1、 实变函数论实变函数论 第6、7讲 2 开集、闭集与 完备集 3 p进位表数法进位表数法1PPT课件2 、开集、闭集、完备集、开集、闭集、完备集1、概念0(1),EEE若则 称为 开 集(2),EEE 若则 称为 闭 集(3),EEE若则 称为 自 密 集EEE(4)若则称为完备集,(,)EPEN PE存在为开集EE 无孤立点的闭集注：等价定义E自密无为集孤立点的集,PEPEE为闭集必有EE为完备集为自密的闭集例：有限集2PPT课件2、例1:222(1)R 中集合E=(x,y)|x+y 1是开集?闭集?自密集?完备集?111(2)1,.,.?23En呢1 11(3)0,1,.,.?2 3En呢
2、1(4)(0,1)?RE 中点集呢（5）有理数集Q呢？例例2 2 证明点集证明点集FFF 为为闭集闭集的充要条件是的充要条件是3PPT课件 3、性质性质问：性质（问：性质（1）有什么作用？）有什么作用？（1）开集与闭集的对偶性）开集与闭集的对偶性定理2开集的开集的余余集为闭集，集为闭集，闭集的闭集的余余集是开集集是开集（3）定理定理4、6任意多个开集的任意多个开集的并并开，有限多个开集的开，有限多个开集的交交开开（2）定理定理3、5任意多个闭集的任意多个闭集的交交闭，闭，有限多个闭集的有限多个闭集的并并闭闭（4）定理定理1 对任意集合对任意集合E，E的的内部内部开，开，E的的导集导集、E的的闭
3、包闭包闭闭链接1.doc链接3.doc4PPT课件01;EEEE、求点集的诸集1sin,0,1(,)|0,0 xEx yyxx（）0(0,)|11;EEyyEEEEE 练习练习5PPT课件4.海涅波雷尔有限覆盖定理（定理海涅波雷尔有限覆盖定理（定理7）：）：,nR 中有界闭集的开覆盖 必有有限子覆盖证法1-数学分析的反证方法：造闭矩形套，套出一点，一方面不能有限覆盖，另一方面又可以，矛盾，得证（自练）证法2-用数学分析中的有限覆盖定理-开区间集覆盖闭区间（这里的开区间指的是n维欧氏空间中的开矩形）-对n维欧氏空间中的闭区间，若存在一族开区间覆盖闭区间，则能选出有限的开覆盖。（证）121|,nn
4、niiFRGFGFG GGGF设 是中一有界闭集,为开集族 覆盖了即则一定存在有限个开集,使得6PPT课件,nCFIRIFF因为 有界 所以存在闭区间使得且为开集,CnFRI 令则 覆盖了也覆盖了(,),PPPIPGPI必有开区间且|,PPPGIPI IGI开区间族覆盖了,GI由数学分析中的有限覆盖定理知,中必存在有限个开区间将 覆盖12,.,nPPPIII设为1,1,2,.,iiinPPPiFIIGinFG因,CFn若不在这 个开集中问题得证,1CCCFnFFFnF若在这 个开集中由于与 不交 故去掉后剩下个开集仍将 覆盖证明证明,pPPIGPG 于是使得7PPT课件5.Cantor三分集(
5、1)0 1E定义，“三等分，去中间”余下的集合为康托三分集1)0,1EE；（）002)0,10,1)EGCG为闭集；(2)性质3)EEE为自密集；(4)EEE为完备集；(8PPT课件6)EEE为疏朗集（无处稠密集）-如果集合 的闭包 不包含任何邻域1231 11 11,2,3,.0,1,.1,.2 32 3AAA例：，都是疏朗集。7)E c=5)E无内点212311118)1(22.2.)03333nnE 的长度=EE（的闭包 没有内点）9PPT课件10PPT课件11PPT课件 12PPT课件Nova分形13PPT课件十进制小数 相应于 对0,1十等分二进制小数 相应于 对0,1二等分三进制小
6、数 相应于 对0,1三等分【注1】对应0,1十等分的端点有两种表示，0.2000000 0.1999999 （十进制小数）第一次十等分确定第一位小数第二次十等分确定第二位小数3 p进位表数法进位表数法14PPT课件寰宇浏览器 http:/ 编辑：frgtrvrttrt6675815PPT课件 例：例：设 E是Cantor三分集，证明：Ec证明：,xE 用三进制表示的小数表示 x，则 12300.,1,2,.2ixa a aai1230.,021,2,.iEx xa a aai集合或者，将集合0,1中的元素x用二进制表示，则1230.,iyb b bbi0=,=1,2,.，1可见，12300.,1,2,.2iEx xa a aai与1 2 30 10.,iy ybb bbi0，=,=1,2,.1一一对应0,1所以，E与一一对应，Ec,所以。16PPT课件小结:1.定义：定义：开集：开集：闭集闭集:自密集：自密集：完备集完备集：2.性质：性质：1）开、闭集的对偶性 2）开集开集任意多并、有限交仍开；闭集闭集任意多交、有限并仍闭0EEEE EE EE 作业：作业：P35 13.Cantor三分集及其性质17PPT课件
