1、l欧拉（Euler）方程l不同情况下静止流体的等压面和静压力l压力的计量和测量l静止液体总压力l静止液体中物体的上浮力（1 1）流体静力学：）流体静力学：研究流体静止或在外力作用下处于平衡时的力学规律及其应用。2.02.0引言：引言：流体力学包括流体动力学和流体静力学流体力学包括流体动力学和流体静力学 流体静力学的基础是欧拉方程几个基本的概念（3）绝对静止流体：）绝对静止流体：相对地球坐标不动的流体。各流体质点的速度都等于。（4）相对静止流体：）相对静止流体：参考坐标相对地球运动，但流体的各部分相对此坐标是静止的。离心铸造时，铸型内的金属液相对铸型是静止。（2）静止流体：）静止流体：相对于一个
2、参考坐标，其外观和内部质点都不表现有位移的流体。（静放在铁水罐中的铁水）l表面力表面力 ：是作用在表面上的力。法向力（压力）、切向力（粘性力），表面力的大小与其表面积的大小呈正比。l质量力（体积力）：质量力（体积力）：重力、惯性力、电磁力等，质量力的大小与其质量的大小呈正比。它可以远距离作用在流体内部的每一个质点上,故称远程力。l流体静止时，表现不出粘性，宏观上无相对运动。作用在静止流体上的力只能有法向压应力和流体本身质量引起的质量力。（5 5）作用在流体上的力：）作用在流体上的力：2.12.1欧拉（欧拉（EulerEuler）方程）方程欧拉(Euler，17071783)，瑞士数学家，十八世
3、纪数学界最杰出的人物之一。欧拉还创设了许多数学符号，例如（1736年），sin和cos（1748年），tg（1753年），（1755年）等。欧拉方程：研究静止液体中单位质量流体上质量力与压力相互平衡的微分方程式。（1）欧拉简介：）欧拉简介：（2）流体静压力的基本特性：）流体静压力的基本特性：l流体静压力的方向与作用面相垂直，并指向作用面的内法线方向；l静止流体中任意点的流体静压力的大小与作用面在空间的方向无关，仅与作用点的位置有关，是坐标位置的函数。MNMNPPKP=P同理：同理：,yzppFdxdydzFdxdydzyz 1()2mpFpdx dydzx作用在流体微元上沿 x 轴方向的总静压
4、力：xmnpFFFdxdydzx 1()2npFpdx dydzx（3）欧拉方程推导：）欧拉方程推导：作用于abcd 面总压力：微元体在x,y,z方向的质量力分别为：xxyyzzFdxdydz gdxdydz XFdxdydz gdxdydz YFdxdydz gdxdydz Zx,y,z方向受力平衡：yyzz0,0,0,xxFFFFFFxyzpgXxpgYypgZz1pX-0 x1pY-0y1pZ-0z或（2-1）gx gy gz为重力加速度分量，可视为单位质量力，即质量为1时所受的力，用X,Y,Z 表达。：1pppXdxYdyZdz(dxdydz)xyzdp=(Xdx+Ydy+Zdz)（2
5、-2）对不可压缩流体，对不可压缩流体，const()UUUdpdUdxdydzxyz,UUUXYZxyz（2-3）流体静止平衡时，作用在单位质量流体上的质量力与压力的合力相互平衡，沿三个坐标轴的投影之和分别等于0。U质量力的势函数。压力分布压力分布质量力质量力 2.22.2不同情况下静止流体的等压面和静压力不同情况下静止流体的等压面和静压力等压面：等压面：由压力相同的连续点组成的面,dp=0等压面的微分方程：等压面的微分方程：0dpXdxYdyZdz（2-4）l 等压面与质量力处处正交0dpXdxYdyZdz0F ds l 等压面不能相交l 两种不同流体处于平衡状态时，相互接触分界面是 等压面
6、等压面特性：等压面特性：矢量形式：2.2.12.2.1重力场中静止流体的等压面和静压力重力场中静止流体的等压面和静压力在流体的任意点上作用的质量力只有重力。X=0,Y=0,Z=-g0gdzZconstCl只受重力作用的静止流体中等压面为平行于地面的平面族，即静止流体中同一高度上流体质点上的压力都相等。代入（2-4）得：（2-5）dpgdz pzCg（2-6）l表明液体平衡时，单位重量液体重力势能与压力能之和为常数，这里显示了机械能守恒的意义。由Euler方程：(Xdx+Ydy+Zdz)=dp将X=0,Y=0,Z=-g，代入欧拉方程得：不可压缩流体静压力基本方程重力场中静止流体中任一点的重力场中
7、静止流体中任一点的 p/g z 相等相等：静水头：压力水头：位置水头zpgpzg012120pppzzzCggg（2-7）重力场中静止流体中各点静压力计算：重力场中静止流体中各点静压力计算：若自由面上一点高度 z0,压力p0，则C=p0/g+z0代入(2-6)式，得：p=p0g(z0z)设 z0zh，则 p=p0gh静压力计算公式重力场下，静止流体重力场下，静止流体:等压面：zC任一点静压：p=p0gh基本方程：p/g z C流体静压力基本方程的物理意义：流体静压力基本方程的物理意义：在静止的不可压缩、密度均匀的流体中，任意点的单位重量流体的总势能保持不变，或者说，静静水头的连线是一条水平线。
8、水头的连线是一条水平线。P22帕斯卡定律：表面压力必将等值地传递到流体的各点上。2.2.22.2.2离心力场中相对静止流体的等压面和静压力离心力场中相对静止流体的等压面和静压力l 不考虑重力场影响，绕水平轴作圆周运动液体的等压面是以液体旋转轴线作轴线的圆柱面系列。不考虑重力，在旋转半径r处截取单位质量单位质量流体,以等角速度w水平旋转2222cos,sin,0Xrx Yry Z代入等压面微分方程（2-4）得：220 xdxydy222xyr离心力场中离心力场中等压面等压面代入欧拉方程全微分方程（2-2）得：22()xdxydydp 2220()2rprr积分：旋转圆筒壁上的离心压力计算式为：旋
9、转圆筒壁上的离心压力计算式为：2220()2RpRr离心力场中静压力计算公式2.2.32.2.3重力场、离心力场共同作用时相对静止流体重力场、离心力场共同作用时相对静止流体 的等压面和静压力的等压面和静压力作用在微元体上力：离心力和重力2222cos,sin,XrxYryZg 代入等压面微分方程（代入等压面微分方程（2-42-4）得：）得：22()0 xdxydygdz222222xygzC积分：l由式可知等速旋转容器中相对静止液体内的等压面为一系列以旋转轴为轴线的回转抛物面。自由面上：r=0 时 z=h02202srzhg（自由面方程自由面方程）222xyr由 得：222rzCg离心力+重力
10、场下液体中等压面方程(抛物面)由欧拉方程：()XdxYdyZdzdp22()dpxdxydygdz 2222()22xypgzC积分：积分：边界条件（自由面条件）边界条件（自由面条件）：r=0,z=h0时，时，p=pa又 x=r cos，y=r sin：所以0ghpCa22220()22axypg zhp离心力+重力场下液体中静压力分布公式222222()22()2aaxypgzprgzp22200()2prr l同一高度上两点压力差：同一高度上两点压力差：同一高度平面上各点压力分布规律服从离心压力分布的规律。同一高度平面上各点压力分布规律服从离心压力分布的规律。（2-14）l同一半径上不同高
11、度两点压力差：同一半径上不同高度两点压力差：21()pg zz液体中高度方向上的压力分布服从重力场中静止液体压液体中高度方向上的压力分布服从重力场中静止液体压力分布规律。力分布规律。（2-15）010100(,),(,)()r zr zrr若令h0=0，则：2222()22axypgzp222rzCg2202srzhg离心力场离心力场+重力场：重力场：求算液体中任意点的静压力与点位置的关系。自由表面高度与回转半径 r 的关系。h0：轴心处自由表面高度等压面(抛物面)方程,等压面高度与回转半径 r 的关系。ABC例题：例题：如图所示，一圆柱形容器，其顶盖中心装有一敞口的测压管，容器中装满水，测压
12、管中的水面比顶盖高h，圆柱形容器的直径为D，当它绕竖直轴z以角速度w旋转时，顶盖受到多大的液体向上的压力？Dhxz2222()22axypgzp解：pa=gh，因此：222222()()222axyrpgzpg hz上盖顶处z=0，故压强分布为：222rpgh则作用在盖顶上的液体压力为：22242/20 22644DrDDPghrdrgh例：水车沿直线等加速度行驶，水箱长例：水车沿直线等加速度行驶，水箱长l3m，高，高H1.8m，盛水深度，盛水深度h1.2m。试求确保水不溢出，加速度的。试求确保水不溢出，加速度的允许值。允许值。解：质量力：代入，积分可得：由边界条件：得：令ppa，得到自由液面
13、方程：dpXdxYdyZdz,0,Xa YZg 0,0,axzppacpssazxg cgzaxp)(使得水不溢出：那么：0.6szHhm29.8 0.63.92/1.5ssgzam sx 2.3 2.3 压力的计算和测量压力的计算和测量（1）压力单位：）压力单位：1 atm=760 mmHg=101325Pa1 mmH2O=9.81Pa ;1mmHg=133.32 Pa 1 bar=105Pa=0.1MPa 1atm1 atm=760 mmHg1 mmHg=133.32Pa=1 Torr 绝对压力：绝对压力：以压力值为零值作基准进行计算的压力。表压（计示压力）：表压（计示压力）：由压力表、测
14、压计表示的压力。真空真空：流体的绝对压力小于大气压力。ABOOOO绝对压强基准相对压强基准当地大气压A点绝对压强B点绝对压强B点相对压强A点相对压强B点真空压强相对绝对压强、相对压强、真空压强之间关系绝对压强、相对压强、真空压强之间关系压强例：立置在水池中的密封罩如图所示，试求例：立置在水池中的密封罩如图所示，试求罩内罩内A、B、C三点的压强。三点的压强。解：解：B点的压强：点的压强：PB0A点的压强：点的压强：C点的压强：点的压强：1000 9.8 1.514700()ABABABppghghPa1000 9.8 219600()cBBCBCppghghPa （2）压力测量：）压力测量：液柱
15、式压力计（测压管）液柱式压力计（测压管）金属压力计金属压力计用指针所指示的弹性金属件变形量的大小来评定流体的压力。利用传感器利用传感器（如电阻应变片、压电晶体等）将流体的压力信号转变成电信号，来测量压力的大小。例：密闭容器，侧壁上方装有例：密闭容器，侧壁上方装有U形管测形管测压计，读数为压计，读数为20cm。试求安装在水。试求安装在水面下面下3.5m处的压力表读数。处的压力表读数。例：用例：用U形管水银压差计测量水管形管水银压差计测量水管A、B两点的压强差。已知两测点的高差，两点的压强差。已知两测点的高差，压差计的读值。试求压差计的读值。试求A、B两点的压两点的压强差和测压管水头。强差和测压管
16、水头。2.4 2.4 静止液体总压力静止液体总压力总压力总压力P：作用在某一面上作用在某一面上A A的压力的压力p的总和的总和。APpdA2.4.12.4.1重力场中静止流体作用在平面上的总压力重力场中静止流体作用在平面上的总压力()aFpApgh A容器底面上承受力只有由流体产生的总压力总压力FghA流体产生的总压力只与平面面积、液深和液体的密度有流体产生的总压力只与平面面积、液深和液体的密度有关而与容器侧壁形状无关。关而与容器侧壁形状无关。注意区分液体压力与液体重量的区别。作用在倾斜面上的总压力：sindFpdAgydAsinsinAAccFdFgydAgAygh AAydA为面积A对x轴
17、的面积矩cAydAAyyc为面积A的形心到x轴的距离sinccyhhc为面积A形心的液面下深度yd总压力作用点：cdcccJyyyy Al总压力作用点总在形心下面，这是由重力压力与水深总压力作用点总在形心下面，这是由重力压力与水深成正比的原因。成正比的原因。总压力作用点D的位置根据固体力学力矩原理来求。作用于平面A上的液体总压力是一个假想体积的液体重量，该假想体积是以面积为A的平面为底，以平面形心淹深hc为高的柱体。表表2-2：规则平面形心惯性矩和形心坐标：规则平面形心惯性矩和形心坐标例：矩形平板一侧挡水，与水平面的夹例：矩形平板一侧挡水，与水平面的夹角角 ，平板上边与水面齐平，平板上边与水面
18、齐平，水深水深h3m，平板宽，平板宽b5m。试求作。试求作用在平板上的静水总压力。用在平板上的静水总压力。30o解：解：总压力的大小：总压力的大小：作用点：作用点：441()2sincchhPp Agh AgbkN322124233 sin302cDcocblIlhyylmly Abl工程上受液体压力的表面通常是曲面。作用于曲面上的各点的流体静压力均垂直于容器壁，形成了复杂的空间力系。2.4.22.4.2重力场中静止流体作用在曲面上的总压力重力场中静止流体作用在曲面上的总压力xxcxAFghdAgh A考虑一个沿宽度方向对称的二维曲面。面积为A。取坐标轴y平行于曲面的母线。曲面在xz面上的投影
19、是曲线a,b。取面积微元dA，它的淹深为h。则仅由液体作用于其上的总压为：AghFdd把dF分解成水平和垂直分力：cosddAghFxxAAdcosddd sinzFgh Ad sindzAAhc是形心的淹深 水平分力等于该曲面在垂直坐标面上的投影面上的水平分力等于该曲面在垂直坐标面上的投影面上的液体总压力液体总压力l同理同理:zzpAFghdAgV垂直分力等于曲面上方液柱体积（压力体）内液垂直分力等于曲面上方液柱体积（压力体）内液体的重量。作用线通过压力体重心。体的重量。作用线通过压力体重心。l作用在微元体上液体总压力：作用在微元体上液体总压力：22xzFFF总压力与水平线之间的夹角为 ：t
20、anzxFF若是曲面下方承受压力？总压力垂直分力向上，压力体为虚拟的液体空间abcd例题：图例题：图2-18所示的贮水容器上有三个直径都为所示的贮水容器上有三个直径都为d=0.5m的的半球形盖，已知半球形盖，已知h=1.5m，H=2.5m，水的密度，水的密度=1000kg/m=1000kg/m3 3，求每个盖上的液体总压力。求每个盖上的液体总压力。2.4.32.4.3离心总压力离心总压力00224232200224420022220()42424()4RRrrr rrFrr r drr RrRRr 径向总压力由于相互抵消，壁上的压力为零，轴向有压力。一般情形：考虑截面为环状（有芯）30602n
21、n角速度角速度(弧度弧度/秒秒)，n是每分钟转度是每分钟转度(rpm)22202()rdFprdrrrrdr2.5 2.5 静止液体中物体的上浮力静止液体中物体的上浮力阿基米德定律：沉浸在液体中物体所受的浮力等于其所排挤的液体重量。gVFs浮作业：作业：1.何谓流体的粘性和牛顿粘性定律？压力和温度对流体的粘性有何影响？2.P35:2.1 2.33.P35:2.4本章小结本章小结：作用在流体上的力（表面力和质量力）作用在流体上的力（表面力和质量力）流体静压力的基本特性：流体静压力的基本特性：欧拉（欧拉（EulerEuler）方程）方程 推导、欧拉方程、欧拉方程全微分形式推导、欧拉方程、欧拉方程全微分形式不同情况下静止流体的等压面和静压力不同情况下静止流体的等压面和静压力 等压面、等压面、重力场下、重力场下、离心力场下离心力场下压力的计量和测量压力的计量和测量静止液体总压力（平面、斜面和曲面）静止液体总压力（平面、斜面和曲面）静止液体中物体的上浮力静止液体中物体的上浮力
