1、 第一章第一章 数学预备知识数学预备知识1-1 1-1 微分方程的一般概念微分方程的一般概念1-2 1-2 一阶常微分方程的基本解解法一阶常微分方程的基本解解法 1-3 1-3 高阶线性常微分方程解法高阶线性常微分方程解法1-4 1-4 变分法的基本概念变分法的基本概念1-5 1-5 矩阵代数的基础知识矩阵代数的基础知识1-6 1-6 函数的级数展开函数的级数展开 凡含有未知函数的导数（偏导数）或微分的方程叫凡含有未知函数的导数（偏导数）或微分的方程叫微分方程微分方程.是联系是联系自变量自变量,未知函数以及未知函数的某些导数未知函数以及未知函数的某些导数(或微分或微分)之间的关系式。微分之间的
2、关系式。微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数称之微分方程的阶方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数称之微分方程的阶,根据组成方程的未知函数个数根据组成方程的未知函数个数,微分的性质微分的性质,幂次等幂次等,可分为可分为常微分方常微分方程、偏常微分方程、线性与非线性微分方程以及微分方程组，等等程、偏常微分方程、线性与非线性微分方程以及微分方程组，等等,yxy 23xyyyezxyx一、微分方程的定义及分类一、微分方程的定义及分类()(1)(,)nnyf x y yy2()20 x yyyx322yyzzyz 1 11 1 微分方程的一般概念微分方程的一般概念二阶常系数非其次微分方程二阶常系
3、数非其次微分方程.一阶非线性常微分方程一阶非线性常微分方程.n阶常微分方程阶常微分方程.偏微分方程偏微分方程.一阶常微分方程一阶常微分方程常微分方程组常微分方程组()()yP x yQ x代入微分方程能使方程成为恒等式的函数称之微分方程的代入微分方程能使方程成为恒等式的函数称之微分方程的解解.设设 在区间在区间 I I 上有上有 n n 阶导数，使得阶导数，使得 ()yx()(,)0.nF x y yy二、微分方程的求解则称则称 为方程为方程 的解的解 微分方程的解概念微分方程的解概念 (1)(1)通解通解:微分方程的解中含有任意常数微分方程的解中含有任意常数,且任意常数且任意常数的个数与微分
4、方程的阶数相同的个数与微分方程的阶数相同.()yx,yy 例xyce通解0yy12sincosycxcx通解(2)(2)特解特解:确定了通解中任意常数以后的解。确定了通解中任意常数以后的解。(),(),(),()0nF xxxx过定点的积分曲线过定点的积分曲线;00),(yyyxfyxx一阶一阶:二阶二阶:0000,),(yyyyyyxfyxxxx过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线。过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线。（5）初值问题初值问题:求微分方程满足初始条件的解的问题求微分方程满足初始条件的解的问题（4）初始条件初始条件:用来确定任意常数的条用来确定任意常数的条件件（3）
5、解的图象解的图象:微分方程的积分曲线微分方程的积分曲线(族族)解解,cossin21ktkCktkCdtdx ,sincos221222ktCkktCkdtxd ,22的表达式代入原方程的表达式代入原方程和和将将xdtxd.0)sincos()sincos(212212 ktCktCkktCktCk.sincos21是是原原方方程程的的解解故故ktCktCx ,0,00 ttdtdxAx.0,21 CAC所求特解为所求特解为.cosktAx 一、可分离变量的微分方程一、可分离变量的微分方程()()g y dyf x dx的方程为可分离变量的微分方程的方程为可分离变量的微分方程.4252dyx
6、ydx4252ydyx dx解法解法 dxxfdyyg)()(CxFyG )()(为微分方程的解。上例方程的解为为微分方程的解。上例方程的解为分离变量法分离变量法1 12 2 一阶常微分方程的解法一阶常微分方程的解法13523yxC形如形如例如例如二、齐次方程二、齐次方程)(xyfdxdy 形如形如的微分方程称为的微分方程称为齐次方程齐次方程.2.解法解法,xyu 作变量代换作变量代换,xuy 即即代入原式代入原式,dxduxudxdy ),(ufdxduxu .)(xuufdxdu 即即可分离变量的方程可分离变量的方程1.1.定义：定义：1()0ln,uuf uuC xxCef uud当时,
7、得即()()yxduyuuxCef uux其中，将代入，可得通解0000()0uf uuuu当存在,使，则是新方程的解，0,yu x代回原方程得齐次方程的解为。)()(xQyxPdxdy 1、一阶线性微分方程的标准形式、一阶线性微分方程的标准形式:,0)(xQ当当齐次方程齐次方程,0)(xQ当当三、三、一阶线性微分方程一阶线性微分方程 非齐次方程非齐次方程.0)(yxPdxdy,)(dxxPydy ,)(dxxPydy,ln)(lnCdxxPy 齐次方程的通解为齐次方程的通解为.)(dxxPCey1）线性齐次方程线性齐次方程2、一阶线性微分方程的解法、一阶线性微分方程的解法(使用分离变量法使用
8、分离变量法)2）线性非齐次方程）线性非齐次方程).()(xQyxPdxdy 讨论讨论,)()(dxxPyxQydy 两边积分两边积分,)()(ln dxxPdxyxQy),()(xvdxyxQ为为设设,)()(ln dxxPxvy.)()(dxxPxveey即即非齐次方程通解形式非齐次方程通解形式与齐次方程通解相比与齐次方程通解相比 ()v xCu xe把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法.常数变易法常数变易法实质实质:未知函数的变量代换未知函数的变量代换.),()(xyxu原原未未知知函函数数新新未未知知函函数数作变换作变换 dxxPexuy)
9、()(,)()()()()(dxxPdxxPexPxuexuy代代入入原原方方程程得得和和将将yy,)()()(CdxexQxudxxP ),()()(xQexudxxP 积分得积分得一阶线性非齐次微分方程的通解为一阶线性非齐次微分方程的通解为:dxxPdxxPeCdxexQy)()()(dxexQeCedxxPdxxPdxxP )()()()(对应齐次对应齐次方程通解方程通解非齐次方程特解非齐次方程特解例例:如图所示，平行与如图所示，平行与 y 轴的动直线被曲线轴的动直线被曲线 与与 截下的线段截下的线段PQ之长数值上等于阴影部分的面之长数值上等于阴影部分的面积积,求曲线求曲线 .)(xfy
10、 )0(3 xxy)(xf,)()(230yxdxxfx xyxydx03,两边求导得两边求导得,32xyy 解解:解此微分方程解此微分方程xyoxPQ3xy )(xfy dxexCeydxdx23,6632 xxCex,0|0 xy由由,6 C得得所求曲线为所求曲线为).222(32 xxeyx一、定义一、定义)(1)1(1)(xfyPyPyPynnnn n 阶常系数线性微分方程的标准形式阶常系数线性微分方程的标准形式0 qyypy二阶常系数线性方程的标准形式二阶常系数线性方程的标准形式)(xfqyypy 3 33 3 高阶常系数线性微分方程高阶常系数线性微分方程(齐次齐次)(非齐次非齐次)
11、二、二阶常系数齐次线性方程解法二、二阶常系数齐次线性方程解法-特征方程法特征方程法,rxey 设设将其代入上述齐次方程将其代入上述齐次方程,得得0)(2 rxeqprr0rxe，从而得到特征值从而得到特征值02 qprr特征方程特征方程,2422,1qppr 讨论讨论:,2421qppr ,2422qppr ,11xrey ,22xrey 两个线性无关的特解两个线性无关的特解齐次方程的通解为齐次方程的通解为1212r xr xyC eC e2(40)pq 特征根为特征根为 (a)(a)有两个不相等的实根有两个不相等的实根 (a)(a)有两个相等的实根有两个相等的实根2(40)pq 特征根为特征
12、根为12,2prr 11r xye一特解为一特解为得齐次方程的通解为得齐次方程的通解为112()r xyCC x e0,u()u xx取12r xyxe,则12()r xyu x e另一特解设为另一特解设为代入原方程可求得代入原方程可求得二阶常系数齐次微分方程求通解的一般步骤二阶常系数齐次微分方程求通解的一般步骤:（1）写出相应的特征方程）写出相应的特征方程;（2）求出特征根）求出特征根;（3）根据特征根的不同情况）根据特征根的不同情况,得到相应的通解得到相应的通解.02 qprr0 qyypy 特征根的情况特征根的情况 通解的表达式通解的表达式12 rr实根12 rr实根1 2 ri，复根1
13、212r xr xyC eC e1212r xr xyC exC e12cossinxyeCxCx特征方程特征方程齐次方程齐次方程三、三、n阶常系数齐次线性方程解法阶常系数齐次线性方程解法01)1(1)(yPyPyPynnnn特征方程为0111 nnnnPrPrPr特征方程的根特征方程的根通解中的对应项通解中的对应项 kr若是 重根 rxkkexCxCC)(1110 ki若是重共轭复根 xkkkkexxDxDDxxCxCC sin)(cos)(11101110结论结论:由常系数齐次线性方程的特征方程的根确定其通解的由常系数齐次线性方程的特征方程的根确定其通解的方法称为方法称为特征方程法特征方程
14、法。n 次代数方程有次代数方程有 n 个根个根,而特征方程而特征方程的每一个根都对应着通解中的一项的每一个根都对应着通解中的一项,且每一项各一个任意常且每一项各一个任意常数数.nnyCyCyCy 2211特征根为特征根为123451,rrrj rrj 故所求通解为故所求通解为12345()cos()sinxyC eCC xxCC xx54322210rrrrr 特征方程为特征方程为22(1)(1)0rr(5)(4)(3)220yyyyyy求方程的通解440yyy求方程的通解解：解：特征方程为特征方程为2440rr122rr 故所求通解为故所求通解为212()xyCC x e例例2 2 解得解得
15、例例1 1 解：解：四、二阶常系数非齐次线性微分方程四、二阶常系数非齐次线性微分方程()ypyqyf x对应齐次方程0ypyqy通解结构*yYyYy（齐次方程通解，-非齐次方程特解）非齐次线性方程设非齐方程特解为设非齐方程特解为*()xyQ x e代入原方程代入原方程 2()(2)()()()mQ xp Q xpq Q xPx(1)若 不是特征方程的根20pq()()(mQ xQxm可设次多项式）,则*()xmyQx e()(),()xmmf xe P xP x（其中为多项式）四、二四、二阶常系阶常系数非齐数非齐次线性次线性微分方微分方程程 讨论：(2)若是 特 征 方 程 的 单 根20,2
16、0pqp()(),mQ xxQx可 设则;)(*xmexxQy(3)0,20pqp2若 是特征方程的重根,即2()(),mQ xx Qx可设则综上讨论可设*(),kxmyx e Qx012k不是根是单根是重根注意上述结论可推广到上述结论可推广到n阶常系数非齐阶常系数非齐次线性微分方程（次线性微分方程（k是重根次数）是重根次数）*2()xmyx Qx e特别地xypyqyAe2*2,22xxxAepqAyxepAx e不是特征方程的根是特征方程的单根是特征方程的重根2yyx 例例 求求微微分分方方程程的的通通解解。02 rr解：解：1,0 rrxeccY21)(2cbxaxxy cbxaxy 2
17、32baxy26 222326xcbxaxbax 2,1,31 cba3212123xyxxxcc e 方方程程的的通通解解 1 14 4 变分原理变分原理泛函的定义泛函的定义 自变量是具有一定条件的函数，因变量是自变量是具有一定条件的函数，因变量是普通变量的函数关系定义为泛函。即普通变量的函数关系定义为泛函。即泛函是函数的函数泛函是函数的函数。记为记为:以积分形式构筑泛函关系以积分形式构筑泛函关系 若若I y 是以是以 定义定义域的泛函，其中域的泛函，其中 是在区间是在区间a a，bb上的分段连续上的分段连续的函数集，则的函数集，则 I y 可表示为可表示为 一、泛函的基本知识一、泛函的基本
18、知识()baIy x dx ()Cy x ()Cy x IIy x 例如：例如：A、B 间任一曲线长度为间任一曲线长度为21()baLydx ab()yy x ABcdxyo泛函一般形式泛函一般形式()(,)badyI y xf x ydxdx 或或(,)baIf x y y dx 二、函数的变分二、函数的变分()()yY xy x 定义定义 函数函数y的微小增量的微小增量被称为函数被称为函数 y(x)的变分的变分力学意义力学意义y oxy()yy x dxdyABCDy 结构构件的虚位移结构构件的虚位移其中其中AB 为梁的挠度曲线为梁的挠度曲线CDCD为该梁发生虚位移后的一段挠度曲线为该梁发
19、生虚位移后的一段挠度曲线与导数关系与导数关系导数的变分等于变分的导数导数的变分等于变分的导数()()dydydxdx 三、泛函的变分三、泛函的变分d()bbaaffIf xyy dxyy 因而有因而有泛函泛函Iy(x)的变分可由的变分可由泛函泛函(,)f x y y的变分获得的变分获得,而而fffyyyy(,)f x y y的变分可由由泰勒级数展开法则推导获得的变分可由由泰勒级数展开法则推导获得,即即四、泛函的极值问题变分问题四、泛函的极值问题变分问题如同函数取得极值所要满足的条件一样如同函数取得极值所要满足的条件一样,泛函取到极值的条件为泛函取到极值的条件为0I ()0fdfydxy ()式
20、即为求解极值曲线的微分方程式即为求解极值曲线的微分方程.()例例ab()yy x ABcdxyo求图中求图中AB曲线为最短时的函数曲线为最短时的函数21()baILydx 21()fy于是于是 y x20,1()ffyyyy 2001()dydxy 21()yCy 并且并且由极值条件得由极值条件得从而得从而得12()yy xC x C 可见最短为一条直线，其中的可见最短为一条直线，其中的C C1 1和和C C2 2可由边界条件求得可由边界条件求得1、二阶行列式的概念、二阶行列式的概念设有数表a11称数a11 a22a12 a21为对应于数表(1)的二阶行列式，记为：22211211aaaa副对
21、角线副对角线主对角线主对角线 定义定义a12a21a2221122211aaaa()()一、一、n 阶行列式的定义阶行列式的定义1-5 1-5 矩阵代数的基础知识矩阵代数的基础知识引进记号：引进记号：称为对应于数表称为对应于数表(3)(3)的三阶行列式的三阶行列式312312aaa322113aaa312213aaa332112aaa322311aaa332211aaa2 2、三阶行列式、三阶行列式定义定义 设有数表设有数表333231232221131211aaaaaaaaa333231232221131211aaaaaaaaa(+)(+)(+)()()()D主对角线副对角线31521413
22、2511753125)2()3(14134)3(1)2(2例如：例如：nnnnnnaaaaaaaaaD2122221112111212()12(1)nnj jjjjnjDa aan阶行列式阶行列式定义定义 3 3、n n阶行列式的定义阶行列式的定义D)(21)1(niiiniiinaaa2121nnjijijiaaa2211)1()(21niii)(21njjjDD的展开式为的展开式为:或者或者定理定理 (克莱姆法则克莱姆法则)11212111bxaxaxann22222121bxaxaxannnnnnnnbxaxaxa2211若系数行列式0212222111211nnnnnnaaaaaaaa
23、aD设线性方程组二、克莱姆法则二、克莱姆法则其中其中Di(i=1,2,n)是用常数项是用常数项b1,b2;bn代替代替D中第中第i列各元素而得到的列各元素而得到的n阶行列式，即：阶行列式，即：,11DDx,22DDx,DDxnn(2)则方程组则方程组(1)有有唯一解唯一解，且解可表示为：，且解可表示为：,11121212211111111nnnininniiniiaaaaaaaaaaaa(i=1,2,n)iDnbbb21例例 解线性方程组解线性方程组82 32421xxx2254321xxxx734321xxxx122244321xxxx解：解：2214111312512032D06 方程组的
24、系数行列式方程组的系数行列式所以方程组有唯一解。所以方程组有唯一解。又：,18221121117125220381D,0221241173122120822D,6212141713125128323D6122147113225180824D所以：所以：11183,6DxD2200,6DxD3361,6DxD 44616DxD注：注：在方程组中，若所有的常数项在方程组中，若所有的常数项b1=b2=bn=0，则方程组称为则方程组称为n元齐次线性方程组元齐次线性方程组。01212111nnxaxaxa02222121nnxaxaxa02211nnnnnxaxaxa(3)显然显然有零解有零解 x1=x
25、2=xn=0结论结论1：若齐次线性方程组若齐次线性方程组(3)的系数行列式的系数行列式D 0，则方程组只有零解。则方程组只有零解。一般解一般解 结论结论2：若齐次线性方程组若齐次线性方程组(3)有非零解，则系数行有非零解，则系数行列式列式 D=0。特解特解 由由mn个数个数aij(i=1,2,m;j=1,2,n)有有次序地排成次序地排成m行行(横排横排)n列列(竖排竖排)的数表的数表mnmmnnaaaaaaaaa212222111211称为一个称为一个m行行n列的列的矩阵矩阵，简记，简记(aij)mn，通常用大写字通常用大写字母母A，B，C，表示，表示，m行行n列的矩阵列的矩阵A也记为也记为A
26、mn，构成构成矩阵矩阵A的每个数称为矩阵的每个数称为矩阵A的的元素元素，而，而aij表示矩阵第表示矩阵第 i 行、第行、第 j 列的元素。列的元素。1、矩阵的定义、矩阵的定义三、矩阵知识三、矩阵知识注意：注意：有时也可以通过行矩阵的转置表示列矩阵有时也可以通过行矩阵的转置表示列矩阵 112,nnAa aa (2)两个矩阵两个矩阵A、B，若行数、列数都相等，则称若行数、列数都相等，则称A、B是是同型同型的。的。121mmaaAa -行矩阵行矩阵-列矩阵列矩阵(1)只有一行或一列的矩阵只有一行或一列的矩阵 称为称为行矩阵行矩阵或或列矩阵列矩阵,有时也称为有时也称为 向量向量,如如:12112,Tm
27、mmaaAa aaa 2、矩阵的运算、矩阵的运算(1)定义定义:设设矩阵矩阵 A=(aij)mn,B=(bij)mn则矩阵则矩阵mnmnmmmmnnnnbababababababababa221122222221211112121111称为矩阵称为矩阵A与与B的和，记作的和，记作 C=A+B1）矩阵的加法矩阵的加法 C=(cij)mn=(aij+bij)mn(2)性质性质:设设 A，B，C，O 都是都是 mn 矩阵矩阵,则有则有(1)A+B=B+A(2)(A+B)+C=A+(B+C)(3)A+O=O+A=A2）矩阵的减法矩阵的减法(1)负矩阵负矩阵设设 A=(aij)mn,则称则称(aij)m
28、n 为为A的负矩阵，简记的负矩阵，简记A显然显然 A+(A)=O,(A)=A(2)减法：减法：设设 A=(aij)mn ,B=(bij)mn ,AB 为为AB=A+(B)=(aij bij)mnmnmmnnnmijaaaaaaaaaaA212222111211)(定义定义:设设 是常数，是常数，A=(aij)mn，则矩阵，则矩阵(aij)mn 称为称为数数 与矩阵与矩阵A的乘积，的乘积，计为计为 A,即即3）数与矩阵的乘法数与矩阵的乘法设设 A、B 为为 m n 矩阵，矩阵，、u为常数为常数(1)(u)A=(u A)=u(A);(2)(A+B)=A+B(3)(+u)A=A+u A(4)1A=A
29、，(1)A=A(2)性质性质（1）定义：）定义：设设 A=(aij)ms,B=(bij)sn,则则 A与与B的乘积的乘积 C其中其中Cij等于等于A的第的第i行与行与B的第的第j列对应元素的乘积之和列对应元素的乘积之和(i=1,2,m;j=1,2,n)1 1221sijijijissjikkjkca ba ba ba bCAB是是mn矩阵，矩阵，C=(cij)mn 4）矩阵的乘法矩阵的乘法例例 设设11212315,1 1211325ABCD试证：试证：(1)AB=0 ；(2)AC=AD证：证：112100112100112330111330112530112530A BOA CA D(1)(
30、2)故有故有 AC AD(1)(A B)C=A(B C)(2)A(B+C)=A B+A C(3)(B+C)A=B A+C A(4)(A B)=(A)B=A(B)(其中其中 为常数为常数)(2)性质性质5）线性方程组的矩阵表示线性方程组的矩阵表示设方程组为设方程组为11212111bxaxaxann22222121bxaxaxannmnmnmmbxaxaxa2211可表示为可表示为简记为简记为AXB。mnmnmmnnbbbxxxaaaaaaaaa2121212222111211nm 1n1mA称为由线性方程组的称为由线性方程组的系数矩阵。系数矩阵。(1)定义定义:将矩阵将矩阵 A mn 的的行换
31、成同序数的列，列换成同序数行换成同序数的列，列换成同序数的行的行所得的所得的 nm 矩阵称为矩阵称为A的的转置矩阵转置矩阵，记作，记作 AT 或或 A。例如：例如：034201A023041TA则则6）矩阵的转置矩阵的转置(1)(AT )T=A(2)(A+B)T=A T+B T(3)(A)T A T(4)(A B)T=BT A TTTTnTnAAAAAA1221)(2)性质性质3 3、方阵、方阵1）定义）定义(其中：其中：k,l均为正整数均为正整数)k个个行数与列数相同的行数与列数相同的 n n 矩阵矩阵 A 称为称为方阵方阵，n 称称为它的为它的阶数阶数，简记，简记 An。则：则：lklkA
32、AAkllkAA)(记记AA A=Akk个个kkkBAABABABAB)()()(,称为称为n阶单位矩阵阶单位矩阵，简记，简记E显然显然nmnnmAEAmnmnnBBE1.单位矩阵单位矩阵nn00111nE2）几类特殊方阵）几类特殊方阵2.2.对角矩阵对角矩阵其中 aij=0,i j001122nnaaa特别：称为数量矩阵00nkkKkEk4 4、分块矩阵、分块矩阵定义定义:如果用若干条贯穿矩阵的横线和纵线将矩阵如果用若干条贯穿矩阵的横线和纵线将矩阵A A分成若干小块，分成若干小块，这样的小块称为矩阵这样的小块称为矩阵A A的的子块子块或或子矩阵子矩阵，而，而A A可以看成是以子块为元素可以看
33、成是以子块为元素的矩阵，称的矩阵，称A A为为分块矩阵分块矩阵。例如：例如：1112212211263502143 0AAAAA 111221221,1 2 635 0 2,143 0AAAA 一、一、函数的泰勒级数展开形式函数的泰勒级数展开形式 2000000012!1 ()!nnnnnf yf yfyyyfyyyfyyyRyP yRyn ()()nnRf ypy其中其中若函数若函数()f y在在y0开区间内有（开区间内有（n1）阶导，则）阶导，则()f y可以展开为可以展开为为()f y在级数展开时的误差在级数展开时的误差1 16 6 函数的级数展开函数的级数展开对于多元函数，若对于多元函
34、数，若A(x,y)A(x,y)点的函数值为点的函数值为f f（x x，y y）则则B(x+dx,y)B(x+dx,y)点的函数值为点的函数值为2211(,)(,)2!nnnffff xdx yf x ydxdyxxnx 1 1、以、以2L2L为周期为周期的傅里叶级数的傅里叶级数,2lT .2lT ),sincos(2)(10lxnblxnaaxfnnn 01(cossin)2nnnaan x bn x代入傅里叶级数中代入傅里叶级数中二、周期为二、周期为2 2L的周期函数的傅里叶级数的周期函数的傅里叶级数若周期为若周期为2L的周期函数的周期函数 f(x)满足收敛条件满足收敛条件,则它则它的傅里叶
35、级数展开式为的傅里叶级数展开式为),2,1,0(,cos)(1 ndxlxnxflalln),2,1(,sin)(1 ndxlxnxflblln其中其中,)()1(为为奇奇函函数数如如果果xf则有则有,sin)(1 nnlxnbxf02()sin,lnn xbf xdxll其中 ),2,1(n,)()2(为偶函数为偶函数如果如果xf则有则有,cos2)(10 nnlxnaaxf02()coslnn xaf xdxll其中 ),2,1,0(n二元函数二元函数f（x，y）在区间（在区间（0 xa，0yb）可以展开为可以展开为三、双三角级数三、双三角级数11(,)sinsin,0mnmnm xn y
36、f x yAxaybab 004(,)sinsin(,1,2,)abmnm xn yAf x ydxdym nabab 注意：注意：矩形薄板的三角级数解就是利用荷载函数矩形薄板的三角级数解就是利用荷载函数的三角级数展开的方法来实现的的三角级数展开的方法来实现的其中其中k2 xy2044 解解.,2 满满足足狄狄氏氏充充分分条条件件 l 2002021021kdxdxa,k 202cos21xdxnk,0 202sin21xdxnkbn)cos1(nnk,6,4,20,5,3,12 nnnk当当当当)25sin5123sin312(sin22)(xxxkkxf),4,2,0;(xx na),2,1(n
