1、一一.广义振动广义振动振动、波动振动、波动 横跨物理学所有领域横跨物理学所有领域 物理量在中心值附近作周期性变化物理量在中心值附近作周期性变化1.机械振动机械振动位置或位位置或位移移特征特征运动学运动学 周期性周期性动力学动力学 恢复力恢复力形态形态轨迹轨迹 直线或曲线直线或曲线形式形式 平动平动(质点质点)或转动或转动(刚体刚体)2.非非机械振动机械振动电磁振荡、交流电电磁振荡、交流电以上具有相似物理规律和研究方法以上具有相似物理规律和研究方法概述概述第第 九九 章章 振振 动动1.二二.最基本的振动最基本的振动 简谐运动简谐运动简谐运动简谐运动复杂振动复杂振动叠加叠加分解分解理想模型理想模
2、型一维平动一维平动 弹簧振子弹簧振子一维转动一维转动 复摆（含单摆）复摆（含单摆）2.9 91 1 简谐运动简谐运动 振幅振幅 周期与频率周期与频率 相位相位一一.简谐运动简谐运动0lxoAAmk以平衡位置为原点、建立图示坐标系以平衡位置为原点、建立图示坐标系偏离偏离x kxFF弹簧振子弹簧振子(一维平动一维平动 集中质量弹性系统集中质量弹性系统)xxmktx222ddk：劲度系数、一般为振动常数：劲度系数、一般为振动常数 ：角频率：角频率mk2 系统属性系统属性)cos(tAxA、：积分常数：积分常数 初始条件初始条件动力学方程动力学方程运动微分方程运动微分方程运动方程运动方程等等价价判判别
3、别式式xFm3.a.x 平衡位置平衡位置 量度量度注b.k、固有性质固有性质 与初始条件无关与初始条件无关A、初始条件初始条件 与固有性质无关与固有性质无关)cos(dd222tAtxa)cos(tAx)sin(ddtAtxvc.vmam周期性函数周期性函数t 或或(t+)d.推广推广 角谐振动角谐振动(5(93)4.例例 证明下列振动仍为简谐振动证明下列振动仍为简谐振动,并求固有量并求固有量(k,)（1）将弹簧振子竖直悬挂，已知平衡时弹簧将弹簧振子竖直悬挂，已知平衡时弹簧伸长量为伸长量为 l0（2）如图所示，两弹簧串联，水平面光滑如图所示，两弹簧串联，水平面光滑 l0kmk1k2m讨论讨论:
4、动力学分析动力学分析 判断振动性质，求固有量判断振动性质，求固有量(动和静动和静)平衡位置，偏离量平衡位置，偏离量x()、力、力(矩矩)分析分析5.1.振幅振幅 A最大位移最大位移 表征能量表征能量maxxA)cos(tAxAA xT2Tto二二.简谐运动的运动学描述简谐运动的运动学描述 2.周期与频率周期与频率)(cosTtA)2cos(tA比较比较2T即即22TkmT2弹簧振子固有周期弹簧振子固有周期单位时间单位时间,全振动次数的全振动次数的2 倍倍、T、固有量，取决振动系统动力学特征固有量，取决振动系统动力学特征6.kt2 3.相位相位”“)(ttf由前知由前知xva t 时状态时状态(
5、相相)kt22kt223kt2k=0,1,2,x=A,v=0 x=0,v 0(或 )2一般取一般取k=0 描述描述2k 重复性重复性)cos(tAx如如 t=0 则则 初始状态初始状态7.任意角任意角(4(4个象限个象限)arctan()(002020 xvvxA4.常数常数A 的确定的确定(解析法解析法)、t=0cos0Ax sin0Av再结合再结合v0(0、=0、0)判断判断或或A0arccosx8.92 旋转矢量旋转矢量一一.简谐运动与匀速圆周运动简谐运动与匀速圆周运动如图所示如图所示A旋转矢量旋转矢量xoA0M0P),(000PMt),(PMt2 ttmvvxyAnaaoAtxPM9.
6、矢端矢端M投影点投影点P关系关系运动性质运动性质 匀速率匀速率 圆周运动圆周运动 简谐振动简谐振动 合与分合与分 角频率角频率 同上同上 同上同上角速度角速度(逆逆)t=0 角位置角位置t 时时角位置角位置相位相位初相位初相位(t )数值相等数值相等M2 ttmvvxyAnaaoP10.注b.旋矢图旋矢图相位相位状态状态一一 一对应一对应a.规定规定、象限象限 正角，正角，一般：一般：象限象限 负角负角二二.旋转矢量法旋转矢量法1.表示谐振动（三要素）表示谐振动（三要素）oxPx0v0A3)3cos(tAx2.描绘描绘xt 曲线曲线3.确定初相位确定初相位 (或相位或相位)(几何法几何法)11
7、.xAoA2A20v2/A1AP10v由图知由图知32313432讨论讨论:如振子如振子P，t=0 时处于下状态，求时处于下状态，求(1)0200vAx(2)0200vAx;1212)()(tt相位差相位差(初相差初相差)规定规定逆时针在前为超前逆时针在前为超前4.相位差相位差(同频率同频率)两振动两振动“步调步调”对对(a)图图 x2超前超前x1 (21)(b)图图 x1 超前超前 x2 /2 或或 x2滞后滞后 x1 /2ox 11A 22A图图(a)ox1A2A图图(b)2312.xto0212Ax1Aotxo2Ax1Ao21,05.t 或或 xAoA2/AAP回到平衡位置回到平衡位置(
8、第一次第一次)如振子由初始状态如振子由初始状态(x0=A/2,v00如如 =2-10)(sin)cos(21221221222212AAxyAyAxx超前超前y 逆时针旋转逆时针旋转(左旋左旋)y 超前超前x 顺时针旋转顺时针旋转(右旋右旋)28.*三三 .多个同方向同频率简谐运动多个同方向同频率简谐运动的的合成合成)cos(tAxtAxcos11)2cos(33tAx)1(cosNtAxNN如如:)cos(22tAx相位差依次恒为相位差依次恒为合运动仍为简谐运动合运动仍为简谐运动0A0AR2NoCBDEGR如如021AAAAN则则2sin2sin0NAA21NA29.讨论讨论:a.若若k22
9、,1,0k0A0A0A0A0A0AA0AA0ARNoCBDb.若若kN2,3,2,2,1NNNkk但（N个矢量构成一闭合图形）个矢量构成一闭合图形）0A如如（如图）（如图）721,5则kN如如（如图）（如图）1442,5则kN0A72727214414414414472同相合成同相合成0NAA 最大最大30.c.次级大次级大)12(k四四.两个同方向不同频率简谐运动合成两个同方向不同频率简谐运动合成拍拍一般：合运动一般：合运动 不是谐振动不是谐振动讨论讨论 ,的情况的情况 21AA 211231.)2cos(1111tAx)2cos(2222tAx21xxx合运动合运动)22(cos22cos
10、212121ttA如如02121AA随随t 变化的振幅变化的振幅)(tA振动因子振动因子221可证明可证明 拍频拍频 振幅变化的频率振幅变化的频率12拍32.比较比较证明证明(1)解析法解析法)22cos(222cos2121121tAtA)1(22cos212121tA12拍1T证明证明(2)旋矢法旋矢法xo2A21A112从两振动同相从两振动同相 再次同相再次同相21由相对运动由相对运动1212拍12T拍现象应用领域拍现象应用领域 声学、无线电技术、速度测量声学、无线电技术、速度测量33.一一.阻尼振动阻尼振动简谐运动简谐运动 理想理想 等幅等幅 守恒守恒22ddtxmCvkx0)(dd)
11、(dd22xmktxmCtx96 阻尼振动阻尼振动 受迫受迫振动振动 共振共振实际实际 阻尼阻尼C 为常数为常数CvFf设设如如 2 02 其解为其解为)cos(etAxttOxAA)0(TtAtcosetAe式中式中A,初始条件初始条件0e tA02202 0234.讨论讨论:临界阻尼临界阻尼工程中有很多应用工程中有很多应用c.临界阻尼临界阻尼220b.过阻尼过阻尼 220a.欠阻尼欠阻尼220otxabc35.二二.受迫振动受迫振动)(mFf tfxtxtxp2022cosdd2dd周期性简谐外力周期性简谐外力tFpcos22pddcostxmtFCvkx则则其解其解)cos()cos(e
12、p0tAtAxt暂态响应暂态响应稳态响应稳态响应特征特征 稳定后稳定后 )cos(ptAx(谐振动谐振动),多种因素有关多种因素有关(如如 0、P、)振动频率振动频率 驱动外力驱动外力 P机械能守恒机械能守恒0内非外WW36.三三.(位移位移)共振共振220r2共振频率共振频率220r2fA),0(r0rA大阻尼0阻尼小阻尼pA0*另速度共振另速度共振 电流谐振电流谐振(选频选频)0d)d(pA令令0r速度最大速度最大0ddpA令令共振共振 有弊也有利有弊也有利2p22p204)(fA37.一一.振荡电路振荡电路 无阻尼自由电磁振荡无阻尼自由电磁振荡LC S97 电磁振荡电磁振荡LC电路电路(
13、无阻尼情况无阻尼情况)电荷与电流电荷与电流电场与磁场电场与磁场周期性转换周期性转换L0Q+0QCE(a)L0Q+0QCE(c)LCB(b)LCB(d)I0I038.二二.无阻尼电磁振荡的振荡方程无阻尼电磁振荡的振荡方程LC 电路电路)2cos()sin(dd00tItQtqiCqVVtiLBAdd)dd(tqi)cos(0tQqt:)1(20LCqLCtq)1(dd22CqtqL22dd有有LCT22振动周期振动周期广义广义简谐简谐运动运动39.三三.无阻尼电磁振荡的能量无阻尼电磁振荡的能量)(cos222202etCQCqE)(sin2)(sin21212202202mtCQtLILiECQ
14、LIEEE2212020met:电容器电容器电感线圈电感线圈总能量总能量守恒守恒40.*98 简述非线性系统简述非线性系统一一.线性系统线性系统(理想或近似理想或近似)特征特征1.动力学行为动力学行为 满足满足(一组一组)线性微分方程线性微分方程2.其解其解 满足线性叠加原理满足线性叠加原理3.由由 精确描述动力学过程精确描述动力学过程边界条件边界条件初始条件初始条件确定性确定性二二.非线性系统非线性系统(实际实际,普遍普遍)特征特征1.叠加原理不成立叠加原理不成立2.初始条件不同初始条件不同,会导致很不相同运动形式会导致很不相同运动形式3.可能出现完全随机混沌行为可能出现完全随机混沌行为41.0dd12212t讨论讨论:小角度小角度(线性系统线性系统)和大角度和大角度(非线性系统非线性系统)物理行为物理行为1.小角度摆小角度摆(5)!5!3sin53不满足线性叠加原理不满足线性叠加原理近似：两个不同频率谐振动合成（复杂振动）近似：两个不同频率谐振动合成（复杂振动）)161(20A其中其中与与A（能量，初始条件）有关（能量，初始条件）有关43.
