再 借助所作的平行线段确定端点在直观图中的位置借助所作的平行线段确定端点在直观图中的位置.(2019扬州模拟扬州模拟)用斜二测画法画一个水平放置的用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的一个正方形，则原来的图平面图形的直观图为如图所示的一个正方形，则原来的图形是形是 ()根据斜二测画法规则去判断根据斜二测画法规则去判断.【解析】【解析】由直观图可知，在直观图中多边形为正方形，由直观图可知，在直观图中多边形为正方形，对角线长为对角线长为 ，所以原图形为平行四边形，位于，所以原图形为
27、平行四边形，位于y轴上的对轴上的对角线长为角线长为2 .【答案】【答案】A3.本例中的条件不变，求原平面图形的面积本例中的条件不变，求原平面图形的面积.解：解：由该例解法知，原平面图形是边长为由该例解法知，原平面图形是边长为1，高为，高为2 的的平行四边形，平行四边形，面积面积S12 2 .三视图是新课标中新增加的内容，对考生要求较低，三视图是新课标中新增加的内容，对考生要求较低，一般不会直接考查作图，但经常会与立体几何中有关的计算一般不会直接考查作图，但经常会与立体几何中有关的计算问题融合在一起，如面积、体积的计算，从而考查考生的空问题融合在一起，如面积、体积的计算，从而考查考生的空间想象能
28、力，因此要对常见的几何体的三视图有所理解，并间想象能力，因此要对常见的几何体的三视图有所理解，并能够进行识别和判断能够进行识别和判断.2009年山东卷巧妙地利用组合考查了年山东卷巧妙地利用组合考查了由三视图还原几何体及体段的计算由三视图还原几何体及体段的计算.(2009山东高考山东高考)一空间几何体的三视图如图所示，则该几何一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为体的体积为 ()A.2 D.4 C.2 B.4 解析解析由几何体的三视图可知，该几何体是由一个底面直由几何体的三视图可知，该几何体是由一个底面直径和高都是径和高都是2的圆柱和一个底面边长为的圆柱和一个底面边长为 ，侧棱长为，侧
29、棱长为2的正的正四棱锥叠放而成四棱锥叠放而成.故该几何体的体积为故该几何体的体积为答案答案C22211(2)33223.3V 求组合体的体积关键是认清它的基本结构，分别求解，同学求组合体的体积关键是认清它的基本结构，分别求解，同学们思考一下，若将本题中的俯视图改为如图形式，其体积又们思考一下，若将本题中的俯视图改为如图形式，其体积又是多少？是多少？cK8H5E2A+x*u$rZnWkThPeMaJ7G4C1z-w&t!pYmVjRgOdL9I6E3B0y(v%s#oXlTiQfNbK8H5D2A+x*u$qZnWkShPeMaJ7F4C1z)w&t!pYmUjRgOcL9I6E3B+y(v%r
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