1、3 格林公式曲线积分与路线的无关性 在计算定积分时,牛顿-莱布尼茨公式反映了区间上的定积分与其端点上的原函数值之间的联系;本节中的格林公式则反映了平面区域上的二重积分与其边界上的第二型曲线积分之间的联系.一、格林公式 二、曲线积分与路线的无关性 一、格林公式 设区域设区域 D 的边界的边界 L 是由是由一一条条或几条光滑曲线所或几条光滑曲线所 组成组成.边界曲线的正方边界曲线的正方向向规定为规定为:当人沿边界当人沿边界行走行走时时,区域区域 D 总在它的左边总在它的左边,如图如图 21-12 所示所示.与上述规定的方向相反的与上述规定的方向相反的方向称方向称2112 图图LD.L为为负方向负方
2、向,记为记为定理定理21.11 若函数若函数(,),(,)P x yQ x y在闭区域在闭区域 D 上上 有连续的一阶偏导数有连续的一阶偏导数,则有则有ddd,LDQPP xQ yxy (1)这里这里 L 为区域为区域 D 的边界曲线的边界曲线,并取正方向并取正方向.公式公式(1)称为称为格林公式格林公式.证证 根据区域根据区域 D 的不同形状的不同形状,这里这里对以下三种情形对以下三种情形 (i)若若 D 既是既是 x 型又是型又是 y 型区域型区域(图图21-13),则可表为则可表为 作出证明作出证明:12()(),xyxaxb 又可表为又可表为 12()(),.yxyy 1()yx 2(
3、)yx 这里这里和和分分 CAE分别是曲线分别是曲线 和和 CBE的方程的方程.于是于是 ACBAEB别为曲线别为曲线 和和 的方的方1()xy 2()xy 程程,而而 和和 则则Ox1()x AbEaBC2()x yD图图 21-1321()()dddyyDQQyxxx 21(),)d(),)dQyyyQyyy(,)d(,)dCBECAEQ x yyQ x yy(,)d(,)dCBEEACQ x yyQ x yy(,)d.LQ x yy 同理又可证得同理又可证得 d(,)d.LDPP x yxy 将上述两个结果相加即得将上述两个结果相加即得ddd.LDQPP xQ yxy (ii)若区域若区
4、域 D 是由一条是由一条 按段光滑的闭曲线围成按段光滑的闭曲线围成,且可用几段光滑曲线将且可用几段光滑曲线将D 分成有限个既是分成有限个既是 x 型型 21 14图图 3L1D2L1L3D2D又是又是 y 型的子区域型的子区域 (如图如图21-14),则则可逐块按可逐块按 (i)得到得到 它们的格林公式它们的格林公式,然后然后相加即可相加即可.如图如图21-14 所示的区域所示的区域 D,可将它分成三个既是可将它分成三个既是 x 型又是型又是 y 型的区域型的区域123,.DDD于是于是 dDQPxy 123dddDDDQPQPQPxyxyxy 123ddddddLLLP xQ yP xQ y
5、P xQ y dd.LP xQ y (iii)若区域若区域 D 由几条闭曲线由几条闭曲线 所围成所围成,如图如图21-15 所示所示.这这 把区域化为把区域化为 (ii)的情形来处的情形来处 2115 图图1LD3L2LCABEFG时可适当添加线段时可适当添加线段 ,AB CE理理.在图在图21-15中添加了中添加了,AB 后后,D 的边界则由的边界则由 23,AB L BA AFC CE L ECCEdDQPxy 23(dd)ABLBAAFCCELECCGAP xQ y231(dd)LLLP xQ ydd.LP xQ y 注注1 并非任何单连通区域都可分解为有限多个既是并非任何单连通区域都可
6、分解为有限多个既是 xy型又是型又是 型区域的并集型区域的并集,例如由例如由 及及 构成构成.由由(ii)知知 CGA31sin,(0,1;1;0;1yxxyxxx 所围成的区域便是如此所围成的区域便是如此.注注2 为便于记忆为便于记忆,格林公式格林公式 (1)也可写成下述形式也可写成下述形式:ddd.LDxyPQP xQ y 注注3 应用格林公式可以简化某些曲线积分的计算应用格林公式可以简化某些曲线积分的计算.请看以下二例请看以下二例:第一象限部分第一象限部分 (图图21-16).解解 对半径为对半径为 r 的四分之一圆域的四分之一圆域 D,应用格林公式应用格林公式:ddLDx y ddd.
7、OAABBOx yx yx y由于由于d0,d0,OABOx yx y因此因此 21dd.4ABDx yr 例例1 计算计算d,ABx y其中曲线其中曲线 是半径为是半径为 r 的圆在的圆在 ABOx2116 图图BLADy例例2 计算计算22dd,Lx yy xIxy 其中其中 L 为任一不包含原为任一不包含原 点的闭区域的边界线点的闭区域的边界线.解解 因为因为2222222,()xyxxxyxy 2222222,()yyxyxyxy 它们在上述区域它们在上述区域 D 上连续且相等上连续且相等,于是于是 2222d0,Dxyxyxyxy 所以由格林公式立即可得所以由格林公式立即可得0.I
8、在格林公式中在格林公式中,令令,Py Qx 则得到一个计算则得到一个计算平平 面区域面区域 D 的面积的面积 SD 的公式的公式:1ddd.2DLDSx yy x (2)例例3 计算抛物线计算抛物线 2()(0)xyax a 与与 x 轴所围图轴所围图 形的面积形的面积 (图图21-17).解解 曲线曲线AMO由函数由函数 ,0,yaxx xaONA0,y 表示表示,为直线为直线 于是于是 1dd2DSx yy x x2117 图图O(,0)A aNMy11dddd22ONAAMOx yy xx yy x1dd2AMOx yy x011()d22aaxaxxxax020111dd.2246aa
9、aaxxx xa二、曲线积分与路线的无关性在第二十章在第二十章2 中计算第二型曲线积分的开始两中计算第二型曲线积分的开始两 个例子中个例子中,读者可能已经看到读者可能已经看到,在例在例1中中,以以 A 为起点为起点 B 为终点的曲线积分为终点的曲线积分,若所沿的路线不同若所沿的路线不同,则其积分则其积分 值也不同值也不同,但在例但在例2 中的曲线积分值只与起点和终中的曲线积分值只与起点和终 点有关点有关,与路线的选取无关与路线的选取无关.本段将讨论曲线积分在本段将讨论曲线积分在 什么条件下什么条件下,它的值与所沿路线的选取无关它的值与所沿路线的选取无关.首先介绍单连通区域的概念首先介绍单连通区
10、域的概念.若对于平面区域若对于平面区域 D 内任一封闭曲线内任一封闭曲线,皆可不经过皆可不经过 D 以以外的点而连续收缩于属于外的点而连续收缩于属于 D 的某一点的某一点,则称此平则称此平面面区域为区域为单连通区域单连通区域;否则称为否则称为复连通区域复连通区域.2118 图图1D4D3D2D1D2D3D4D在图在图 21-18 中中,与与是单连通区域是单连通区域,而而与与 则则 是复连通区域是复连通区域.单连通区域也可以这样叙述单连通区域也可以这样叙述:D 内任内任 一封闭曲线所围成的区域只含有一封闭曲线所围成的区域只含有 D 中的点中的点.更通更通 俗地说俗地说,单连通区域就是没有单连通区
11、域就是没有“洞洞”的区域的区域,复连通区复连通区 域则是有域则是有“洞洞”的区域的区域.定理定理21.12 设设 D 是单连通闭区域是单连通闭区域.若函数若函数(,),P x y(,)Q x y 在在 D 内连续内连续,且具有一阶连续偏导数且具有一阶连续偏导数,则以则以 下四个条件两两等价下四个条件两两等价:(i)沿沿 D 内任一按段光滑封闭曲线内任一按段光滑封闭曲线 L,有有dd0;LP xQ y (ii)对对 D 中任一按段光滑曲线中任一按段光滑曲线 L,曲线积分曲线积分 ddLP xQ y 与路线无关与路线无关,只与只与 L 的起点及终点有关的起点及终点有关;ddP xQ y(,)u x
12、 y(iii)是是 D 内某一函数内某一函数的全微分的全微分,即在即在 D 内有内有 ddd;uP xQ y (iv)在在 D 内处处成立内处处成立 .PQyx ARBASB证证 (i)(ii)如图如图 21-19,设设 与与 为联结点为联结点 A,B 的任意两条按段光滑曲线的任意两条按段光滑曲线,由由 (i)可推得可推得 ddddARBASBP xQ yP xQ yddddARBBSAP xQ yP xQ ydd0,ARBSAP xQ y 所以所以dddd.ARBASBP xQ yP xQ y2119 图图BARSOx2120 图图B0 xADCxxx 0yyyD 内任意一点内任意一点.由由
13、 (ii),曲线积分曲线积分 ddABP xQ y与路线的选择无关与路线的选择无关,故当故当(,)B x y在在 D 内变动时内变动时,其其 积分值是积分值是(,)B x y的函数的函数,即有即有 (,)dd.ABu x yP xQ y取取x 充分小充分小,使使 (,),C xx yD 则函数则函数(,)u x y对于对于 x 的的偏增量偏增量(图图21-20)00(,)A xy(,)B x y(ii)(iii)设设 为为 D 内某一定点内某一定点,为为 (,)(,)xuu xx yu x y dddd.ACABP xQ yP xQ y因为在因为在 D 内曲线积分与路线无关内曲线积分与路线无关
14、,所以所以 dddddd.ACABBCP xQ yP xQ yP xQ y因直线段因直线段 BC 平行于平行于 x 轴轴,故故 d0y,从而由积分从而由积分中中 值定理可得值定理可得 ddxBCuP xQ y(,)d(,),xxxP t ytP xx yx 01.(,)P x y其中其中 根据根据 在在 D 上连续上连续,于是有于是有 00limlim(,)(,).xxxuuP xx yP x yxx 同理可证同理可证(,).uQ x yy 所以证得所以证得 ddd.uP xQ y (,),u x y(iii)(iv)设存在函数设存在函数使得使得ddd,uP xQ y 因此因此(,)(,),(
15、,)(,).xyP x yux yQ x yux y于是由于是由 一点处都有一点处都有 (,)(,).xyyxPQux yux yyx即即(iv)(i)设设 L 为为 D 内任一按段光滑封闭曲线内任一按段光滑封闭曲线,记记 L 所围的区域为所围的区域为.由于由于 D 为单连通区域为单连通区域,所以区域所以区域 含在含在 D 内内.应用格林公式及在应用格林公式及在 D 内恒有内恒有 PQyx 的的 条件条件,就得到就得到 以及以及 P,Q 具有一阶连续偏导数具有一阶连续偏导数,便可知道便可知道在在 D 内每内每 (,),(,),xyyxPQux yux yyxddd0.LQPP xQ yxy 上
16、面我们将四个条件循环推导了一遍上面我们将四个条件循环推导了一遍,这就证明了这就证明了 它们是相互等价的它们是相互等价的.应用定理应用定理21.12 中的条件中的条件(iv)考察第二十章考察第二十章2 中的中的 例例1 与例与例2.在例在例1中中(,),(,).P x yxy Q x yyx 由于由于,1,PQPQxyxyx 故积分与路线有关故积分与路线有关.在例在例2 中中(,),(,),P x yy Q x yx 由于由于 1,PQyx所以积分与路线无关所以积分与路线无关.例例4 计算计算 220.5d0.5d,0.5Lxyxxyyxy其中其中 到点到点 D(0,1)的路径的路径(见图见图2
17、1-21).分析分析 如果第二型曲线积分在某单连通区域内满足如果第二型曲线积分在某单连通区域内满足 与路径无关的条件与路径无关的条件,则可改变积分路径则可改变积分路径,使易于计算使易于计算.L 为沿着右半圆周为沿着右半圆周221(0)xyx由点由点 A(0,-1)解解 记记 220.5(,),0.5xyP x yxy 2222 2(0.5)2(0.5).(0.5)QPxyy xxyxy 220.5(,).0.5xyQ x yxy 易知除去点易知除去点 E(0.5,0)外外,处处满足处处满足 1L(0,1)A(1,1),B(1,1),C设设 为由点为由点 到点到点 再到点再到点 最最 图图 21
18、-21xyO(0,1)A(1,1)B(1,1)C(0,1)D1L2LL E220.5d0.5d0.5Lxyxxyyxy1(,)d(,)dLP x yxQ x yy(,)d(,)dABBCCDP x yxQ x yy1LL因为与因为与(0,1)D的折线段的折线段.后到点后到点 可被包含在某可被包含在某 一不含奇点一不含奇点 E 的单连通区域内的单连通区域内,所以有所以有1102220110.50.51.5ddd(0.5)10.25(0.5)1xyxxyxxyx4arctan0.52arctan2.注注1 定理定理 21.12 中对中对“单连通区域单连通区域”的要求是重要的要求是重要 何不包含原点
19、的单连通区域何不包含原点的单连通区域,已证得在这个区域内已证得在这个区域内 的任何封闭曲线的任何封闭曲线 L 上上,皆有皆有 22dd0.Lx yy xxy (3)的的.如本例若取沿如本例若取沿 y 轴由点轴由点 A 到点到点 D 的路径的路径 ,虽虽 2L然算起来很简单然算起来很简单,但却不可用但却不可用.因为任何包含因为任何包含 2LL与与的单连通区域必定含有奇点的单连通区域必定含有奇点 E.又如又如本节例本节例 2,对任对任 2222(,),(,)yxP x yQ x yxyxy 只在剔除原点外的任何区域只在剔除原点外的任何区域 D 上有定义上有定义,所以所以 L 必必 含在某个复连通区
20、域内含在某个复连通区域内.这时它不满足定理这时它不满足定理 21.12 的条件的条件,因而就不能保证因而就不能保证(3)式成立式成立.事实上事实上,若取若取 L 为绕原点一周的圆为绕原点一周的圆 :cos,sin(02),L xaya 则有则有 倘若倘若 L 为绕原点一周的封闭曲线为绕原点一周的封闭曲线,则函数则函数 注注2 若若 (,),(,)P x yQ x y满足定理满足定理21.12 的条件的条件,则则 由上述证明可看到二元函数由上述证明可看到二元函数 (,)(,)d(,)dABu x yP x yxQ x yy00(,)(,)(,)d(,)dB x yA xyP x yxQ x yy
21、具有性质具有性质d(,)(,)d(,)d.u x yP x yxQ x yy 22222222200ddcossindd2.Lx yy xaaxya 例例5 试应用曲线积分求试应用曲线积分求(2sin)d(cos)dxyxxyy 的原函数的原函数.解解 这里这里(,)2sin,(,)cos,P x yxy Q x yxy 在整个平面上成立在整个平面上成立 cos.PQyyx由定理由定理21.12,曲线积分曲线积分我们也称我们也称(,)u x y为为ddP xQ y 的一个的一个原函数原函数.(2sin)d(cos)dABxyxxyy为此为此,取取(0,0),(,),OB x y取路线为图取路线
22、为图21-22中的折中的折 00(,)2 dcos dxyu x yt txs s2sin.xxyC 注注 由例由例4 可见可见,若若 00,xxyyD x2122 图图(,0)C x(,)B x yOy线段线段 于是有于是有 .OCB只与起点只与起点 A 和终点和终点 B 有关有关,而与路线的选择无关而与路线的选择无关.则求全微分的原函数可用公式则求全微分的原函数可用公式 或或000(,)(,)d(,)d.xyxyu x yP t ytQ xss下例介绍用下例介绍用“凑微分凑微分”法求全微分的原函数法求全微分的原函数.例例6 6 求全微分求全微分221sindsindxIxyxyxyxxyy
23、yy的原函数的原函数(,).u x y解解 由于由于000(,)(,)d(,)dxyxyu x yP t ytQ x ss221sinsinxxyxyyxxyyyxy21sincos,xyxyxyy 221sindsindxxyxyxyxxyyyy 221ddddsindsindxx xyyxyyxy xxxy yyy 因此因此I是某个函数是某个函数 的全微分的全微分.由由 (,)u x y2311ddd cos23xxyxyy2311dcos,23xxyxyy可见可见 2311(,)cos,23xu x yxyxyCy其中其中C为任意常数为任意常数.复习思考题 验证格林公式的另一形式验证格林公式的另一形式:d dcos(,)cos(,)d,DDPQx yPn xQn ysxy nDD 其中其中是是的边界的边界上任一点处的外法线向量上任一点处的外法线向量.
