1、3.3.3点到直线的距离3.3.4两条平行直线间的距离主题主题1 1点到直线的距离点到直线的距离1.1.在直角坐标系中，若在直角坐标系中，若P(xP(x0 0，y y0 0)，则，则P P到直线到直线l：Ax+By+C=0Ax+By+C=0的距离是不是点的距离是不是点P P到直线到直线l的垂线段的长度？的垂线段的长度？提示：提示：是是.2.2.若已知直线若已知直线l的方程和点的方程和点P P的坐标的坐标(x(x0 0，y y0 0)，如何求，如何求P P到直线到直线l的距离？的距离？提示：提示：过点过点P P作直线作直线ll，垂足为，垂足为Q Q，|PQ|PQ|即为所求，即为所求，直线直线l的
2、斜率为的斜率为k k，则，则l的斜率为的斜率为-，所以所以l的方程为的方程为y-yy-y0 0=-(x-x=-(x-x0 0)，联立，联立l，l的方程的方程组，解出组，解出Q Q点坐标，利用两点间距离公式求出点坐标，利用两点间距离公式求出|PQ|.|PQ|.1k1k3.23.2的方法可行但计算量大，还有没有另外的思路？的方法可行但计算量大，还有没有另外的思路？提示：提示：如图，构造如图，构造RtRtP P0 0RSRS，分别求出，分别求出|P|P0 0R|R|，|P|P0 0S|S|及及|RS|RS|然后用等面积转化法求然后用等面积转化法求d.d.结论：点结论：点P P0 0(x(x0 0，y
3、 y0 0)到直线到直线l：Ax+By+C=0Ax+By+C=0的距离公式：的距离公式：d=_.d=_.0022AxByCAB【对点训练】【对点训练】若点若点(1(1，a)a)到直线到直线x-y+1=0 x-y+1=0的距离是的距离是 ，则实数，则实数a a为为 ()A.-1 B.5A.-1 B.5C.-1C.-1或或5 5 D.-3 D.-3或或3 33 22【解析】【解析】选选C.C.由点到直线的距离公式得由点到直线的距离公式得 所以所以a=-1a=-1或或5.5.|1a1|3 222，主题主题2 2平行线间的距离平行线间的距离1.1.若过若过P(xP(x0 0，y y0 0)的直线的直线
4、l与与l：Ax+By+C=0Ax+By+C=0平行，那么平行，那么点点P P到到l的距离与的距离与l与与l的距离相等吗？的距离相等吗？提示：提示：相等相等.2.2.怎样求两平行直线怎样求两平行直线l1 1：Ax+By+CAx+By+C1 1=0=0，l2 2：Ax+By+CAx+By+C2 2=0=0间的距离？间的距离？提示：提示：先在其中一条直线上任取一点先在其中一条直线上任取一点P P，然后求点，然后求点P P到到另一条直线的距离另一条直线的距离d d，d d即为两平行直线间的距离即为两平行直线间的距离.结论：结论：两条平行直线两条平行直线l1 1：Ax+By+CAx+By+C1 1=0=
5、0与与l2 2：Ax+By+CAx+By+C2 2=0=0间的距间的距离公式：离公式：d=_.d=_.1222CCAB【对点训练】【对点训练】1.1.直线直线y=2xy=2x与与y=2x+4y=2x+4的距离等于的距离等于()54 54A.4 5B.C.D.555【解析】【解析】选选C.C.两直线化为一般式即两直线化为一般式即2x-y=02x-y=0与与2x-y+4=02x-y+4=0，由两平行线间距离公式得由两平行线间距离公式得 22|40|4 5d.52(1)2.2.已知已知l1 1：x-y+1=0 x-y+1=0，l2 2：x-y-1=0 x-y-1=0，则，则l1 1与与l2 2之间的
6、距离之间的距离为为_._.【解析】解析】由题意知两直线平行，由题意知两直线平行，所以所以d=d=答案：答案：1222CCAB22112.11 2类型一点到直线的距离类型一点到直线的距离【典例【典例1 1】(1)(1)若点若点A(-3A(-3，-4)-4)，B(6B(6，3)3)到直线到直线l：ax+y+1=0ax+y+1=0的距离相等，则实数的距离相等，则实数a a的值为的值为()717171A.B.C.D.939393或或(2)(2)求垂直于直线求垂直于直线x+3y-5=0 x+3y-5=0，且与点，且与点P(-1P(-1，0)0)的距离的距离是是 的直线的直线l的方程的方程.3105【解题
7、指南】【解题指南】(1)(1)利用点到直线的距离公式建立方程求利用点到直线的距离公式建立方程求解解.(2)(2)先根据垂直直线系设出先根据垂直直线系设出l的方程，然后利用点到直的方程，然后利用点到直线的距离公式求出相应的参数即可线的距离公式求出相应的参数即可.【解析】【解析】(1)(1)选选C.C.由点到直线的距离公式得由点到直线的距离公式得 解得解得a=-a=-或或a=-.a=-.(2)(2)设与直线设与直线x+3y-5=0 x+3y-5=0垂直的直线的方程为垂直的直线的方程为3x-y+m=03x-y+m=0，则由点到直线的距离公式知：则由点到直线的距离公式知：2|3a41|a113792|
8、6a3 1|a1，22|310m|m3|3d10.51031 所以所以|m-3|=6|m-3|=6，即即m-3=m-3=6 6，得，得m=9m=9或或m=-3m=-3，故所求直线故所求直线l的方程为的方程为3x-y+9=03x-y+9=0或或3x-y-3=0.3x-y-3=0.【延伸探究】【延伸探究】1.1.若将例若将例(2)(2)中条件中条件“垂直于直线垂直于直线x+3y-x+3y-5=0”5=0”换为换为“平行于直线平行于直线x+3y-5=0”x+3y-5=0”，其他条件不变，其他条件不变，结论又如何呢？结论又如何呢？【解析】【解析】设直线的方程为设直线的方程为x+3y+C=0(C-5)x
9、+3y+C=0(C-5)，则由点到，则由点到直线的距离公式知直线的距离公式知 故故|C-1|=6.|C-1|=6.所以所以C=7C=7或或C=-5(C=-5(舍去舍去).).故所求直线方程为故所求直线方程为x+3y+7=0.x+3y+7=0.22|1 3 0C|C 1|3 10d51013 ，2.2.本例本例(2)(2)条件不变，试求直线条件不变，试求直线l与坐标轴围成的三角与坐标轴围成的三角形的面积形的面积.【解析】【解析】由本例由本例(2)(2)解析知直线解析知直线l的方程为的方程为3x-y+9=03x-y+9=0或或3x-y-3=03x-y-3=0，若直线，若直线l的方程为的方程为3x-
10、y+9=03x-y+9=0时，化成截距式时，化成截距式为为 =1=1，因此直线，因此直线l与坐标轴围成的三角形面积与坐标轴围成的三角形面积为为S=S=当直线当直线l的方程为的方程为3x-y-3=03x-y-3=0时，化时，化成截距式为成截距式为x+=1x+=1，因此直线，因此直线l与坐标轴围成的三角与坐标轴围成的三角形面积为形面积为S=S=xy3912739.22 y31313.22 【方法总结】【方法总结】点到直线的距离的求解方法点到直线的距离的求解方法(1)(1)求点到直线的距离时，只需把直线方程化为一般式，求点到直线的距离时，只需把直线方程化为一般式，直接利用点到直线的距离公式即可直接利
11、用点到直线的距离公式即可.(2)(2)若已知点到直线的距离求参数值时，只需根据点到若已知点到直线的距离求参数值时，只需根据点到直线的距离公式列出关于参数的方程即可直线的距离公式列出关于参数的方程即可.【跟踪训练】【跟踪训练】求过点求过点A(-1A(-1，2)2)，且与原点的距离等于，且与原点的距离等于 的直线方程的直线方程.22【解析】【解析】由题意知，直线由题意知，直线l的斜率存在的斜率存在.因为所求直线方程过点因为所求直线方程过点A(-1A(-1，2)2)，所以由题意可设直线方程为所以由题意可设直线方程为y-2=k(x+1)y-2=k(x+1)，即即kx-y+k+2=0kx-y+k+2=0
12、，又原点到直线的距离等于又原点到直线的距离等于 ，22所以所以解得解得k=-7k=-7或或k=-1.k=-1.故直线方程为故直线方程为x+y-1=0 x+y-1=0或或7x+y+5=0.7x+y+5=0.2k2221k，类型二两平行线间的距离类型二两平行线间的距离【典例【典例2 2】已知直线已知直线3x+4y-3=03x+4y-3=0与直线与直线6x+my+14=06x+my+14=0平行，平行，则它们之间的距离是则它们之间的距离是_._.【解析】【解析】由题意知由题意知 解得解得m=8m=8，所以直线方程为所以直线方程为6x+8y+14=06x+8y+14=0，即即3x+4y+7=03x+4
13、y+7=0，d=d=答案：答案：2 2346m，22372.34【方法总结】【方法总结】处理平行直线间距离问题的两种方法处理平行直线间距离问题的两种方法(1)(1)转化为点到直线的距离转化为点到直线的距离.(2)(2)当两条直线的方程均为一般式方程，且当两条直线的方程均为一般式方程，且x x，y y系数对系数对应相等时，可直接应用公式应相等时，可直接应用公式d=d=求解求解.1222CCAB【跟踪训练】【跟踪训练】1.1.点点A(1A(1，3)3)，B(5B(5，-2)-2)，点，点P P在在x x轴上使轴上使|AP|-|BP|AP|-|BP|最最大，则大，则P P的坐标为的坐标为()A.(4
14、A.(4，0)0)B.(13 B.(13，0)0)C.(5C.(5，0)0)D.(1 D.(1，0)0)【解析】【解析】选选B.B.如图，作出点如图，作出点A(1A(1，3)3)关于关于x x轴对称的点轴对称的点A(1A(1，-3)-3)，则，则|PA|-|PB|=|PA|-|PB|AB|PA|-|PB|=|PA|-|PB|AB|，当且仅当点当且仅当点P P在在ABAB的延长线上时，取等号的延长线上时，取等号.由两点式可得直线由两点式可得直线ABAB的方程为：的方程为：y=y=令令y=0y=0得得x=13x=13，所以点所以点P P的坐标为的坐标为(13(13，0).0).113x.442.2
15、.点点P(1P(1，-1)-1)到直线到直线x-y+1=0 x-y+1=0的距离是的距离是_._.【解析】解析】P(1P(1，-1)-1)到直线到直线x-y+1=0 x-y+1=0的距离是的距离是 答案：答案：1 1 13 2.22 3 22【补偿训练】【补偿训练】若直线若直线m m被两平行线被两平行线l1 1：x-y+1=0 x-y+1=0与与l2 2：x-y+3=0 x-y+3=0所截得所截得的线段的长为的线段的长为2 2 ，则直线，则直线m m的倾斜角为的倾斜角为_._.2【解析】【解析】两平行线间的距离为两平行线间的距离为 直线直线m m被平行被平行线截得线段的长为线截得线段的长为2
16、2 ，可得直线可得直线m m和两平行线的夹角为和两平行线的夹角为3030.由于两条平行线的倾斜角为由于两条平行线的倾斜角为4545，故直线，故直线m m的倾斜角的倾斜角为为1515或或7575，答案：答案：1515或或75751 322，2类型三距离公式的综合应用类型三距离公式的综合应用【典例【典例3 3】已知直线已知直线l经过直线经过直线l1 1：2x+y-5=02x+y-5=0与与l2 2：x-x-2y=02y=0的交点的交点.(1)(1)若点若点A(5A(5，0)0)到到l的距离为的距离为3 3，求，求l的方程的方程.(2)(2)求点求点A(5A(5，0)0)到到l的距离的最大值的距离的
17、最大值.【解题指南】【解题指南】(1)(1)利用过两条直线交点的直线系方程设利用过两条直线交点的直线系方程设出直线出直线l的方程，再利用点到直线的距离即可的方程，再利用点到直线的距离即可.(2)(2)求出求出l1 1与与l2 2的交点坐标的交点坐标P P，当直线，当直线lPAPA时，点时，点A A到到l的的距离最大距离最大.【解析】【解析】(1)(1)经过两已知直线交点的直线系方程为经过两已知直线交点的直线系方程为(2x+y-5)+(x-2y)=0(2x+y-5)+(x-2y)=0，即，即(2+)x+(1-2)y-5=0(2+)x+(1-2)y-5=0，因为点因为点A(5A(5，0)0)到到l
18、的距离为的距离为3 3，所以所以 22|1055|3,(2)(1 2)即即222 2-5+2=0-5+2=0，所以所以=2=2，或，或=，所以所以l的方程为的方程为x=2x=2或或4x-3y-5=0.4x-3y-5=0.(2)(2)由由 解得交点解得交点P(2P(2，1)1)，122xy50,x2y0,如图，过如图，过P P作任一直线作任一直线l，设设d d为点为点A A到到l的距离，则的距离，则d|PA|(d|PA|(当当lPAPA时等号成立时等号成立).).所以所以d dmaxmax=|PA|=|PA|=22(52)(0 1)10.【方法总结】【方法总结】常见的距离公式应用问题的解题策略常
19、见的距离公式应用问题的解题策略(1)(1)最值问题最值问题利用对称转化为两点之间的距离问题利用对称转化为两点之间的距离问题.利用所求式子的几何意义转化为点到直线的距离利用所求式子的几何意义转化为点到直线的距离.利用距离公式将问题转化为一元二次函数的最值问利用距离公式将问题转化为一元二次函数的最值问题，通过配方求最值题，通过配方求最值.(2)(2)求参数问题：利用距离公式建立关于参数的方程或求参数问题：利用距离公式建立关于参数的方程或方程组，通过解方程或方程组求值方程组，通过解方程或方程组求值.(3)(3)求方程问题：立足确定直线的几何要素求方程问题：立足确定直线的几何要素点和方点和方向，利用直
20、线方程的各种形式，结合直线的位置关系向，利用直线方程的各种形式，结合直线的位置关系(平行直线系、垂直直线系及过交点的直线系平行直线系、垂直直线系及过交点的直线系)，巧设，巧设直线方程，在此基础上借助距离公式求解直线方程，在此基础上借助距离公式求解.【跟踪训练】【跟踪训练】一直线一直线l过点过点P(-5P(-5，-4).-4).(1)(1)与两坐标轴围成的三角形面积为与两坐标轴围成的三角形面积为5 5，求此直线方程，求此直线方程.(2)(2)与原点的距离等于与原点的距离等于5 5的直线方程的直线方程.【解析】【解析】(1)(1)由题意，得直线由题意，得直线l不垂直于坐标轴，设不垂直于坐标轴，设l
21、的的方程为方程为y+4=k(x+5).y+4=k(x+5).令令x=0 x=0，得，得y=5k-4y=5k-4；令；令y=0y=0，得，得x=-5x=-5，即直线在两坐标轴上的截距分别为即直线在两坐标轴上的截距分别为 -5-5和和5k-4.5k-4.由题意，得由题意，得 4k4k14|(5)5k4|52k，所以所以 (5k-4)=(5k-4)=1010，若若 (5k-4)=10(5k-4)=10时，时，k k无解；无解；若若 (5k-4)=-10(5k-4)=-10时，时，解得解得k=k=4(5)k4(5)k4(5)k82.55或故所求直线方程为故所求直线方程为y+4=(x+5)y+4=(x+
22、5)或或y+4=(x+5).y+4=(x+5).即为即为8x-5y+20=08x-5y+20=0或或2x-5y-10=0.2x-5y-10=0.(2)(2)当过点当过点P(-5P(-5，-4)-4)的直线与的直线与x x轴垂直时，轴垂直时，则点则点P(-5P(-5，-4)-4)到原点的距离为到原点的距离为5 5，所以所以x=-5x=-5为所求直线方程为所求直线方程.8525当过点当过点P(-5P(-5，-4)-4)且与且与x x轴不垂直时，可设所求直线轴不垂直时，可设所求直线方程为方程为y+4=m(x+5)y+4=m(x+5)，即：即：mx-y+5m-4=0mx-y+5m-4=0，由题意有由题
23、意有 =5=5，解得解得m=-m=-，2|5m4|m1940故所求的直线方程为故所求的直线方程为y+4=-(x+5)y+4=-(x+5)，即即9x+40y+205=0.9x+40y+205=0.综上，所求直线方程为综上，所求直线方程为x=-5x=-5或或9x+40y+205=0.9x+40y+205=0.940【补偿训练】【补偿训练】已知在已知在ABCABC中，顶点中，顶点A(2A(2，1)1)，B(-2B(-2，0)0)，CC的平分的平分线所在直线的方程为线所在直线的方程为x+y=0.x+y=0.(1)(1)求顶点求顶点C C的坐标的坐标.(2)(2)求求ABCABC的面积的面积.【解析】【解析】(1)B(-2(1)B(-2，0)0)关于直线关于直线x+y=0 x+y=0的对称点的对称点B(0B(0，2)2)，ABAB的直线方程为的直线方程为x+2y-4=0 x+2y-4=0，联立联立 所以所以C(-4C(-4，4).4).x2y40,x4xy0y4,，解得(2)|AB|=AB(2)|AB|=AB方程为：方程为：x-4y+2=0 x-4y+2=0，点点C C到到ABAB的距离的距离d=d=所以，所以，S SABCABC=224117,4 162181717，1118AB d179.2217【知识思维导图】【知识思维导图】
