1、2022-12-24第四章 分离变量法31第四章第四章 分离变量分离变量(傅立叶级数傅立叶级数)法法4.1 齐次方程的分离变量法齐次方程的分离变量法（重点：重点：4个齐次边界条件）个齐次边界条件）4.2 非齐次方程和输运方程非齐次方程和输运方程4.3 非齐次边界条件的处理非齐次边界条件的处理4.4 Laplace 方程、方程、泊松方程泊松方程 （重点：周期边界条件）（重点：周期边界条件）2022-12-24第四章 分离变量法324.4 泊松方程泊松方程本节介绍稳定场方程本节介绍稳定场方程(拉普拉斯方程，泊松方程拉普拉斯方程，泊松方程)的分离变量的分离变量法、傅里叶级数法求解。法、傅里叶级数法求
2、解。1、拉普拉斯方程、拉普拉斯方程例如矩形截面散热片的稳定温度分布例如矩形截面散热片的稳定温度分布u(x,y)，边界上温度分布如图所示，定解问题为边界上温度分布如图所示，定解问题为000000,0,0 xxyyxx ayy buuuuuuybuuuUxa(1)1)矩形边界矩形边界的稳定场问题的稳定场问题yxOabUu0u0u02022-12-24第四章 分离变量法33分析：分析：u满足二维拉普拉斯方程的满足二维拉普拉斯方程的第一类边界条件第一类边界条件问题。问题。0,u x yuv x y(2)则定解问题变为则定解问题变为0000,0,0,00,.0 xxyyxx ayy bvvvvybvvU
3、uxa(3)为了简化计算，为了简化计算，设法将设法将x方向的边界条件化为齐次方向的边界条件化为齐次。为此作如。为此作如下平移变换：下平移变换：注意到注意到v满足齐次的泛定方程，可用分离变量法求解，令试探满足齐次的泛定方程，可用分离变量法求解，令试探解为解为v(x,y)=X(x)Y(y)；又因为；又因为v(x,y)在在x方向的两端是固定的，所方向的两端是固定的，所以有本征值以有本征值l ln=(np p/a)2及本征函数及本征函数Xn=Csin(np px/a)。2022-12-24第四章 分离变量法34于是令试探解为于是令试探解为 1,sin,nnn xv x yYyap其中其中Yn待定，由泛
4、定方程及待定，由泛定方程及y方向的边界条件确定。方向的边界条件确定。将试探解将试探解Eq.(4)代入泛定方程，得代入泛定方程，得 20.nnnYyYyap 21sin0,nnnnn xYyYyaapp(4)即即另一方面，由另一方面，由y方向的边界条件得方向的边界条件得 010 sin0,nynn xvYap 00.nY(5a)(5b)2022-12-24第四章 分离变量法35以及以及比较系数得比较系数得Yn(b)=fn，而，而fn为常数为常数U-u0的傅里叶正弦展开系数，的傅里叶正弦展开系数，1sin,nnn xfap00000022()sin()sin22 ()1 cos()11,aannn
5、 xn xfUudxUudxaaaaaUunUuannppppp 01sinny bnn xvYbUuap00,()()4().()nnnY bfUunnp为偶数为奇数因此因此(5c)综合综合(5a)、(5b)和和(5c)式，我们得到式，我们得到Yn(y)满足的方程。满足的方程。2022-12-24第四章 分离变量法36这是一个二阶常系数微分方程，通解为这是一个二阶常系数微分方程，通解为e指数形式指数形式Yn(y)=ery(r待定待定)，代入方程得到，代入方程得到r2=(np p/a)2，有两个实根，有两个实根r=(np p/a)，因此，因此 20,(0)0,()0.nnnnnYyYyaYY
6、bp将上式代入到将上式代入到Yn满足的边界条件中，得满足的边界条件中，得(/)(/)12(),na yna ynYyC eC epp(i)n为偶数时为偶数时 12(/)(/)1200,0.nna bna bnYCCYbC eC epp120.CC可见当可见当n为偶数时，为偶数时，Yn(y)=0，即，即v(x,y)=0，舍弃这个平凡解。，舍弃这个平凡解。(6)2022-12-24第四章 分离变量法37求解上面的联立方程，得求解上面的联立方程，得12(/)(/)012(0)0,4()(),nna bna bnYCCUuY bC eC enppp 200,4()(0)0,().()nnnnnYyYy
7、aUuYY bnnpp为奇数(ii)n为奇数时为奇数时(/)(/)12()na yna ynYyC eC epp通解仍为通解仍为Eq.(6)，即，即 ，由代入边界条，由代入边界条件中，得件中，得012(/)(/)4()1.na bna bUuCCneeppp 2022-12-24第四章 分离变量法38由此解得由此解得n为奇数为奇数时时0021sh421,sin.2121 shkkyUukxav x ykbakapppp(/)(/)00(/)(/)sh4()4()().shna yna ynna bna bn yUuUueeaYyn bneenapppppppp代入到试探解中，令代入到试探解中，
8、令n=2k+1(k=0,1,2,)，得，得(7)2022-12-24第四章 分离变量法3901x00.5y01u01umax0 1,0.5,1,0.求和上限截断：=10.参数：nabUu最后得稳定场温度分布最后得稳定场温度分布u(x,y)=u0+v(x,y)，即，即00021sh421,sin.2121 shkkyUukxau x yukbakapppp(8)2022-12-24第四章 分离变量法3102)圆形边界圆形边界的稳定场问题的稳定场问题如图，带电云和大地之间静电场视为匀如图，带电云和大地之间静电场视为匀强电场强电场(场强场强E0)，求圆柱形输电线对电，求圆柱形输电线对电势势u和场强和
9、场强E的改变。的改变。由于电线沿由于电线沿z轴方向轴方向“无限长无限长”，静电场，静电场与与z无关，可归结为无关，可归结为x-y平面内圆形边界的平面内圆形边界的狄里希利狄里希利(Dirichlet)问题问题。2220,()0.xxyyxyauuu圆柱柱外外式中已取圆形半径为式中已取圆形半径为a，规定边界处及导体内电势为规定边界处及导体内电势为0。因为柱外无电荷，电势因为柱外无电荷，电势u满足二维拉普满足二维拉普拉斯方程拉斯方程(即，齐次泊松方程即，齐次泊松方程)E0E02022-12-24第四章 分离变量法311cos,sin.xy极坐标系下，定解问题变为极坐标系下，定解问题变为(见附录见附录
10、)2222202110,0,cos,.()auuuuuEuup 边条周周期期界界件件(9)其中周期边界条件如右图所示。其中周期边界条件如右图所示。xyOa研究区域研究区域o a 2p p研究区域研究区域xyEx=E0(,)O 2022-12-24第四章 分离变量法312应用分离变量法，取试探解为：应用分离变量法，取试探解为：,.uR(10)将试探解代入到泛定方程中，即式将试探解代入到泛定方程中，即式(9)，得，得2110.RRR 两边同乘两边同乘 2/，得，得2.RRRR 上式等号左边只和上式等号左边只和 有关，右边只和极角有关，右边只和极角 有关，二者相等的有关，二者相等的条件是它们同时等于
11、一个常数条件是它们同时等于一个常数l l，即，即2RRRR.l2022-12-24第四章 分离变量法313 满足二阶常系数微分方程，通解为：满足二阶常系数微分方程，通解为：,0,0cossin,0AeBeABABlllllll 其中只有其中只有l l 0的解满足的解满足周期边界条件，即式周期边界条件，即式(12)。于是泛定方程分解为于是泛定方程分解为两个独立的常微分方程两个独立的常微分方程20,0.RRRll (11)(12)极角极角 加减加减2p p的整数倍电势的整数倍电势u不变，因此有不变，因此有周期边界条件周期边界条件：2p 2022-12-24第四章 分离变量法314于是于是圆域内周期
12、边界条件圆域内周期边界条件的本征值和本征函数为的本征值和本征函数为 ,0cossin.0AmAmBmm(13a)(13b)2,0,1,2,mmmll将本征值将本征值(13a)代入代入R满足的常微分方程中，得满足的常微分方程中，得22220.d RdRm Rdd(14a)这是一个这是一个欧拉型欧拉型二阶常微分方程二阶常微分方程，作变换，作变换=et，即，即t=ln，式式(14a)简化为简化为(见附录，见附录，下一章还将用到下一章还将用到！)2220.d Rm Rdt(14b)2022-12-24第四章 分离变量法315Eq.(14b)是一个常系数二阶微分方程，通解为是一个常系数二阶微分方程，通解
13、为(=et，t=ln)ln,0.0mtmtmmCDtCDmRCeDeCDm代回试探解代回试探解u=R 中，由中，由Eqs.(13b)和和(15)得得00ln,(0),cossin cossin.(0)mmmmmmmCDmuAmBmCmDmm 所有本征解的叠加给出一般解所有本征解的叠加给出一般解:0011,lncossin cossin.mmmmmmmmuCDAmBmCmDm(16)(15)2022-12-24第四章 分离变量法316Eq.(16)中的系数由边界条件中的系数由边界条件u|=a=0，u|=-E0 cos 确定，确定，00110011lncossin cossin lncos sin
14、0,mmmammmmmmmmmmmmmmmuCDaaAmBmaCmDmCDaa AaCma BaDm所以得所以得00ln0,0,0.mmmmmmmmCDaa AaCa BaD0022ln,.mmmmmmCDaCA aDB a (17)2022-12-24第四章 分离变量法31710cossin cos,mmmmuAmBmE 比较系数得比较系数得101,0,0,0.1mmAEBABm 对于对于 a，m项的贡献远大于项的贡献远大于D0ln(/a)和诸和诸 m项，忽略后者项，忽略后者的贡献，得的贡献，得(18)0121(,)lncossin cossin.mmmmmmmmmuDAmBmaaAmBm
15、将将Eq.(17)代入代入(16)中，得中，得 auu 1u=ln 2022-12-24第四章 分离变量法318如果导体不带电，如果导体不带电，D0=0，Eq.(19)只剩后面两项。由此可证只剩后面两项。由此可证y轴方向的电势始终为零，轴方向的电势始终为零，120112000,lncoscos lncoscos,uDAAaaaDEEa 即即A1=-E0，其他系数都为零，最终得圆柱之外的静电势，其他系数都为零，最终得圆柱之外的静电势(19)其中第一项为电线自带电荷产生的电势；第二项为匀强静电场其中第一项为电线自带电荷产生的电势；第二项为匀强静电场的电势；最后一项代表圆柱形导线对其邻近区域匀强电场
16、的修的电势；最后一项代表圆柱形导线对其邻近区域匀强电场的修正，当正，当(离电线无穷远离电线无穷远)时，修正项可以忽略。时，修正项可以忽略。200/2/2,coscos0.auEEpp 2022-12-24第四章 分离变量法319此外导体此外导体A、B两点两点(如图如图)的电场强度的电场强度是匀强电场的两倍，因此特别容易被击穿。是匀强电场的两倍，因此特别容易被击穿。讨论：对于平板电容器，如果上极板上带有讨论：对于平板电容器，如果上极板上带有半半圆形突起圆形突起，那么该突起处的电场强度总是无限，那么该突起处的电场强度总是无限远电场强度远电场强度E0的两倍。的两倍。xyOxEyE0EAB200020
17、,0,coscos2,aauaEEEEpp 为防止突起点处被击穿，高压电容器的极板必为防止突起点处被击穿，高压电容器的极板必须刨得非常光滑。须刨得非常光滑。2020,()()xXk XX xLX xX若物理量满，试求出足.3)推广：推广：周期边界条件周期边界条件(periodic boundary condition)2022-12-24第四章 分离变量法321周期边界条件的应用：周期边界条件的应用：固体物理、半导体物理固体物理、半导体物理-晶晶格振动；格振动；电磁场电磁场(E.M.field)理论理论、电电动力学、量子光学，动力学、量子光学，etc.The free classical E.
18、M.fieldSee e.g.,R.Loudon,The quantum theory of light(2th edition,Clarendon Press,Oxford,1983).2022-12-24第四章 分离变量法322泊松方程泊松方程采用采用特解法特解法求解：先不管边界条件，任取泊松方程的一个特解求解：先不管边界条件，任取泊松方程的一个特解v，然后令，然后令u=v+w，把问题转化为求，把问题转化为求w。因为。因为 u=v=f，所以，所以 w=u-v=0，即即w满足拉普拉斯方程，它的求解过程如前。满足拉普拉斯方程，它的求解过程如前。2、泊松方程、泊松方程例例1(P219).在圆域在
19、圆域 0内求解泊松方程的边值问题：内求解泊松方程的边值问题：022,.uab xyuc 也称为非齐次拉普拉斯方程，它描述与时间无关的稳定场问题，也称为非齐次拉普拉斯方程，它描述与时间无关的稳定场问题，不适合用冲量定理法求解。不适合用冲量定理法求解。2222222(,),uf x y zxyz 2022-12-24第四章 分离变量法323于是取满足泊松方程的特解为于是取满足泊松方程的特解为224422222224412412 cos 2.412ababvxyxyxyxyxyab解：先找特解。注意到解：先找特解。注意到224422(),().412a xyb xyab xy令令24cos2,412
20、abuvww问题转化为问题转化为w的定解问题：的定解问题：2022-12-24第四章 分离变量法3240024000,()cos2.412wabwc 该定解问题的一般结论由该定解问题的一般结论由Eq.(16)给出，即给出，即0011,lncossin cossin,mmmmmmmmwCDAmBmCmDm 其中系数由边界条件其中系数由边界条件w|=0给出。此外给出。此外w在圆内应处处有限，在圆内应处处有限，而而ln 和和-m在圆心处发散，所以排除在外。于是得在圆心处发散，所以排除在外。于是得01,cossin.mmmmwCAmBm 2022-12-24第四章 分离变量法325代入到边界条件中，代
21、入到边界条件中，00012400cossin cos2,412mmmmwCAmBmabc 比较两边系数，得比较两边系数，得220020,4120 2,0.mmabCcAAmB 最后得最后得 ，即，即22200,cos2412abwc 2222200,cos2.412abuvwc 2022-12-24第四章 分离变量法326作业作业nP1722.nP16116.(1)nP1782.2022-12-24第四章 分离变量法327附录附录A：极坐标系拉普拉斯方程：极坐标系拉普拉斯方程从极坐标系中的柯西从极坐标系中的柯西-黎曼方程可求出拉普拉斯黎曼方程可求出拉普拉斯(Laplace)方程方程的极坐标表示
22、式的极坐标表示式(P12).解解:极坐标下极坐标下C-R条件为条件为,1,1uv vuvu2(A1)(A2)消去消去g(其中其中g=u或或v),就对它求偏导就对它求偏导,使之成为使之成为 的形式的形式.例如消掉例如消掉v,Eq.(A1)左右乘左右乘 然后对然后对 求偏导求偏导,得得 g2(A3)2022-12-24第四章 分离变量法328.0122uu接着接着,Eq.(A2)左右左右对对 求偏导求偏导,得到得到(A4)比较比较Eqs.(A3)和和(A4),自然得到自然得到,1222uv(A5)或者写为或者写为(A6)22222110.uuuEqs.(A5)和和(A6)就是极坐标下拉普拉斯方程的
23、表达式就是极坐标下拉普拉斯方程的表达式.2022-12-24第四章 分离变量法329附录附录B(1)圆柱外圆柱外“无穷远处无穷远处”的静电场视为沿的静电场视为沿x方向的匀强电场方向的匀强电场Ex=E0，Ey=0，于是电势的导数，于是电势的导数ux=-E0，uy=0，所以有，所以有coscos0000()cos.uudxEdxEx 因此给出因此给出(9)式中圆柱外电势的边界条件。式中圆柱外电势的边界条件。(2)欧拉型二阶常微分方程欧拉型二阶常微分方程(14a)的化简：的化简：径向部分函数径向部分函数R满满足的常微分方程为足的常微分方程为22220d RdRm Rdd(B1)这是一个欧拉型二阶常微
24、分方程，作变换这是一个欧拉型二阶常微分方程，作变换=et，即，即t=ln，于，于是有是有2022-12-24第四章 分离变量法3302222221,111.dRdR dtdRddt ddtd RddRdRd Rdddtdtdt 所以所以Eq.(B1)简化为简化为2220.d Rm Rdt22222222222220111.d RdRm RdddRd RdRd Rm Rm Rdtdtdtdt即即(B2)2022-12-24第四章 分离变量法331例题例题.在矩形域在矩形域0 x a，0 y b 上求解泊松方程的边值问题上求解泊松方程的边值问题2002,0,0,0,0.xx ayy buuuuu
25、解：先找一个特解解：先找一个特解v.显然显然v=-x2满足泊松方程。另外满足泊松方程。另外212vxc xc 2.vxaxx ax 也满足泊松方程。取也满足泊松方程。取c1=a，c2=0，即，即令令u=v+w，则，则w满足齐次边界条件定解问题满足齐次边界条件定解问题附录附录C：补充例题补充例题(C1)(C2)(C3)2022-12-24第四章 分离变量法3322000,0,0,.xx ayy bwwwwx xawx xa注意到注意到x方向是两端固定，本征函数已知，按其展开得方向是两端固定，本征函数已知，按其展开得1,()sin,nnn xw x yYyap将试探解代入泛定方程，得将试探解代入泛
26、定方程，得 20.nnnYyYyap 21sin0,nnnnn xYyYyaapp即即(C4)2022-12-24第四章 分离变量法333 011(0)sin(),sin().nynny bnn xwYx xaan xwYbx xaapp另一方面，由另一方面，由y方向的边界条件得方向的边界条件得1sin,nnnx xaCxap而而x(x-a)可展开成傅里叶正弦级数可展开成傅里叶正弦级数2233023324sin11,0,.8,annn xaCxaxdxaannannppp为偶数为奇数其中系数为其中系数为2022-12-24第四章 分离变量法334 20,(0)0,()0.nnnnnYyYyaY
27、Y bp(i)n为偶数时为偶数时如前所述，该方程的解为如前所述，该方程的解为Yn(y)=0，舍弃这个平凡解。，舍弃这个平凡解。322380,(0)().()nnnnnaCnnYyYyaYY bnpp为奇数(ii)n为奇数时为奇数时(/)(/)()na yna ynnnYyA eB epp通解为通解为 ，由代入边界条件中，得，由代入边界条件中，得2022-12-24第四章 分离变量法335比较系数可得比较系数可得,.nnnn bn baannnABCA eB eCpp/2/2/2/2/2/2/21 ,2ch/2n ban ban ban b annnn b an b an b an b an b
28、an bannn ban baeeeeACCeeeeeeCCeen bappppppppppppp于是得于是得/2()ch.ch/2nnyynaannnCybYyA eB enan bapppp/2/21,2ch/22ch/2n ban bannnnneeBCACCn ban bapppp2022-12-24第四章 分离变量法336将将Yn(y)带回带回Eq.(C4)，得，得2330/2ch,sin,ch2/2ch2181 sin,21ch2nnkybnan xw x yCn baaybnkxaan bakappppppp 奇数求出的求出的w(x,y)加上加上x(x-a)就是就是u(x,y)。
