1、1 第十章第十章 曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分curvillnear integral and surface integral2问题的提出问题的提出对弧长的曲线积分的概念对弧长的曲线积分的概念几何意义与物理意义几何意义与物理意义对弧长的曲线积分的计算对弧长的曲线积分的计算arc length第一节第一节 对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分第十章第十章 曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分3一、问题的提出一、问题的提出实例实例sM 匀质匀质之质量之质量分割分割121,nMMM,),(iiis 取取iiiisM ),(求和求和 niiiisM1 ),(取极限
2、取极限M取近似取近似曲线形构件的质量曲线形构件的质量近似值近似值精确值精确值对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分 niiiis1 ),(0lim Oxy2M1 nMABLis 1 iM),(ii 1MiM4二、对弧长的曲线积分的概念二、对弧长的曲线积分的概念1.1.定义定义设设L为为 xOy面内一条光滑曲线弧面内一条光滑曲线弧,is 为为又又),(ii ,),(iiisf ,),(1 niiiisf 在在L上有界上有界.),(yxf函函数数作乘积作乘积并作和并作和如果当各小弧段的长度的最大值如果当各小弧段的长度的最大值,0时时 对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分在在L上任意插入一点列上任意插入一点列
3、把把L分成分成n个小段个小段.设第设第i个小段的个小段的第第i个小段上任意取定的个小段上任意取定的长度为长度为一点一点,Oxy2M1 nMABLis 1 iM),(ii 1MiM121,nMMM5曲线形构件的质量曲线形构件的质量 LsyxMd),(,d),(Lsyxf即即 Lsyxfd),(这和的极限存在这和的极限存在,则称此极限为则称此极限为),(yxf函函数数在曲线弧在曲线弧 L 对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分或或第一类曲线积分第一类曲线积分.积分和式积分和式被积函数被积函数 弧元素弧元素积分弧段积分弧段记作记作 niiiisf1),(niiiisf1),(对弧长的曲线积分对弧长的曲线积
4、分0lim 62.存在条件存在条件上上在光滑曲线弧在光滑曲线弧当当Lyxf),(3.推广推广上上在在空空间间曲曲线线弧弧函函数数),(zyxf szyxfd),(.d),(存存在在 Lsyxf对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分连续连续,对弧长的曲线积分为对弧长的曲线积分为iniiiisf 10),(lim对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分7注意注意,)()1(是是分分段段光光滑滑的的或或若若 L 21d),(LLsyxf在在函函数数),()2(yxf Lsyxfd),()(21LLL 1d),(Lsyxf 2d),(Lsyxf闭曲线闭曲线L L上上对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分记作记作(对路径具
5、有可加性对路径具有可加性)对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分84.性质性质 Lsyxgyxfd),(),(LLsyxfsyxkfd),(d),(1)LLsyxgsyxfd),(d),(2)(为常数为常数kk(3)与积分路径的方向无关与积分路径的方向无关,即即 Lsyxfd),(Lsyxfd),()(AB)(BA对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分9 在一条光滑在一条光滑(或分段光滑或分段光滑)的的是是L上关于上关于x 的奇函数的奇函数 Lsyxfd),(是是L上关于上关于x 的偶函数的偶函数,d),(21 LsyxfL1是曲线是曲线L落在落在y 轴一侧的部分轴一侧的部分.在分析问题和算题时常用的在分
6、析问题和算题时常用的L关于关于y轴轴 对称对称,补充补充对称性质对称性质曲线曲线L上连续上连续,),(yxf设函数设函数则则,0当当),(yxf(或或y)(或或y)当当),(yxf(或或x轴轴)(或或x)运用对称性简化对弧长的曲线积分运用对称性简化对弧长的曲线积分计算时计算时,应同时考虑被积函数应同时考虑被积函数 的的奇偶性与积分曲线奇偶性与积分曲线L的对称性的对称性.),(yxf对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分 10例例 Lsyx.d)(3其中其中L是圆周是圆周.222Ryx 解解 LLsysxdd3 Lsyxd)(3,d Lsx对对因因积分曲线积分曲线L关于关于被积函数被积函数x是是L上上
7、0d Lsx Lsy,d3对对被积函数被积函数0d3 Lsy因因积分曲线积分曲线L关于关于3y222Ryx 对称性对称性,计算计算得得0 是是L上上y轴对称轴对称,关于关于x的奇函数的奇函数x轴对称轴对称,关于关于y的奇函数的奇函数对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分xyO11三、对弧长曲线积分的计算三、对弧长曲线积分的计算定理定理),()()(ttyytxxL的参数方程为的参数方程为上上在在曲曲线线弧弧设设Lyxf),(上上在在,)(),(tytx其中其中且且 f),(tx)(ty)(有定义且连续有定义且连续,具有一阶连续导数具有一阶连续导数,Lsyxfd),(解法解法 化为参变量的化为参变量的
8、定积分定积分计算计算对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分注意注意对弧长的曲线积分要求对弧长的曲线积分要求0d s定积分的下限定积分的下限一定要小于上限一定要小于上限 ttytxd)()(22 12特殊情形特殊情形bxaxyyL ),(:Lsyxfd),()(ba xxysd)(1d2 baxf,(1)xxyd)(12 )(xy对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分),()()(ttyytxxL的参数方程为的参数方程为 f),(tx)(ty)(Lsyxfd),(dycyxxL ),(:Lsyxfd),()(dc (2)dcyyxf),(yyxsd)(1d2 yyxd)(12 ttytxd)()(22 13
9、 Lsyxfd),(d)()(sin)(,cos)(22 rrrrf),(:rrL (3)对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分),()()(ttyytxxL的参数方程为的参数方程为 f),(tx)(ty)(Lsyxfd),(特殊情形特殊情形)()(),(),(:ttzztyytxx推广推广 szyxfd),(ttztytxtztytxfd)()()()(),(),(222 )(ttytxd)()(22 14 ),(),(yxgzyxfz 0),(0),(21zyxzyx 或或此时需把它化为此时需把它化为参数方程参数方程中中某某一一个个选选择择zyx,(再按上述方法计算再按上述方法计算.对弧长的曲线
10、积分对弧长的曲线积分为参数为参数),是两个曲面的交线是两个曲面的交线如果积分路径如果积分路径 L15例例解解例例)20(.,sin,cos:,d 的一段的一段其中其中求求kzayaxsxyzI解解 kaI 202sincos22221kaka .)2,2(2,d2的的一一段段上上自自原原点点到到为为其其中中求求xyLsyIL 20yI)155(31 xy22)20(y22yx d22ka yy d12 对对x积分积分?)2,2(对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分xy22 xyO16例例).0(222 xRyxABCL解解xysd1d2 xyyxd222 xyRd|Lsy d|xyRyRd|0 x
11、yRyRd|0 22R 的的如如图图半半圆圆周周由由曲曲线线)(ABCL ABsy d|BCsy d|对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分得得xyO即即是右半圆周是右半圆周其中其中计算计算,d|LsyL,222Ryx 方方程程17即即是是右右半半圆圆周周其其中中计计算算,d|LsyL).0(222 xRyx解此题时也可用解此题时也可用,轴轴对对称称关关于于xL故故 Lsy d|2xyRd22R sydAB,|的偶函数的偶函数为为yy Ry02对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分对称性质对称性质ABCLxyO18,d22 Lyxse计计算算,:222ayxL 由由圆圆周周轴轴及及直直线线xxy 在第一象
12、限中所围图形的边界在第一象限中所围图形的边界.AB Lyxsed22 BOABOA提示提示解解:OA,0 y OAyxsed22xsd01d2 :AB,sin,cos ayax 40 seAByxd22 d40aea xeaxd01 aeaae4,0ax 对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分xyO19AB:BO,xy seBOyxd22xsd11d2 xeaxd222021 ae Lyxsed22故故aaaee4)1(2 .220ax 对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分xyO20,1),(时时当当 yxf上上的的表表示示立立于于当当Lyxf),(SsL),(yxfz 几何意义几何意义 Lsd(1)(
13、2),),(处的高时处的高时柱面在点柱面在点yx对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分四、几何意义与物理意义四、几何意义与物理意义 Lsyxfd),(柱面面积柱面面积弧长弧长 L物理意义物理意义的的线线密密度度时时表表示示当当Lyx),(LsyxMd),(L的质量的质量211989年研究生考题年研究生考题,填空填空(3分分)则则为下半圆周为下半圆周设平面曲线设平面曲线,12xyL ).(d)(22 syxL曲曲线线积积分分 解解 设下半圆周的参数方程设下半圆周的参数方程 sin,cos yx则则syxLd)(22 )sin(cos22 d)(cos)sin(22 2对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分通
14、过几何直观通过几何直观,还有更简单的方法吗还有更简单的方法吗?22例例 .0,d22222zyxazyxsxI为圆周为圆周其中其中求求 解解 由于由于 szsysxddd222 I sad32323a ),d2(球面大圆周长球面大圆周长 sa有有 szyxd)(22231对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分 的方程中的的方程中的x,y,z的地位完全的地位完全对称对称,231988年研究生考题年研究生考题,填空填空(3分分)则则其周长为其周长为为椭圆为椭圆设设,13422ayxL Lsyxxyd)432(22a12解解 Lsxyd20 Lsyxd)43(1211222 Lsyxd)34(1222sLd112 a12 对称性对称性对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分 Lsyxxyd)432(220 Lsyxd)43(2224思考题思考题 是非题是非题 对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分,当利用参数方程化为当利用参数方程化为定积分计算时定积分计算时,不管起点还是终点不管起点还是终点,其下限为较其下限为较小端点的参数值小端点的参数值,上限为较大端点的参数值上限为较大端点的参数值.是是对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分25谢谢谢谢
