1、24.1 圆的有关性质圆的有关性质24.1.1 圆圆 RR九年级上册九年级上册这些图片中都这些图片中都有哪种图形？有哪种图形？圆圆(1)能叙述圆的描述性定义和集合观点定义能叙述圆的描述性定义和集合观点定义.(2)知道弦、直径、弧、半圆、等圆、等弧的意义，并知道弦、直径、弧、半圆、等圆、等弧的意义，并能结合图形描述它们能结合图形描述它们.如图，在一个平面内，线段如图，在一个平面内，线段 OA 绕它固定的一个端绕它固定的一个端点点 O 旋转一周，另一个端点旋转一周，另一个端点 A 所形成的图形叫做所形成的图形叫做圆圆rOA固定的端点固定的端点 O 叫做叫做圆心圆心；线段线段 OA 叫做叫做半径半径
2、；以点以点 O 为圆心的圆，记作为圆心的圆，记作 O，读作读作“圆圆O”圆的概念圆的概念知识点1圆的定义圆的定义同心圆同心圆 等圆等圆圆心相同，半径不同圆心相同，半径不同确定一个圆的两个要素确定一个圆的两个要素:一是一是圆心圆心，二是二是半径半径半径相同，圆心不同半径相同，圆心不同O问题问题1：圆上各点到定点（圆心：圆上各点到定点（圆心 O）的距离）的距离有什么规律？有什么规律？问题问题2：到定点的距离等于定长的点又有什：到定点的距离等于定长的点又有什么特点？么特点？rOA形成性定义形成性定义(动态动态)：在一个平面内，线段：在一个平面内，线段 OA 绕它绕它固定的一个端点固定的一个端点 O
3、旋转一周，另一个端点旋转一周，另一个端点 A 所形成的图所形成的图形叫做形叫做圆圆集合性定义集合性定义(静态静态)：圆心为：圆心为 O、半径为半径为 r 的圆可以看成是所有到定点的圆可以看成是所有到定点 O 的距离等于定长的距离等于定长 r 的点的集合的点的集合 战国时的战国时的墨经墨经就有就有“圆圆,一中同长也一中同长也”的记载的记载.它的意思是圆它的意思是圆上各点到圆心的距离都上各点到圆心的距离都等于半径等于半径.经过圆心的弦叫做经过圆心的弦叫做直径直径，如图中的如图中的 AB连接圆上任意两点的线段叫做连接圆上任意两点的线段叫做弦弦，如图，如图中的中的 AC弦和直径的定义弦和直径的定义CO
4、AB半径是弦吗？半径是弦吗？知识点2与圆有关的概念与圆有关的概念圆的任意一条直径的两个圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做弧都叫做半圆半圆COAB弧弧圆上任意两点间的部分叫圆上任意两点间的部分叫做做圆弧圆弧，简称，简称弧弧以以 A、B 为为端点的弧记作端点的弧记作AB，读作，读作“圆圆弧弧 AB”或或“弧弧 AB”劣弧与优弧劣弧与优弧小于半圆的弧小于半圆的弧(如图中的如图中的 )叫做叫做劣弧劣弧AC大于半圆的弧大于半圆的弧(用三个字母表示，如图中的用三个字母表示，如图中的)叫做叫做优弧优弧ABCCOAB在同圆或等圆在同圆或等圆中，能重合的弧中，能重
5、合的弧叫叫等弧等弧例例1 矩形矩形ABCD的对角线的对角线AC,BD相交于点相交于点O.求证：求证：A、B、C、D四个点在以点四个点在以点O为圆心的圆上为圆心的圆上.证明：证明：四边形四边形ABCD为矩形，为矩形，OA=OC=AC,OB=OD=BD.又又AC=BD，OA=OC=OB=OD.A、B、C、D四个点在以点四个点在以点O为为圆心，圆心，OA为半径的圆上为半径的圆上.1212基础巩固基础巩固1.下列说法正确的是下列说法正确的是()A.直径是弦，弦是直径直径是弦，弦是直径 B.半圆是弧，弧是半圆半圆是弧，弧是半圆C.弦是圆上两点之间的部分弦是圆上两点之间的部分 D.半径不是弦，直径是最长的
6、弦半径不是弦，直径是最长的弦D2.下列说法中，不正确的是下列说法中，不正确的是()A.过圆心的弦是圆的直径过圆心的弦是圆的直径B.等弧的长度一定相等等弧的长度一定相等C.周长相等的两个圆是等圆周长相等的两个圆是等圆D.长度相等的两条弧是等弧长度相等的两条弧是等弧D3.一个圆的最大弦长是一个圆的最大弦长是10cm，则此圆的半径是，则此圆的半径是 cm.4.在同一平面内与已知点在同一平面内与已知点A的距离等于的距离等于5cm的所有点所组成的所有点所组成的图形是的图形是 .5.如右图，以如右图，以AB为直径的半圆为直径的半圆O上有两点上有两点D、E，ED与与BA的延长线相交于点的延长线相交于点C，且
7、有，且有DC=OE，若，若C=20，则，则EOB的度数是的度数是 .5圆圆606.已知：如图，在已知：如图，在 O中，中，AB为弦，为弦，C、D两点在两点在AB上，且上，且AC=BD求证：求证：OC=OD证明：证明：OA、OB为为 O的半径，的半径，OA=OB.A=B.又又AC=BD，ACO BDO.OC=OD.7.已知：如图，在已知：如图，在ABC中，中，C=90，求证：求证：A、B、C三点在同一个圆上三点在同一个圆上.证明：作证明：作AB的中点的中点O，连接，连接OC.ABC是直角三角形是直角三角形.OA=OB=OC=AB.A、B、C三点在同一个圆上三点在同一个圆上.综合应用综合应用128
8、.求证：直径是圆中最长的弦求证：直径是圆中最长的弦.证明：如图，在证明：如图，在 O中，中，AB是是 O的直径，半径是的直径，半径是r.CD是不同于是不同于AB的任意一条弦的任意一条弦.连接连接OC、OD，则则OA+OB=OC+OD=2r,即即AB=OC+OD.在在OCD中，中，OC+ODCD，ABCD.即直径是圆中最长的弦即直径是圆中最长的弦.拓展延伸拓展延伸圆圆的的基基本本概概念念圆的定义圆的定义与圆有关与圆有关的概念的概念形成性定义：形成性定义：集合性定义：集合性定义：弦：弦：直径：直径：圆弧（弧）：圆弧（弧）：半圆：半圆：等圆、等弧：等圆、等弧：优弧、劣弧：优弧、劣弧：在一个平面内，线
9、段在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点绕它固定的一个端点O旋旋转一周，另一个端点转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆所形成的图形叫做圆.圆心为圆心为O、半径为、半径为r的圆可以看成是平面内所有到的圆可以看成是平面内所有到定点定点O的距离等定长的距离等定长r的点的集合的点的集合.连接圆上任意两点的线段叫做弦连接圆上任意两点的线段叫做弦.直径是经过圆心的弦，是圆中最长的弦直径是经过圆心的弦，是圆中最长的弦.圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧 都叫做半圆都叫做
10、半圆.能够重合的两个圆叫做等圆，在同圆或等圆中，能够重合的两个圆叫做等圆，在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧能够互相重合的弧叫做等弧.大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧.1.从课后习题中选取；从课后习题中选取；2.完成练习册本课时的习题完成练习册本课时的习题.24.1.2 垂直于弦的直径垂直于弦的直径R九年级上册九年级上册圆是轴对称图形吗？圆是轴对称图形吗？(1)能通过折纸探究圆的对称性，能证明圆是轴对称图形能通过折纸探究圆的对称性，能证明圆是轴对称图形.(2)能由圆的轴对称性推导垂径定理及其推论能由圆的轴对称性推导垂径定理及其推论.(3
11、)能利用垂径定理解决相应问题能利用垂径定理解决相应问题.什么是轴对称图形？什么是轴对称图形？我们学过哪些轴对称图形？我们学过哪些轴对称图形？回回 顾顾知识点1圆的轴对称性圆的轴对称性 如果一个图形沿一条直线如果一个图形沿一条直线对折对折，直线两旁的部分能，直线两旁的部分能够互相够互相重合重合，那么这个图形叫，那么这个图形叫轴对称图形轴对称图形线段线段角角等腰三角形等腰三角形矩形矩形菱形菱形等腰梯形等腰梯形正方形正方形圆圆用纸剪一个圆，沿着圆的任意一条直径用纸剪一个圆，沿着圆的任意一条直径所在的直线对折，重复做几次，你发现了所在的直线对折，重复做几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？什么？由
12、此你能得到什么结论？发现：发现：圆是轴对称图形，任何一条直径所在直圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴线都是它的对称轴圆有无数条对称轴，圆有无数条对称轴，每一条对称轴都是每一条对称轴都是直径所在的直线直径所在的直线.圆有哪些对称轴？圆有哪些对称轴？O如何来证明圆是轴对称图形呢？如何来证明圆是轴对称图形呢？BOACDE 是轴对称图形是轴对称图形大胆猜想大胆猜想已知：在已知：在 O中，中，CD是直径，是直径，AB是弦，是弦，CDAB，垂足为垂足为E 左图是轴对称图形吗？左图是轴对称图形吗？满足什么条件才能证明满足什么条件才能证明圆是轴对称图形呢？圆是轴对称图形呢？证明：证明：连结连结
13、OA、OB.则则OAOB又又CDAB，直径直径CD所在的直线是所在的直线是AB的垂直平分线的垂直平分线.对于圆上任意一点，在圆上都有关于直线对于圆上任意一点，在圆上都有关于直线CD的对称点，即的对称点，即O关于直线关于直线CD对称对称.BOACDE 圆是轴对称图形，任何一条直径所在圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴直线都是圆的对称轴.知识点2垂径定理及其推论垂径定理及其推论 显然，由上面的证明可知，如显然，由上面的证明可知，如果果O的直径的直径CD垂直于弦垂直于弦AB,垂足垂足为为E，那么点，那么点A、B是关于是关于CD所在所在直线的对称点，则直线的对称点，则AE=BE.把把O
14、沿沿CD对折时，对折时，AD与与BD重合，即重合，即AD=BD.BOACDE垂直垂直于弦的直径于弦的直径平分平分弦，并弦，并且平分弦所对的两条弧且平分弦所对的两条弧 知识要点知识要点BOACDE下列哪些图形可以用垂径定理？你能说明理由吗？下列哪些图形可以用垂径定理？你能说明理由吗？DOCAEBDOCAEB图图1图图2图图3图图4OAEBDOCAEBAEBEACBCADBDCD是直径，是直径，AB是弦，是弦，CDAB过圆心过圆心垂直于弦垂直于弦平分弦平分弦平分弦所对的优弧平分弦所对的优弧平分弦所对的劣弧平分弦所对的劣弧题设题设结论结论DOABEC推论推论 平分弦平分弦（不是直径）的直径（不是直径
15、）的直径垂直垂直于弦，于弦，并且平分弦所对的两条弧并且平分弦所对的两条弧 NOABMCD注意注意为什么强调这里的弦为什么强调这里的弦不是直径不是直径？一个圆的任意两条一个圆的任意两条直径总是互相平分直径总是互相平分，但它们不一定互相垂但它们不一定互相垂直直.因此这里的弦如因此这里的弦如果是直径，结论不一果是直径，结论不一定成立定成立 根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说.如果具备：如果具备：（1 1）过圆心）过圆心 （2 2）垂直于弦）垂直于弦 （3 3）平分弦）平分弦（4 4）平分弦所对的优弧）平分弦所对的优弧 （5 5）平分弦所对的劣
16、弧）平分弦所对的劣弧 上述五个条件中的任意上述五个条件中的任意 个条件都可以推出其个条件都可以推出其他他 个结论个结论.注意注意两两三三条件条件结论结论命题命题平分弦平分弦(不是直径不是直径)的直径垂直于弦并且平分弦所对的两条弧的直径垂直于弦并且平分弦所对的两条弧平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧的另一条弧 弦的垂直平分线经过圆心，并且平分这条弦所对的两条弧弦的垂直平分线经过圆心，并且平分这条弦所对的两条弧 垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心，并且平垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心，并且平分弦
17、和所对的另一条弧分弦和所对的另一条弧平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心，垂直于弦，平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心，垂直于弦，并且平分弦所对的另一条弧并且平分弦所对的另一条弧平分弦所对的两条弧的直线经过圆心，并且垂直平分弦平分弦所对的两条弧的直线经过圆心，并且垂直平分弦垂径定理的推论垂径定理的推论垂径定理往往转化成应用勾股定理解直角三角形垂径定理往往转化成应用勾股定理解直角三角形EOABDCd+h=r2222arddhar有哪些等量关系？有哪些等量关系？在在a，d，r，h中，已知其中任意中，已知其中任意两个量，可以求出两个量，可以求出其它两个量其它两个量例例2 赵州桥是我国隋
18、代建造的石拱桥赵州桥是我国隋代建造的石拱桥,距今约有距今约有1400年的年的历史，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶它的主桥拱是历史，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶它的主桥拱是圆弧形圆弧形,它的跨度它的跨度(弧所对的弦的长弧所对的弦的长)为为37m,拱高拱高(弧的中点弧的中点到弦的距离到弦的距离)为为7.23m，求赵州桥主桥拱的半径，求赵州桥主桥拱的半径(结果保留小结果保留小数点后一位数点后一位).ACBDO377.2318.5RR-7.23解：设赵洲桥主桥拱的半径为解：设赵洲桥主桥拱的半径为R.则则R2=18.52+(R-7.23)2 解得：解得：R27.3 因此，赵州桥的主桥拱因此，赵州桥的主
19、桥拱半径约为半径约为27.3m.ACBDO377.2318.5RR-7.23基础巩固基础巩固1.下列说法中正确的是下列说法中正确的是()A.在同一个圆中最长的弦只有一条在同一个圆中最长的弦只有一条B.垂直于弦的直径必平分弦垂直于弦的直径必平分弦C.平分弦的直径必垂直于弦平分弦的直径必垂直于弦D.圆是轴对称图形，每条直径都是它的对称轴圆是轴对称图形，每条直径都是它的对称轴B2.如图，如图，O的弦的弦AB垂直于半径垂直于半径OC，垂足为，垂足为D，则，则下列结论中错误的是下列结论中错误的是()A.AOD=BOD B.AD=BD C.OD=DC D.AC=BC3.半径为半径为5的的O内有一点内有一点
20、P，且，且OP=4，则过点，则过点P的的最长弦的长是最长弦的长是 ，最短弦的长是，最短弦的长是 .C1064.如图，在如图，在O中，中，AB、AC为互相垂直且相等的两条为互相垂直且相等的两条弦，弦，ODAB于于D，OEAC于于E.求证：四边形求证：四边形ADOE是正方形是正方形.证明：证明：ABAC，ODAB，OEAC.四边形四边形ADOE是矩形是矩形.又又OD垂直平分垂直平分AB，OE垂直平分垂直平分AC,ABAC,四边形四边形ADOE是正方形是正方形.11,22AEACABAD5.如图，在半径为如图，在半径为50mm的的O中，弦中，弦AB的长为的长为50mm.求：求：(1)AOB的度数；的
21、度数；(2)点点O到到AB的距离的距离.解：解：(1)OA=OB=AB=50mm，AOB是等边三角形，是等边三角形，AOB=60.(2)作作OMAB，则，则AOM=AOB=30.在在RtAOM中，中，AM=AB=25mm.12122225 3mm.OMOAAM25 3mm.OAB即即点点 到到的的距距离离为为6.如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点O为圆心的圆为圆心的圆的一部分，如果的一部分，如果M是是O中弦中弦CD的中点，的中点，EM经过圆心经过圆心O交交O于点于点E,并且并且CD=4m,EM=6m.求求O的半径的半径.解：连接解：连接OC.OM平分平
22、分CD,OMCD且且CM=MD=CD=2m.设半径为设半径为r，在，在RtOCM中，中，OC=r，OM=EM-OE=6-r,由勾股定理得由勾股定理得OC2=CM2+OM2，即，即r2=22+(6-r)2.解得解得r=.即即O的半径为的半径为 m.121031037.如图，一条公路的转弯处是一段圆弧如图，一条公路的转弯处是一段圆弧AB，点，点O是这段是这段弧的圆心，弧的圆心，AB300m，C是是AB上一点，上一点，OCAB，垂，垂足为足为D，CD45m，求这段弯路的半径，求这段弯路的半径.解：设半径为解：设半径为r.OCAB，AD=BD=AB=150m.在在RtODB中，中，OD2+BD2=OB
23、2，即即(r-45)2+1502=r2,解得解得r=272.5m.因此，这段弯路的半径为因此，这段弯路的半径为272.5m.128.如图，两个圆都以点如图，两个圆都以点O为圆心为圆心.求证：求证：AC=BD.证明：过证明：过O作作OEAB，垂足为，垂足为E，连接，连接OA,OC,OD,OB,则则AE=BE，CE=DE，AE-CE=BE-DE，即，即AC=BD.9.O的半径为的半径为13cm，AB、CD是是O的两条弦，的两条弦，ABCD，AB=24cm，CD=10cm，求，求AB和和CD之间之间的距离的距离.综合应用综合应用解：分两种情况讨论解：分两种情况讨论.第一种情况：当第一种情况：当AB、
24、CD在圆心在圆心O的同侧时的同侧时.如图如图(1)，过点，过点O作作OMCD，垂足为，垂足为M，交，交AB于点于点E.ABCD.OEAB.连接连接OB、OD.EMOM-OE7cm.1112cm,5cm.22BEABDMCD22225cm.12cm.OEOBBEOMODDM 则则第二种情况：当第二种情况：当AB、CD在圆心在圆心O的异侧时，的异侧时，如图如图(2)，同第一种情况可得，同第一种情况可得OE=5cm,OM=12cm，EM=OM+OE=17cm.即即AB和和CD之间的距离为之间的距离为7cm或或17cm.10.如图，如图，AB和和CD分别是分别是O上的两条弦，圆心上的两条弦，圆心O到它
25、们到它们的垂线段分别是的垂线段分别是OM和和ON，如果，如果ABCD，OM和和ON的大的大小有什么关系？为什么？小有什么关系？为什么？拓展延伸拓展延伸解：解：OMON.理由如下：连接理由如下：连接OA、OC.则则OAOC.ONCD,OMAB,又又ABCD,CNAM,CN2AM2.在在RtOCN和和RtOAM中，中，OM2OA2-AM2,ON2OC2-CN2,OM2ON2.OMON.11,.22CNCD AMAB垂垂径径定定理理垂径定理：垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧所对的两条弧.垂径定理的推论：垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂平
26、分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧直于弦，并且平分弦所对的两条弧.方法规律：方法规律：利用垂径定理解决问题，通常是根据利用垂径定理解决问题，通常是根据题意作出辅助线，构造出直角三角形后利用勾股题意作出辅助线，构造出直角三角形后利用勾股定理解答定理解答.1.从课后习题中选取；从课后习题中选取；2.完成练习册本课时的习题完成练习册本课时的习题.24.1.3 弧、弦、圆心角弧、弦、圆心角R九年级上册九年级上册问题问题1：圆是中心对称图形吗？它的对称中心在：圆是中心对称图形吗？它的对称中心在哪里？哪里？问题问题2：把圆绕着圆心旋转一个任意角度，旋转：把圆绕着圆心旋转一个任意角度，旋
27、转之后的图形还能与原图形重合吗？之后的图形还能与原图形重合吗？这节课我们利用圆的任意旋转不变性来探这节课我们利用圆的任意旋转不变性来探究圆的另一个重要定理究圆的另一个重要定理.(1)知道圆是中心对称图形，并且具有任意旋知道圆是中心对称图形，并且具有任意旋转不变性转不变性.(2)知道什么样的角是圆心角，探究并得出弧、知道什么样的角是圆心角，探究并得出弧、弦、圆心角的关系定理弦、圆心角的关系定理.(3)初步学会运用弧、弦、圆心角定理解决一初步学会运用弧、弦、圆心角定理解决一些简单的问题些简单的问题.圆是中心对称图形吗圆是中心对称图形吗?它的对称中心在哪里它的对称中心在哪里?圆是中心对称图形圆是中心
28、对称图形它的对称中心是圆心它的对称中心是圆心知识点1圆的旋转不变性及圆心角圆的旋转不变性及圆心角圆心角圆心角：顶点在圆心顶点在圆心的角叫做的角叫做圆心角圆心角BAAOB为圆心角为圆心角O圆心角圆心角AOB所对的所对的弦弦为为AB，所对的所对的弧弧为为AB.判断下列各图中的角是不是圆心角，并说判断下列各图中的角是不是圆心角，并说明理由明理由.【对应练习对应练习】任意给圆心角，对应出现三个量：任意给圆心角，对应出现三个量：圆心角圆心角弦弦弧弧这三个量之间会有什么关系呢？这三个量之间会有什么关系呢？BAO知识点2弧、弦、圆心角之间的关系弧、弦、圆心角之间的关系 如图，在如图，在O中将圆心角中将圆心角
29、AOB绕圆心绕圆心O旋转到旋转到AOB的位置，你能发现哪些等量关系？为什么？的位置，你能发现哪些等量关系？为什么？显然显然AOBAOB ABABAB ABBAAB OABABAB AB 如图，在如图，在等圆等圆中，如果中，如果AOBAOB，你发现，你发现的等量关系是否依然成立？为什么？的等量关系是否依然成立？为什么？由由AOBAOB得到得到BA OAB O圆心角定理圆心角定理 在在同圆同圆或或等圆等圆中，相等的中，相等的圆心角圆心角所对的所对的弧弧相等，所对的相等，所对的弦弦相等相等.AB ABAOBAOBABABABOAB 定理定理“在同圆或等圆中，在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等的
30、圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等相等，所对的弦也相等”中，可否把条件中，可否把条件“在同圆在同圆或等圆中或等圆中”去掉？为什么？去掉？为什么？ABAB同样，还可以得到：同样，还可以得到：在在同圆同圆或或等圆等圆中，如果两条中，如果两条弧弧相等，那么它相等，那么它们所对的们所对的圆心角圆心角_，所对的所对的弦弦_；在在同圆同圆或或等圆等圆中，如果两条中，如果两条弦弦相等，那么它相等，那么它们所对的们所对的圆心角圆心角_，所对的，所对的弧弧_ 同圆或等圆中，两个同圆或等圆中，两个圆心角圆心角、两条、两条弧弧、两、两条条弦弦中有一组量相等，它们所对应的其余各组中有一组量相等，它们所对应的其余各组量
31、也相等量也相等 圆心角圆心角 弧弧 弦弦知一得二知一得二理解理解如图，如图，AB、CD是是O的两条弦的两条弦.（1）如果）如果AB=CD，那么，那么 ，.（2）如果）如果 ，那么，那么 ，.（3）如果）如果AOB=COD，那么，那么 ，.（4）如果）如果AB=CD，OEAB，OFCD，OE与与OF相相 等吗？为什么？等吗？为什么？OCDFABE【对应练习对应练习】ABCDABCDAOB=CODAB=CDAOB=CODAB=CDABCD相等相等.如图，在如图，在O中，中，AB=AC，ACB=60，求证：求证：AOB=BOC=AOC证明：证明：AB=AC.又又ACB=60，AB=BC=CA.AOB
32、BOCAOC.AB=AC，ABCO例例3 在在同圆或等圆同圆或等圆中，相等的中，相等的圆心角圆心角，所对的弦，所对的弦的的弦心距弦心距相等吗相等吗?圆心角圆心角 弧弧 弦弦 弦心距弦心距知一得三知一得三ABABOCC基础巩固基础巩固1.如图，如图，AB是是O的直径，的直径，BC=CD=DE,AOE=72，则则COD的度数是的度数是()A36 B72 C108 D482.如图，已知如图，已知AB是是O的直径，的直径，C、D是半圆上两个三等分点，是半圆上两个三等分点，则则COD=.A603.如图，在如图，在O中，点中，点C是是AB的中点，的中点，A=50，则，则BOC=404.如图，在如图，在O中
33、，中，AB=AC，C=75，求，求A的度数的度数.解：解：AB=AC，AB=AC.B=C=75，A=180-B-C=30.5.如图，在如图，在O中，中，AD=BC，求证：，求证：AB=CD.证明：证明：AD=BC.AD=BC.AD+AC=BC+AC,即即CD=AB.AB=CD.6.如图，如图，A,B是是O上的两上的两点，点，AOB=120，C是是AB的中点，求证：四边形的中点，求证：四边形OACB是菱形是菱形.综合应用综合应用证明：证明：C是是AB的中点，的中点，AC=BC，AC=BC,AOC=BOC=AOB=60.又又OA=OC=OB,AOC与与BOC是等边三角形是等边三角形.A=60.又又
34、AOB=120,ACOB.AC=OC=OB,四边形四边形OACB是平行四边形是平行四边形.又又OA=AC,四边形四边形OACB是菱形是菱形.127.如图，在如图，在O中，弦中，弦AB与与CD相交于点相交于点E，AB=CD(1)求证：求证：AEC DEB；(2)点点B与点与点C关于直线关于直线OE对对称吗？试说明理由称吗？试说明理由拓展延伸拓展延伸(1)证明：连接证明：连接AD.AB=CD,AB=CD.AB-AD=CD-AD.即即BD=AC.BD=AC.在在ADB和和DAC中，中，ADBDAC(SSS).ABDDCA.在在AEC和和DEB中，中，DCAABD,AECDEB,AC=BD,AEC D
35、EB(AAS).,BDACABCDADDA (2)解：对称解：对称.理由：连接理由：连接OB、OC.则则OB=OC.由由(1)知知BE=CE，连接连接BC，则则OE垂直平分垂直平分BC.点点B与点与点C关于直线关于直线OE对称对称.在在同圆同圆或或等圆等圆中中,相等的圆心角相等的圆心角所对的所对的弧弧相等相等,所对的所对的弦弦相相等等,所对的弦的所对的弦的弦心弦心距距相等相等1.1.四个元素：四个元素：圆心角、弦、弧、弦心距圆心角、弦、弧、弦心距2.2.四个相等关系：四个相等关系：圆心角圆心角 弧弧 弦弦 弦心距弦心距1.从课后习题中选取；从课后习题中选取；2.完成练习册本课时的习题完成练习册
36、本课时的习题.24.1.4 圆周角圆周角 R九年级上册九年级上册 如图，把圆心角如图，把圆心角AOB的顶点的顶点O拉到圆上，得到拉到圆上，得到ACB.问题问题1：ACB有什么特点？它与有什么特点？它与AOB有何异同？有何异同？问题问题2：你能仿照圆心角的定义给：你能仿照圆心角的定义给ACB取一个名字并下定义吗？取一个名字并下定义吗？ABOC(1)知道什么是圆周角，并能从图形中准确识别它知道什么是圆周角，并能从图形中准确识别它.(2)探究并掌握圆周角定理及其推论探究并掌握圆周角定理及其推论.(3)体会体会“由特殊到一般由特殊到一般”“”“分类分类”“化归化归”等数学思想等数学思想.知识点1圆周角
37、的定义及圆周角定理圆周角的定义及圆周角定理1.圆心角的定义圆心角的定义?顶点在圆心的角叫圆心角顶点在圆心的角叫圆心角.ABOC2.图中图中ACB 的顶点和边有哪些特点？的顶点和边有哪些特点？顶点顶点在圆上，并且在圆上，并且两边两边都和都和圆相交的角叫圆相交的角叫圆周角圆周角图中图中圆周角圆周角ACB 和和圆心角圆心角AOB 有怎样有怎样的关系？的关系？ABOC12ACBAOB 先猜一猜，再用先猜一猜，再用量角器量一量量角器量一量.（1）在圆上任取）在圆上任取BC，画出圆心角，画出圆心角BOC 和圆和圆周角周角BAC，圆心角与圆周角有几种位置关系？，圆心角与圆周角有几种位置关系？BCOABCOA
38、BCOA（2）如何证明一条弧所对的圆周角等于它所）如何证明一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半？对的圆心角的一半？第一种情况：第一种情况：BCOAOA=OC，A=C又又BOC=A+C，1.2BACBOC 证明：证明：证明：证明：如图，连接如图，连接 AO 并延长交并延长交O 于点于点 DOA=OB，BAD=B又又BOD=BAD+B，第二种情况：第二种情况：BCOA12CADCOD同理，同理，12BADBOD12BACBADCADBOC D 请同学们自己完成证明请同学们自己完成证明.BCOA第三种情况：第三种情况：一条弧所对的一条弧所对的圆周角圆周角等于它所对的等于它所对的圆心角圆心角的的
39、一半一半圆周角定理：圆周角定理：如图，如图，O是是ABC的外接圆，的外接圆，OCB50，则则A等于等于()A.40 B.50 C.60 D.70【对应训练对应训练】解析：解析：O是是ABC的外接圆，的外接圆，OB=OC,所以所以OBC=OCB=50，BOC=80，A=BOC=80=40.1212A 在同圆（或等圆）中，如果圆心角、弧、弦有一在同圆（或等圆）中，如果圆心角、弧、弦有一组量相等，那么它们所对应的其余两个量都分别相等组量相等，那么它们所对应的其余两个量都分别相等.上节课我们学习了一个反映上节课我们学习了一个反映圆心角、弧、弦圆心角、弧、弦三个三个量之间关系的一个结论，这个结论是什么？
40、量之间关系的一个结论，这个结论是什么？ABOC 那么，那么，圆周角圆周角与弧、弦有什么与弧、弦有什么关系吗？关系吗？知识点2圆周角定理的推论圆周角定理的推论 根据圆周角定理可知，根据圆周角定理可知，同弧所对的圆周角相等同弧所对的圆周角相等ADBCO1,2BACBOC1.2BDCBOC.BACBDC 同弧：同弧：BAC与与BDC同同BC，BAC与与BDC有什么关系？有什么关系？证明：证明：.如图，作出两弧所对应的圆心角如图，作出两弧所对应的圆心角.根据圆周角定理可知，根据圆周角定理可知，等弧所对的圆周角相等等弧所对的圆周角相等1,2BDCBOC1.2CAECOE等弧：等弧：ADBCOEBC=CE
41、，BDC与与CAE有什么关系？有什么关系？又由又由BC=CE可知，可知，BOC=COE.BDC=CAE同弧或等弧同弧或等弧所对的所对的圆周角圆周角相等相等推论推论1：显然，在显然，在同圆或同圆或等圆等圆中，相等的圆周中，相等的圆周角所对应的角所对应的弧弧相等，相等，所对应的所对应的弦弦也相等也相等.下列说法是否正确，为什么？下列说法是否正确，为什么？“在同圆或等圆中，同弦或等弦所对的圆周角相等在同圆或等圆中，同弦或等弦所对的圆周角相等”.DBCOE.一条弦所对应的圆周角有两个一条弦所对应的圆周角有两个.这两个角有什这两个角有什么关系吗？么关系吗？如图所示，连接如图所示，连接BO、EO.显然，显
42、然，C与与D所对应的圆心角和为所对应的圆心角和为 ，所以根据圆周角定理可知所以根据圆周角定理可知C+D=.360180 在同圆或等圆中，同弦或等弦所对的在同圆或等圆中，同弦或等弦所对的圆周角圆周角可能可能相相等等，也可能，也可能互补互补.半圆（或直径）所对的圆周角有什么特殊性？半圆（或直径）所对的圆周角有什么特殊性？C1AOBC2C3所对应的圆心角为所对应的圆心角为 ，则对应的圆周角为则对应的圆周角为 .18090半圆（或直径）所对的圆周角是半圆（或直径）所对的圆周角是直直角角，90的圆周角所对的弦是的圆周角所对的弦是直径直径.推论推论2：例例4 如图，如图，O的直径的直径AB为为10 cm，
43、弦，弦AC为为 6 cm，ACB 的平分线交的平分线交O 于点于点 D，求，求 BC，AD，BD 的长的长解：连接解：连接 OD.ACBDO22221068 cmBCABAC（）.AB 是是O 的直径，的直径，ACB=ADB=90在在 RtABC 中，中，106ACBDO106CD 平分平分 ACB，ACD=BCD，AOD=BOD AD=BD 在在 RtABD 中，中，AD2+BD2=AB2，AD=BD=22AB=（cm）5 28 如果一个多边形的所有顶点如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫都在同一个圆上，这个多边形叫做做圆内接多边形圆内接多边形，这个圆叫做这，这个圆叫做这个多
44、边形的个多边形的外接圆外接圆.知识点3圆内接多边形圆内接多边形ABCDO 如图所示，四边形如图所示，四边形ABCD是是O的内接四边形，的内接四边形，O是四边形是四边形ABCD的外接圆的外接圆.圆内接四边形的四个角之间有什么关系？圆内接四边形的四个角之间有什么关系？ABCDOBAD+ABC+BCD+ADC=360圆内接四边形的对角圆内接四边形的对角 .互补互补基础巩固基础巩固1.下列四个图中，下列四个图中，x是圆周角的是是圆周角的是()C2.如图如图，O中，弦中，弦AB、CD相交于相交于E点，且点，且A=40，AED=75，则，则B=()A.15 B.40 C.5 D.35D3.如图，如图，O的
45、直径的直径AB与弦与弦CD垂垂直，且直，且BAC=40，则，则BOD=.4.如图，点如图，点B、A、C都在都在O上上,BOA110，则，则BCA .801255.如图，如图，O中，弦中，弦AD平行于弦平行于弦BC，AOC=78，求，求DAB的度数的度数解：解：ADBC，DAB=B.又又B=AOC=39.DAB=39.126.如图，如图，O的半径为的半径为1，A,B,C是是O上的三个上的三个点，且点，且ACB=45，求弦，求弦AB的长的长.解：连接解：连接OA、OB.ACB=45,BOA=2ACB=90.又又OA=OB,AOB是等腰直角三角形是等腰直角三角形.222222.ABOAOBOAOA7
46、.如图，如图，A,P,B,C是是O上的四点，上的四点，APC=CPB=60，判断，判断ABC的形状并证明你的结论的形状并证明你的结论.解：解：ABC是等边三角形是等边三角形.证明如下：证明如下：APC=ABC=60，CPB=BAC=60，ACB=180-ABC-BAC=60，ABC是等边三角形是等边三角形.8.如图，已知如图，已知A，B，C，D是是O上的四点，延长上的四点，延长DC，AB相交于点相交于点E，若，若BC=BE求证：求证：ADE是等腰三角形是等腰三角形证明：证明：A+BCD=180,BCE+BCD=180.A=BCE.BC=BE,E=BCE,A=E,AD=DE,ADE是等腰三角形是
47、等腰三角形.9.如图如图，已知已知EF是是O的直径的直径，把把A为为60的直角三的直角三角板角板ABC的一条直角边的一条直角边BC放在直线放在直线EF上上，斜边斜边AB与与O交于点交于点P，点点B与点与点O重合；将三角形重合；将三角形ABC沿沿OE方方向平移向平移，使得点使得点B与点与点E重合为止设重合为止设POF=x，则则x的取值范围是的取值范围是 综合应用综合应用30 x6010.如图，如图，BC为半圆为半圆O的直径，点的直径，点F是是BC上一动上一动点点(点点F不与不与B、C重合重合)，A是是BF上的中点，设上的中点，设FBC=，ACB=(1)当当=50时，求时，求的度数的度数;(2)猜
48、想猜想与与之间的关系，并之间的关系，并给予证明给予证明.拓展延伸拓展延伸C解：解：(1)连接连接OA，交，交BF于点于点M.A是是BF上的中点，上的中点，OA垂直平分垂直平分BF.BOM=90-B=90-=40.C=AOB=40=20,即即=20.(2)=45-.证明：由证明：由(1)知知BOM90-.又又C AOB,(90-)45-.1212121212CM12圆圆周周角角圆周角的定义：圆周角的定义：顶点顶点在圆上，并且在圆上，并且两边两边都和圆相交的角都和圆相交的角.圆周角定理圆周角定理及其推论：及其推论：定理定理:推论推论一条弧所对的一条弧所对的圆周角圆周角等于它所对的等于它所对的圆心角
49、圆心角的的一半一半同弧或等弧同弧或等弧所对的所对的圆周角圆周角相等相等半圆（或直径）所对的圆周角是半圆（或直径）所对的圆周角是直角直角，90的圆的圆周角所对的弦是周角所对的弦是直径直径.圆内接四边形：圆内接四边形：圆内接四边形的圆内接四边形的内角和为内角和为360,并且四边形的并且四边形的对角互补对角互补.1.从课后习题中选取；从课后习题中选取；2.完成练习册本课时的习题完成练习册本课时的习题.24.2 点和圆、直线和圆的位置关系点和圆、直线和圆的位置关系24.2.1 点和圆的位置关系点和圆的位置关系R九年级上册九年级上册问题：你玩过掷飞镖吗？问题：你玩过掷飞镖吗？下图中下图中A、B、C、D、
50、E分分别是落点，你认为哪个成别是落点，你认为哪个成绩最好？你是怎么判断出绩最好？你是怎么判断出来的？来的？ABCDE(1)知道点和圆的三种位置关系及其判定方法知道点和圆的三种位置关系及其判定方法.(2)知道不在同一直线上的三点确定一个圆，知道不在同一直线上的三点确定一个圆，能过不在同一直线上的三点作圆能过不在同一直线上的三点作圆.(3)知道三角形外心的概念及其性质知道三角形外心的概念及其性质.(4)了解反证法的证明思想及一般步骤了解反证法的证明思想及一般步骤.rCOABOC r 观察图中点观察图中点A，B，C与圆的位置关系与圆的位置关系.设设O半半径为径为 r,说出说出A，B，C到圆心到圆心O
