1、第 二十七章 相 似相似三角形应用举例赛课网-WWW.SAIKW.COM进一步了解数学建模思想，能够将实际问题转化为相似三角形的数学模型，提高分析问题、解决 问题的能力.(难点)12能够利用相似三角形的知识，求出不能直接测量的物体的高度和宽度.(重点)复习引入1.相似三角形的判定方法有哪几种？（1）定义：对应边成比例，对应角相等的两个三角 形相似；（2）判定定理1：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；（3）判定定理2：三边成比例的两个三角形相似；（4）判定定理3：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；（5）判定定理4：两角分别相等的两个三角形相似；（6）直角三角
2、形相似的判定方法：一组直角边和斜边成比例的两个直角三角形相似.2.相似三角形的性质有哪些？（1）相似三角形的对应角相等，对应边成比例.（2）相似三角形对应线段的比等于相似比.（3）相似三角形周长的比等于相似比.（4）相似三角形面积的比等于相似比的平方.情景一世界上最高的树红杉，你能测量它的高度吗？情景二神秘的埃及金字塔，你能测量它的高度吗？情景三世界上最宽的河亚马逊河，你能测量它的高度吗？利用相似三角形测量物体的高度 据史料记载,古希腊数学家,天文学家泰勒斯曾利用相似三角形的原理,在金字塔影子的顶部立一根木杆.借助太阳光线构成两个相似三角形,来测量金字塔的高度.例1 如图，木杆 EF 长 2
3、m，它的影长 FD 为3m，测得 OA 为 201 m，求金字塔的高度 BO.解：太阳光是平行的光线，因此 BAO=EDF.又 AOB=DFE=90，ABO DEF.，BOOAEFFD 201133.24OA EFBOFmD因此金字塔的高度为134 m.归纳：测量不能到达顶部的物体的高度，可以用“在同一时刻物高与影长成正比例”的原理解决.物1高：物2高=影1长：影2长例2 如图，某水平地面上建筑物的高度为AB，在点D和点F处分别竖立高是2米的标杆CD和EF，两标杆相隔52米，并且建筑物AB、标杆CD和EF在同一竖直平面内从标杆CD后退2米到点G处，在G处测得建筑物项端A标杆顶端C在同一条直线上
4、；从标杆FE后退4米到点H处，在H处测得建筑物顶端A和标杆顶端E在同一直线上，求建筑物的高度归纳：测量不能到达顶部的物体的高度，也可以用“利用标杆测量高度”的原理解决.例3 如图是一位学生设计的用手电筒来测量某古城墙高度的示意图点P处放一水平的平面镜，光线从点A发出经平面镜反射后刚好到古城墙CD的顶端C处，已知ABBD,测得AB=2米，BP=3米，PD=12米，求该古城墙的高度归纳：测量不能到达顶部的物体的高度，也可以用“利用镜子的反射测量高度”的原理解决.利用相似三角形测量物体的宽度例4 如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标作为点 A，再在河的这一边选点 B 和 C，使 AB
5、BC，然后，再选点 E，使 EC BC，用视线确定 BC 和 AE 的交点 D 此时如果测得 BD120米，DC60米，EC50米，求两岸间的大致距离 ABEADCB60m50m120m解：ADBEDC，ABCECD90，ABDECD.，即 ，ABBDECDC1205060AB解得 AB=100.因此，两岸间的大致距离为 100 m.测量如河宽等不易直接测量的物体的宽度，常构造相似三角形求解.归纳：1.学校门口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置BD绕O点旋转到AC位置，已知ABBD，CDBD，垂足分别为B，D，AO=4m，AB=1.6m，CO=1m，则栏杆C端应下降的垂直距离CD为（）A0.2m
6、B0.3m C0.4m D0.5mCD3.如图，为了测量水塘边 A、B 两点之间的距离，在 可以看到 A、B 的点 E 处，取 AE、BE 延长线上的 C、D 两点，使得 CDAB.若测得 CD5 m，AD15m，ED=3 m，则 A、B 两点间的距离为 m.ABEDC204.如图所示，有点光源 S 在平面镜上面，若在 P 点看到点光源的反射光线，并测得 AB10 cm，BC 20 cm，PCAC，且 PC24 cm，则点光源 S 到平面镜的距离 SA 的长度为 .12 cm5.如图，在高为4m的平房顶上A处望一幢楼的底部D时，视线恰好过一棵树的顶端E，从平房底部B处望楼顶C时，视线也恰好经过
7、小树的顶端E.如果测得小树的高度为3m，求这幢楼的高度.34DFEFDBAB14BFBD14EFBFCDBD解：EFAB，DEFDAB.EF=3，AB=4，,.EFAB，BEFBCD，,CD=4EF=12m.答：这幢楼的高度为12m.6.如图，左、右并排的两棵大树的高分别是 AB=8 m和 CD=12 m，两树底部的距离 BD=5 m，一个人估计自己的眼睛距地面 1.6 m她沿着正对这两棵树的一条水平直路 l 从左向右前进，当她与左边较低的树的距离小于多少时，就不能看到右边较高的树的顶点 C 了？解：如图，假设观察者从左向右走到点 E 时，她的眼睛的位置点 E 与两棵树的顶端 A、C 恰在一条直线上ABl，CDl，ABCD，AEHCEK，=，即=解得EH=8 m 由此可知如果观察者继续前进，当她与左边的树距离小于 8 m 时，由于这棵树的遮挡，她看不到右边树的顶端 CEHEKAHCK5EHEH 8 1.612 1.66.410.4相似三角形的应用举例利用相似三角形测量物体的高度利用相似三角形测量物体的宽度
