1、1微积分在几何上有两个基本问题微积分在几何上有两个基本问题1如何确定曲线上一点处切线的斜率；如何确定曲线上一点处切线的斜率；2如何求曲线下方如何求曲线下方“曲线梯形曲线梯形”的面积。的面积。xy0 xy0 xyo直线直线几条线段连成的折线几条线段连成的折线曲线？曲线？知识回顾：知识回顾：2用用“以直代曲以直代曲”解决问题的思想和具体操作过程：解决问题的思想和具体操作过程：分割分割以直代曲以直代曲作和作和逼近逼近3求由连续曲线求由连续曲线=f对应的曲边梯形面积的方法对应的曲边梯形面积的方法 2以直代曲以直代曲:任取任取ii-1,i，第，第i个小曲边梯形的面积用高为个小曲边梯形的面积用高为fi,宽
2、为宽为D的小矩形面积的小矩形面积fiD近似地去代替近似地去代替 4逼近逼近:所求曲边梯形的面积为所求曲边梯形的面积为 3 作和作和:取取n个小矩形面积的和作为曲个小矩形面积的和作为曲边梯形面积的近似值：边梯形面积的近似值：i-1y=f(x)x yObaiix10,()()niixfxSn 1()niiSfx (1)分割分割:在区间在区间a,b上等间隔地插入上等间隔地插入n-1个点个点,将它等分成将它等分成n个小区间个小区间:每个小区间宽度每个小区间宽度xban 11211,iina xx xxxxb4定积分的定义定积分的定义:一般地一般地,设函数设函数f(x)在区间在区间a,b上有定义上有定义
3、,将区间将区间a,b等分成等分成n个小区间个小区间,每个小区的长度每个小区的长度为为 ,在每个小区间上取一点在每个小区间上取一点,依次为依次为x1,x2,.xi,.xn,作和作和如果如果 无限趋近于无限趋近于0时时,Sn无限趋近于无限趋近于常数常数S,那那么称么称常数常数S为函数为函数f(x)在区间在区间a,b上的定积分上的定积分,记记作作:.)(nabxxx)f(xx)f(xx)x(fSn21n baSf(x)dxf(x)dxx5 由定积分的定义可以计算由定积分的定义可以计算 ,但但比较麻烦比较麻烦(四步曲四步曲),),有没有更加简便有效的有没有更加简便有效的方法求定积分呢方法求定积分呢?1
4、2013x dx 问题情景问题情景分割分割-以直代曲以直代曲-求和求和-逼近逼近6微积分基本定理微积分基本定理7变速直线运动中位置函数与速度函数的联系变速直线运动中位置函数与速度函数的联系变速直线运动中路程为变速直线运动中路程为 21)(TTdttv这段路程可表示为这段路程可表示为)()(12TsTs).()()(1221TsTsdttvTT ).()(tvts 其其中中问题思考问题思考另一方面作变速直线运动的物体的运动规律是另一方面作变速直线运动的物体的运动规律是=t,=t,21)(TTdttv).()()(1221TsTsdttsTT8()()F xf x()f x 对于一般函数对于一般函
5、数，设，设是否也有是否也有 badxxf)().()()(aFbFdxxFba()()Fb Fa若上式成立，若上式成立，的原函数的原函数()f x来计算来计算,a b在在上的定积分的方法。上的定积分的方法。()f x我们就找到了用我们就找到了用()()F xf x）的数值差）的数值差（即满足（即满足牛顿牛顿莱布尼茨公式莱布尼茨公式()()()|baF bF aF x9定理定理 （微积分基本定理）（微积分基本定理）记:则:()()|()()bbaaf x dxF xF bF af是是F的导函数的导函数F 是是f的原函数的原函数1032(),()3F xxF xx()()|()()bbaaf x
6、dxF xF bF a解解:1取取2()4,()24F xxx F xx解解:2取取5223(5)(2)117x dxFF50(24)(5)(0)5xdxFF找出找出f(x)的的原函数原函数是关健是关健例例 计算下列定积分计算下列定积分 321(1)3x dx50(2)(24)xdx11解解:332211()3,()xxxx 32332111176(3-)(3)(1)313xdxx例例 计算下列定积分计算下列定积分 32211(3)(3-)xdxx32211()3,xxxx12基基本本初初等等函函数数的的导导数数公公式式-11.()()02.()()()3.()sin()cos4.()cos(
7、)-sin5.()()ln6.()()17.()log()ln18.()ln()nnxxxxaf xcfxf xxfxnxnRf xxfxxf xxfxxf xafxaaf xefxef xxfxxaf xxfxx若若若若若若若若若若若若若若若若13211(1)dxx解（）解（）1(ln)xx ln2-ln1ln2211dxx例例 计算下列定积分计算下列定积分 121(2xedx）2212(-)2xxeeQ221212xeeedx()()|()()bbaaf x dxF xF bF a14例例 计算下列定积分计算下列定积分 20(2)cos xdx0(1)sin xdx解解（1）(cos)si
8、nxx0sincos(cos0)1 12xdx 思考思考:0sin xdx的几何意义是什么?2020sin_sin_xdxxdx01()()|()()bbaaf x dxF xF bF a1520(2)cosxdx20cossinsin01 012xdx(sin)cosxxQ解解思考思考:20cosxdx的几何意义是什么?020cos_cos_xdxxdx_ _ _0016例例:计算计算20(),f x dx2,01()5,12xxf xx其中其中解解 20dx)x(f 102xdx 215dx102x 215x 6 12f(x)=2xY=517 练习：练习：12022122-121(1)(-32)_1(2)()_(3)(32-1)_(4)(1)_xtdtxdxxxxdxedx29/619e2-e118 练习：练习：2002430022102200(1)cos;(2)sin;5(3)(2);(4);21(5)();(6)(cos);(7)cos2;(8)sin.xdxxdxxx dxdxxxdxxx dxxxdxxdx小结小结19微积分基本公式微积分基本公式baf x dxF bFFaxf x()()()()牛顿莱布尼茨公式沟通了导数与定积分之牛顿莱布尼茨公式沟通了导数与定积分之间的关系间的关系
