1、14.2 乘法公式第十四章 整式的乘法与因式分解 导入新课讲授新课当堂练习课堂小结14.2.1 平方差公式 八年级数学上（RJ）教学课件学习目标1.经历平方差公式的探索及推导过程，掌握平方差经历平方差公式的探索及推导过程，掌握平方差 公式的结构特征公式的结构特征.（重点）（重点）2.灵活应用平方差公式进行计算和解决实际问题灵活应用平方差公式进行计算和解决实际问题.（难点）（难点）导入新课导入新课复习引入多项式与多项式是如何相乘的？（2x-3)(x5）=2x210 x-3x-15=2x27x-15.问题：问题：地主羊大把一块边长为地主羊大把一块边长为a米的正方形土地租给了米的正方形土地租给了佃户
2、羊二一天，羊大对羊二说：佃户羊二一天，羊大对羊二说：“我把这块地向北减我把这块地向北减少少3米，再向东增加米，再向东增加3米，反正面积没变，你就租这块新米，反正面积没变，你就租这块新的地吧，你看如何？的地吧，你看如何？”羊二他没文化，听得一脸茫然，羊二他没文化，听得一脸茫然，对羊大说：对羊大说：“老爷，听您的老爷，听您的”你认为羊二吃亏了吗？为什么？你认为羊二吃亏了吗？为什么？创设情境，引入新课创设情境，引入新课3米米3米米a米米a2(a-3)米米(a+3)米米(a+3)(a-3)3米米3米米a米米(a-3)(a+3)米米a2(a+3)(a-3)创设情境，引入新课创设情境，引入新课解：羊二吃亏
3、了理由：原正方形的面积为a2，改变边长后面积为(a3)(a3)a2-3a+3a-9 a2-9，a2a2-9，羊二吃亏了aa3 a2 -3aa3(a+3)(a-3)几何验证几何验证aabbaab几何验证几何验证(a+b)(a-b)a2 b2-(a+b)(a-b)=a2-b2是否成立？是否成立？因为因为(a+b)(a-b)=a2-b2-ab+ab=a2-b2成立成立-ab+ab代数方法证明代数方法证明公 式 特 征 认真观察平方差公式认真观察平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2有怎样的结构特征？有怎样的结构特征？思考方向：思考方向：.等式左边的多项式有何特点？等式左边的多项式有何特点？.等式
4、右边与等式左边两个多项式有什么关系？等式右边与等式左边两个多项式有什么关系？.公式中的公式中的a,b可以表示什么？可以表示什么？公 式 特 征注：这里的a，b可以是两个单项式也可以是两个多项式 (a+b)(a-b)=a2-b2 相同项a 相反项b（相同项）（相同项）（相反项）（相反项）(1+x)(1-x)(-3+a)(-3-a)(0.3x-1)(1+0.3x)(1+a)(-1+a)aba2-b21x-3a12-x2(-3)2-a2a1a2-12 0.3x1(0.3x)2-12指出下列各式哪是公式中的指出下列各式哪是公式中的a,哪是哪是b?(a+b)(a b)=a2-b2例1 计算：（-x+2y
5、)(-x-2y).解：原式(-x)2-(2y)2x2-4y2.注意：1.先把要计算的式子与公式对照;2.哪个是a?哪个是b?公式应用公式应用法1法2利用平方差公式，可以简化运算.1.下列那些式子能用平方差公式下列那些式子能用平方差公式 2.下面各式的计算正确吗？如果不正确，应该怎样改正？下面各式的计算正确吗？如果不正确，应该怎样改正？4方法总结：应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题：(1)左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；(2)右边是相同项的平方减去相反项的平方；(3)公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式利用平方差公式计算：(1)(3x
6、5)(3x5)；(2)(2ab)(b2a)；(3)(7m8n)(8n7m)针对训练解：(1)原式=(3x)2529x225；(2)原式=(2a)2b24a2b2；(3)原式=(7m)2(8n)249m264n2；例2 计算:(1)10298;(2)(y+2)(y-2)(y-1)(y+5).解:(1)10298（2）(y+2)(y-2)-(y-1)(y+5)=1002-22=10000 4=（1002）(1002)=9996；=y2-22-(y2+4y-5)=y2-4-y2-4y+5=-4y+1.通过合理变形，利用平方差公式，可以简化运算.不符合平方差公式运算条件的乘法，按多项式乘多项式法法则进
7、行运算.针对训练(2)原式=(3x)2-42-(6x2+5x-6)=9x2-16-6x2-5x+6=3x2-5x-10.3.计算：计算：20172 20162018.解：20172 20162018=20172 (20171)(2017+1)=20172(2017212)=20172 20172+12=1.6.利用平方差公式计算：利用平方差公式计算：（1）.（a-2)(a+2)(a2+4)；解：原式解：原式=(a2-4)(a2+4)=a4-16.(2).(x-y)(x+y)(x2+y2)(x4+y4).解：原式=（x2-y2)(x2+y2)(x4+y4)=（x4-y4)(x4+y4)=x8-y
8、8.1.1.本节课你有何收获？本节课你有何收获？2.2.你还有什么疑问吗？你还有什么疑问吗？一个一个(1)(1)简化某些多项式的乘法运算简化某些多项式的乘法运算(2)(2)提供有理数乘法的速算方法提供有理数乘法的速算方法两种作用两种作用公式中的公式中的a，b可表示可表示 (1)单项式单项式 (2)具体数具体数 (3)多项式多项式三个表示三个表示 课堂小结课堂小结紧紧抓住“一同一反”这一特征，在应用时，只有这样的两个二项式的积才有可能应用平方差公式；对于不能直接应用公式的，可能要经过变形才可以应用课堂小结课堂小结平 方 差公式内容注意两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差1.符号表示
9、：（a+b)(a-b)=a2-b22.紧紧抓住“一同一反”这一特征，在应用时，只有两个二项式的积才有可能应用平方差公式；对于不能直接应用公式的，可能要经过变形才可以应用1.下列运算中，可用平方差公式计算的是()A(xy)(xy)B(xy)(xy)C(xy)(yx)D(xy)(xy)当堂练习当堂练习C2.计算（2x+1）（2x-1）等于（）A4x2-1 B2x2-1 C4x-1 D4x2+1 A3.两个正方形的边长之和为5，边长之差为2，那么用较大的正方形的面积减去较小的正方形的面积，差是_10（1）(a+3b)(a-3b)；=4a29；=4x4y2.原式=(2a+3)(2a-3)=a29b2；
10、=(2a)232 原式=(-2x2)2y2 原式=(a)2(3b)2（2）(3+2a)(3+2a)；（3）(2x2y)(2x2+y).4.利用平方差公式计算：利用平方差公式计算：5.计算：计算：20152 20142016.解：20152 20142016=20152 (20151)(2015+1)=20152（2015212)=20152 20152+12=1（1）（）（a-2)(a+2)(a2+4)解解:原式原式=(a2-4)(a2+4)=a4-16.(2)(x-y)(x+y)(x2+y2)(x4+y4).解：原式=（x2-y2)(x2+y2)(x4+y4)=（x4-y4)(x4+y4)=
11、x8-y8.7.先化简，再求值：(x1)(x1)x2(1x)x3，其中x2.解：原式=x21x2x3x3=2x21.将x2代入上式，原式=222-1=7.8.已知x1，计算：(1x)(1x)1x2，(1x)(1xx2)1x3，(1x)(1xx2x3)(1)观察以上各式并猜想：(1x)(1xx2xn)_；(n为正整数)(2)根据你的猜想计算：(12)(1222232425)_；222232n_(n为正整数)；(x1)(x99x98x97x2x1)_；拓展提升1xn+1-632n12x1001(3)通过以上规律请你进行下面的探索：(ab)(ab)_；(ab)(a2abb2)_；(ab)(a3a2b
12、ab2b3)_a2b2a3b3a4b4课堂小结课堂小结平 方 差公式内容注意两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差1.符号表示：（a+b)(a-b)=a2-b22.紧紧抓住“一同一反”这一特征，在应用时，只有两个二项式的积才有可能应用平方差公式；对于不能直接应用公式的，可能要经过变形才可以应用（x 1)(x1）；）；（m 2)(m2）；）；（2m 1)(2m1）；）；（5y z)(5yz）.计算下列多项式的积，你能发现什么规律？算一算：看谁算得又快又准.（m 2)(m2）=m2 4（2m 1)(2m1)=4m2 1（5y z)(5yz)=25y2 z2（x 1)(x1）=x2 1，想一想：这些计算结果有什么特点？x2 12m222(2m)2 12(5y)2 z2
