1、5.15.1 相交线相交线1 1 对顶角对顶角第第5 5章章 相交线与平行线相交线与平行线1.1.掌握对顶角的定义并能够在图形中识别出来掌握对顶角的定义并能够在图形中识别出来.2.2.能够用对顶角的性质解决有关的问题能够用对顶角的性质解决有关的问题.大桥上的钢梁和钢索大桥上的钢梁和钢索棋盘上的横线和竖线棋盘上的横线和竖线 学校操场上的双杠学校操场上的双杠,教室中课桌面、黑板面相邻教室中课桌面、黑板面相邻的两条边与相对的两条边的两条边与相对的两条边都给我们以平行线、都给我们以平行线、相交线的形象相交线的形象.请你画出任意两条相交直线，看看这四个角有什请你画出任意两条相交直线，看看这四个角有什么关
2、系么关系?问题问题:两条相交直线形成的小于平角的角有几个两条相交直线形成的小于平角的角有几个?问题探究：问题探究：观察剪布片的过程中有关角的变化观察剪布片的过程中有关角的变化.任意画两条相交直线任意画两条相交直线,在形成的四个角在形成的四个角(如图如图)中中,两两两相配共组成几对角？各对角存在怎样的位置关系两相配共组成几对角？各对角存在怎样的位置关系?它它们的大小关系如何？们的大小关系如何？两直线相交两直线相交所形成的角所形成的角分分 类类A AB BC CD D）（1 13 34 42 2）（3311224411和和2,2,4 422和和 和和,和和1 14 43 34 411和和3 3，和
3、和2 23 3，对顶角的概念对顶角的概念2 23 31 14 4A AB BD D11和和3 3具有相同的顶点，且具有相同的顶点，且1 1的两边的两边OAOA，OCOC分别与分别与3 3的两边的两边OBOB，ODOD互为反向延长线，我们把这样的两个互为反向延长线，我们把这样的两个角叫做角叫做对顶角对顶角.性质：性质：对顶角相等对顶角相等.C CO O1 1下列各图中下列各图中1 1，2 2是对顶角吗？为什么？是对顶角吗？为什么？2 21 12 22 21 1练一练：练一练：不是不是不是不是不是不是【例例】已知：直线已知：直线a a，b b相交，相交，1=401=40.求求2 2，3 3，4 4
4、的度数？的度数？a ab b1 12 23 34 4解：解：3=1=403=1=40 （对顶角相等），（对顶角相等），2=1802=180-1=180-1=180-40-40=140=140 （平角的定义），（平角的定义），4=2=1404=2=140（对顶角相等）（对顶角相等）.【例题例题】若若2 2是是1 1的的3 3倍，求倍，求3 3的度数的度数.a ab b1 12 23 34 4解：解：设设1=x1=x，则，则2=3x.2=3x.因为因为2+1=1802+1=180,所以所以3x+x=1803x+x=180，解得解得 x=45x=45，所以所以3=1=453=1=45（对顶角相等）（
5、对顶角相等）.【跟踪训练跟踪训练】1.1.（邵阳（邵阳中考）如图所示，已知中考）如图所示，已知O O是直线是直线ABAB上一点，上一点，1 14040，ODOD平分平分BOCBOC，则，则2 2的度数是（的度数是（)A A2020 B B2525 C C3030 D D70702 2D DC CA AB BO O1 1【解析解析】选选D.D.因为因为1 14040，所，所以以BOCBOC140140，因为，因为ODOD平分平分BOCBOC，所以，所以2 27070.2.2.如图所示，三条直线如图所示，三条直线AB,AB,CD,EFCD,EF相交于一点相交于一点O,AOCO,AOC的对的对顶角是
6、顶角是 ，COFCOF的对顶角是的对顶角是_._.A AB BC CD DE EF FO OBODBODEODEOD3.3.如图所示，如图所示，1=21=2，则，则2 2与与3 3的关系是的关系是 ，1 1与与3 3的关系是的关系是 .1 12 23 3互补互补互补互补4.4.（芜湖（芜湖中考）一个角的补角是中考）一个角的补角是36363535，这个角，这个角是是 【解析解析】根据互为补角的定义，这个角根据互为补角的定义，这个角=180=180363635=14335=14325.25.答案：答案：1431432525通过本课时的学习，需要我们掌握对顶角的相关知识如下：通过本课时的学习，需要我
7、们掌握对顶角的相关知识如下：1.1.特征：特征：两条直线相交形成的角；两条直线相交形成的角；有一个公共顶点；有一个公共顶点；没有公共边没有公共边.2.2.性质：性质：对顶角相等对顶角相等 忍别人所不能忍的痛，吃别人所不能吃的苦，是为了收获别人得不到的收获.2 2 垂线垂线1.1.在丰富的现实情境中，通过画、折等活动，进一步丰富在丰富的现实情境中，通过画、折等活动，进一步丰富对两条直线互相垂直的认识，掌握有关的符号表示对两条直线互相垂直的认识，掌握有关的符号表示.2.2.会借助三角尺、量角器、方格纸画垂线，进一步丰富操会借助三角尺、量角器、方格纸画垂线，进一步丰富操作活动的经验作活动的经验.3.
8、3.在操作活动中，探索有关垂直的一些性质在操作活动中，探索有关垂直的一些性质.平面内的两条直线有哪些位置关系平面内的两条直线有哪些位置关系?平行平行相交相交想一想想一想下面两种相交的情况有什么不同？下面两种相交的情况有什么不同？两直线不垂直两直线不垂直两直线垂直两直线垂直议一议议一议4.4.怎样用符号表示两条直线的垂直关系？怎样用符号表示两条直线的垂直关系？1.1.什么叫做两条直线互相垂直？什么叫做两条直线互相垂直？2.2.你能用三角尺、直尺、量角器画互相垂直的直线吗？你能用三角尺、直尺、量角器画互相垂直的直线吗？5.5.过一点能画多少条已知直线的垂线？过一点能画多少条已知直线的垂线？6.6.
9、你是如何理解点到直线的距离的？你是如何理解点到直线的距离的？3.3.怎样用折纸法折出垂线？怎样用折纸法折出垂线？自学提纲自学提纲定义：当两条直线定义：当两条直线AB,CDAB,CD所构成的四个角中有一个为直所构成的四个角中有一个为直角时，其他三个角也都成为直角，此时，直线角时，其他三个角也都成为直角，此时，直线AB,CDAB,CD互互相垂直相垂直.O新知探究新知探究BACD（1 1）你能用三角尺在白纸上画两条互相垂直的直线吗？）你能用三角尺在白纸上画两条互相垂直的直线吗？（3 3）如果只有直尺，你能在方格纸上画出两条互相垂直的）如果只有直尺，你能在方格纸上画出两条互相垂直的直线吗？直线吗？（2
10、 2）你能用量角器在白纸上画两条互相垂直的直线吗？）你能用量角器在白纸上画两条互相垂直的直线吗？做一做做一做0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100 1 2 3 4 50 1 2 3 4 50 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100 1 2 3 4 50 1 2 3 4 5用三角尺作两条互相垂直的直线用三角尺作两条互相垂直的直线根据图示能折出互相垂直的直线，您不妨试根据图示能折出互相垂直的直线，您不妨试试看！试看！折一折折一折O OD DC CB BA Am mn n图中，直线图中，直线ABAB与直线与直线CDCD垂直垂直,记作：记作：ABCDABCD；直线直线 m m 与直线与直线
11、 n n 垂直垂直,记作：记作：mnmn ；互相垂直的两条直线的交点叫做垂足互相垂直的两条直线的交点叫做垂足.注意：注意：“”“”是是“垂直垂直”的记号，的记号，而而“”“”是图形中是图形中“垂直垂直(直角直角)”的标记的标记.垂直的表示垂直的表示结论结论在图中过点在图中过点A A作作m m的垂线，你能作多少条？的垂线，你能作多少条？A A A Am mm m平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.想一想想一想看图回答看图回答你能用一句话表示这个结论吗？你能用一句话表示这个结论吗？P PA AB BC Cm mD D从直线外一点到这条直线的垂线
12、段的长度，叫做点到直线从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离的距离.直线外一点与直线上各点连成的所有线段中，垂线段最短直线外一点与直线上各点连成的所有线段中，垂线段最短.线段线段PA,PB,PC,PDPA,PB,PC,PD谁最短？谁最短？点到直线的距离点到直线的距离结论结论线段线段PBPB叫做点叫做点A A到直线到直线m m的垂线段的垂线段.【例例】作一条直线作一条直线l，在直线，在直线l上取一点上取一点A A，l0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100 1 2 3 4 50 1 2 3 4 50 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100 1 2 3 4 50 1 2
13、 3 4 5在在l外取一点外取一点B B，试分别过点，试分别过点A A，B B用三角尺作直线的垂线用三角尺作直线的垂线.【例题例题】找出下图中互相垂直的直线找出下图中互相垂直的直线.（1 1）（2 2）A AB BC CD DO OBOOD(BOOD(或或AOOC)AOOC)ACBC(ACBC(或或CDAB)CDAB)【跟踪训练跟踪训练】OEDCBA1.1.（宁波（宁波中考）如图，直线中考）如图，直线ABAB与直线与直线CDCD相交于点相交于点O O，E E是是AODAOD内一点，已知内一点，已知OEABOEAB，BOD=45BOD=45，则，则COECOE的度数的度数是是()()A.125A
14、.125 B.135 B.135 C.145C.145 D.155 D.155【解析解析】选选B.B.因为因为OEABOEAB，所以，所以BOE=90BOE=90，又因为，又因为BOD=45BOD=45，所以，所以EOD=45EOD=45，因为，因为COD=180COD=180，所以，所以COE=CODCOE=COD EOD=180EOD=1804545=135=135.2.2.（陕西（陕西中考）如图，点中考）如图，点O O在直线在直线ABAB上，且上，且OCODOCOD，若，若COA=36COA=36，则，则DOBDOB的大小为的大小为()()A A3636B B5454 C C6464 D
15、 D7272【解析解析】选选B.B.因为因为OCODOCOD，所以，所以COD=90COD=90，又因为，又因为AOB=180AOB=180，所以所以DOB=AOBDOB=AOBCODCODCOA=180COA=18090903636=54=54.3.3.如图所示，直线如图所示，直线ABCDABCD，垂足为，垂足为O O，射线，射线OPOP在在AODAOD的内的内部，且部，且POA=4PODPOA=4POD，则，则COPCOPBOPBOP的值为（的值为（）A.3A.32 B.42 B.41 1 C.9C.91 D.51 D.53 3 AB DCOP【解析解析】选选A.A.因为因为ABCDABC
16、D，所以，所以AOD=90AOD=90，又因为，又因为POA=4PODPOA=4POD，所以所以POA+POD=4POD+POD=POA+POD=4POD+POD=AOD=90AOD=90，所以，所以POD=18POD=18，POA=4POA=41818=72=72，所以所以COP=COA+POA=90COP=COA+POA=90+72+72=162=162，BOP=BOD+POD=90BOP=BOD+POD=90+18+18=108=108.所以所以COPCOPBOP=162BOP=162108108=3=32.2.4.4.点点P P是直线是直线l外一点，点外一点，点A A，B B，C C是
17、直线是直线l上的三点，且上的三点，且PA=10PA=10，PB=8PB=8，PC=6PC=6，那么点，那么点P P到直线到直线l的距离为（的距离为（）A.6 B.8 A.6 B.8 C.C.大于大于6 6的数的数 D.D.不大于不大于6 6的数的数【解析解析】选选D.D.根据根据“垂线段最短垂线段最短”，垂线段的长度一定小，垂线段的长度一定小于或等于于或等于6 6，即不大于，即不大于6 6的数的数.5.5.过一点作已知直线的垂线可以作（过一点作已知直线的垂线可以作（）A.1A.1条条 B.2B.2条条 C.3C.3条条 D.D.无数条无数条【解析解析】选选A.A.根据根据“在平面内，过一点有且
18、只有一条直在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直线与已知直线垂直”,”,所以过一点作已知直线的垂线可以所以过一点作已知直线的垂线可以作作1 1条条.1.1.垂直的定义垂直的定义.2.2.垂直的画法垂直的画法.3.3.垂直的记法垂直的记法.4.4.垂直的一个结论垂直的一个结论.5.5.点到直线的距离点到直线的距离.6.6.丰富了对平行、垂直和角的认识丰富了对平行、垂直和角的认识.对人不尊敬，首先就是对自己的不尊敬.3 同位角、内错角、同旁内角1.认识两条直线被第三条直线所截而产生的三种角同位角、内错角、同旁内角.2.能从复杂图形中找出基本图形，增强对图形的认识.如图，两条直线a，b相交形
19、成四个角1，2，3，41与3 2与4 对顶角：互补的角：1与2 2与3 3与4 4与1 1.两条直线被第三条直线所截（1）直线l与两直线a,b分别相交于点P,Q（2）直线l截直线a,b于点P,Q（3）直线a,b被直线l所截直线l叫做截线直线a,b叫做被截直线你认为截线和被截直线该怎样区分？ablPQ问题：你能说出以下这些图形，哪两条直线被第三条直线所截吗？直线a,b被直线l所截直线BC,DE 被直线AB所截labB在一个平面内，一条直线l与两条直线a，b分别相交于点P，Q（直线l 分别截直线a，b于点P，Q 或者就说两条直线a，b被直线l所截）.两条直线被第三条直线所截，形成“三线八角”的图形
20、.bl57a134286截线PQ图中1与5的位置有什么关系呢？1与5处于直线l的_，l57ab134286截线左侧上方上方 且分别在直线a,b的_.这样位置的一对角就是 _.15像这样位于截线l的同侧，在两条被截直线a，b的同一方的同位角还有_、_、_.2与63与74与8623748（1）同位角同一侧同一方同位角左 右2.特殊位置的角abl截线13428576图中3与5的位置有什么关系呢？3与5处于直线l的_，直线a，b的_，这样位置的一对角就是_.35像这样位于截线l的两侧，在两条直线a，b的内部的内错角还有 .4与646左 右（2）内错角内 部两侧内部交错内错角内部图中4与5的位置有什么关
21、系呢？l57ab134286截线4与5处于直线l的_，_，左侧这样位置的一对角就是_.45像这样位于截线l的同侧，两条直线a，b的内部的同旁内角还有.3与636（3）同旁内角左 右同一侧同旁内角内部直线a，b的同位角模型内错角模型同旁内角模型在两被截直线的内部，在截线的两侧内部交错 在两被截直线的内部，截线的同侧同位角 内错角同旁内角位置关系基本模型在两被截直线的同一方，在截线的同一侧位置相同同位角、内错角、同旁内角是三种特殊位置关系的角，在找这些角时，要注意到两个角的公共边所在的直线是截线，其余两边是两条被截直线.2如图，与1是同位角的角是 ，与1是内错角的角是 ，与1是同旁内角的角是 .4
22、25截线ADBCE如图：所标的六个角中，1与 是同位角；5与 是同旁内角；2与 是内错角.63 或41 2.根据图形按要求填空：（1）1与2是直线 和 被直线 所截而得的 .ABCDEF13524BCABDE同位角ABCDEF13524（2）1与3是直线 和 被直线 所截而得的 .BCDEAB内错角（3）4与5是直线_和_被直线_所截而得的_.BCEFDE同旁内角，是不是4.如图，1与2是同旁内角吗？是不是位置关系基本模型同位角 在两条被截直线的同一方，在截线的同一侧位置相同在两条被截直线的内部，在截线的两侧内部交错 内错角在两条被截直线的内部，截线的同侧同旁内角两条直线被第三条直线所截而产生的三种角 同位角、内错角、同旁内角.1.三种角产生的条件及位置特征.注意：2.判断时应先找到“截线”，再找另外两直线，然后根据角的位置决定是哪一种角.3.当图形较复杂时可把暂时不需要的线段、角等遮住；也可采用图形分解法、图形涂色法以排除干扰.做事是否成功，不在一时奋发，而在能否坚持.
