1、点与圆、直线与圆、圆与圆的点与圆、直线与圆、圆与圆的 位置关系位置关系 一、基础知识一、基础知识1、若圆若圆(x-a)2+(y-b)2=r2，那么点，那么点(x0,y0)在在220202202022020rbyaxrbyaxrbyax圆外圆内圆上2、直线与圆的位置关系、直线与圆的位置关系直线与圆有三种位置关系：相离、相切和相交。直线与圆有三种位置关系：相离、相切和相交。有两种判断方法：有两种判断方法：(1)(1)代数法（判别式法）代数法（判别式法）相离相切相交000(2)(2)几何法，圆心到直线的距离几何法，圆心到直线的距离 相离相切相交rdrdrd一般宜用几何法。一般宜用几何法。3、弦长与切
2、线方程，切线长的求法、弦长与切线方程，切线长的求法（1）弦长求法一般采用几何法：弦心距）弦长求法一般采用几何法：弦心距d，圆半径圆半径r，弦长，弦长l，则，则2222rld(2)(2)切线长切线长 22020002020rbyaxFEyDxyxd过圆外一点过圆外一点 引圆：引圆：x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F0)或或 (x-a)2+(y-b)2=r2(r0)的切线的切线,则切线长：则切线长：),(00yxP过圆上一点的切线方程：过圆上一点的切线方程：圆圆 为切点为切点的切线方程是的切线方程是),(00222yxPryx的以200ryyxx4、圆与圆的位置关系、圆与圆的位置关系
3、相离2121rrOO外切2121rrOO内切2121rrOO内含2121rrOO课课 前前 热热 身身1.直线直线x-y-1=0被圆被圆x2+y2=4截得的弦长是截得的弦长是=_.142.已知圆已知圆C：(x-a)2+(y-2)2=4(a0)及直线及直线l：x-y+3=0当直线当直线l被被C截得的弦长为截得的弦长为 时，则时，则a=()(A)(B)(C)(D)3222-21-212 C【解题回顾解题回顾】要求过一定点的圆的切线方程，首先必须判要求过一定点的圆的切线方程，首先必须判断这点是否在圆上，若在圆上，则该点为切点断这点是否在圆上，若在圆上，则该点为切点.若在圆外，若在圆外，一般用一般用“
4、圆心到切线的距离等于半径长圆心到切线的距离等于半径长”来解题较为简单来解题较为简单.切线应有两条，若求出的斜率只有一个，应找出过这一点切线应有两条，若求出的斜率只有一个，应找出过这一点而与而与x轴垂直的另一条切线轴垂直的另一条切线.例例1.过点过点M(2，4)向圆向圆(x-1)2+(y+3)2=1引切线，引切线，求切线的方程求切线的方程.例例2、已知圆、已知圆x2+y2+x-6y+m=0与直线与直线x+2y-3=0相交于相交于P,Q两点，两点，O为原点，且为原点，且OP OQ，求该，求该圆的圆心坐标及半径。圆的圆心坐标及半径。【思维点拨思维点拨】这是用韦达定理解题的典型这是用韦达定理解题的典型
5、题，在以后的圆锥曲线中也有同类型题，题，在以后的圆锥曲线中也有同类型题，注意注意 的检验的检验练习练习1：若直线：若直线ax+by=1与圆与圆x2+y2=1相交，相交，则点则点P(a,b)的位置是（的位置是（）A、在圆上、在圆上 B、在圆外、在圆外 C、在圆内、在圆内 D、都有可能、都有可能B练习练习2：过点（：过点（2，1）的直线中，）的直线中，被被x2+y2-2x+4y=0截得的最长弦所在截得的最长弦所在的直线方程是（的直线方程是（）A、3x-y-5=0 B、3x+y-7=0 C、x+3y-5=0 D、x-3y+1=0 A 1、点、点A（4，5）关于直线）关于直线l的对称点为的对称点为B（
6、2，7），），则则l的方程为的方程为_ 直线与圆的方程直线与圆的方程对称问题对称问题 分析：对称轴是以两对称点为端点的线段的中垂线 3xy+3=0 对称问题知识点归纳：对称问题知识点归纳：1、点关于点成中心对称：对称中心恰是这两点为端点的线段的中点，因此 中心对称的问题是线段中点坐标公式的应用问题。设P（x0，y0），对称中心为A（a，b），则P关于A的对称点为P（2ax0，2by0）2、点关于直线成轴对称问题：由轴对称定义知，对称轴即为两对称点连线的“垂直平分线”，利用“垂直”“平分”这两个条件建立方程组，就可求出对称点的坐标一般情形如下：设点P（x0，y0）关于直线y=kx+b的对称点为P
7、(x,y)，则有0000122yykxxyyxxkb 可求出x、y 特殊地，点P（x0，y0）关于直线x=a的对称点为P(2ax0，y0)；点P（x0，y0）关于直线y=b的对称点为P（x0，2by0）3、曲线关于点、曲线关于直线的中心或轴对称问题：一般是转化为点的中心对称或轴对称（这里既可选特殊点，也可选任意点实施转化）一般结论如下：（1）曲线f（x，y）=0关于已知点A（a，b）的对称曲线的 方程是f（2ax，2by）=0（2）曲线f（x，y）=0关于直线y=kx+b的对称曲线的求法：设曲线f（x，y）=0上任意一点为P（x0，y0），P点关于直线y=kx+b的对称点为P（x，y），则由（
8、2）知，P与P的坐标满足0000122yykxxyyxxkb 从中解出x0、y0，代入已知曲线f（x，y）=0，应有f（x0，y0）=0,利用坐标代换法就可求出曲线f（x，y）=0关于直线y=kx+b的对称曲线方程.4、两点关于点对称、两点关于直线对称的常见结论：、两点关于点对称、两点关于直线对称的常见结论：（1）点（）点（x，y）关于）关于x轴的对称点为（轴的对称点为（x，y）；）；（2）点（）点（x，y）关于）关于y轴的对称点为（轴的对称点为（x，y）；）；（3）点（）点（x，y）关于原点的对称点为（）关于原点的对称点为（x，y）；）；（4）点（）点（x，y）关于直线）关于直线xy=0的对
9、称点为（的对称点为（y，x）；）；（5）点（）点（x，y）关于直线）关于直线x+y=0的对称点为（的对称点为（y，x）例、两直线例、两直线y=x和和x=1关于直线关于直线l对称，对称，则直线则直线l的方程是的方程是_ 33x+y2=0或3x y2=0 33解：l上的点为到两直线y=x与x=1距离相等的点的集合，即33=x1，2)3(1|3|yx化简得 x+y2=0或3x y2=0 33例例.解不等式解不等式 0(a为常数，为常数，a )12)6)(4(aaxax12【分析分析】含参不等式，参数含参不等式，参数a决定了决定了2a1的符号和两根的符号和两根4a、6a的大小，故对的大小，故对a0、a
10、0、a0、a0时，时，a ；4a 0。所以分以下四种情况讨论：所以分以下四种情况讨论：21当当a0时，时，(x4a)(x6a)0，解得：，解得：x 6a；当当a0时，时，0，解得：，解得：x0；2x当当 a0，解得，解得:x4a；1212当当a 时，时，(x4a)(x6a)0，解得：，解得：6ax4a。综上所述，综上所述，1.若若 0)外一点外一点P(x0,y0)作圆的作圆的两条切线，切点分别为两条切线，切点分别为A、B，证明直线，证明直线AB的方程是的方程是x0 x+y0y=r2yxO.PAB【思维点拨思维点拨】两圆两圆方程相减得公共弦方程相减得公共弦直线方程直线方程例例4 4、已知两个圆、
11、已知两个圆C C1 1：x2+y2=4，C C2 2：x2+y2-2x-4y+4=0，直线，直线L:x+2y=0L:x+2y=0，求经过，求经过C C1 1和和C C2 2的交点的交点且和且和L L相切的圆的方程。相切的圆的方程。【评述评述】利用过两圆交点的圆系方程求解利用过两圆交点的圆系方程求解练习练习4：过两圆过两圆x2+y2+6x-4=0和和x2+y2+6y-28=0的交点且圆心在直线的交点且圆心在直线x-y-4=0上的圆方程是上的圆方程是()(A)x2+y2+x-5y+2=0 (B)x2+y2-x-5y-2=0(C)x2+y2-x+7y-32=0 (D)x2+y2+x+7y+32=0
12、C备用题：备用题：例例5 已知与曲线已知与曲线C：x2+y2-2x-2y+1=0相切的直相切的直线线L交交x轴、轴、y轴于轴于A、B两点两点,O为原点为原点,且且|OA|=a,|OB|=b(a2,b2)（1）求证曲线）求证曲线C与直线与直线L相切的条件是相切的条件是 (a-2)(b-2)=2(2)求线段求线段AB中点的轨迹方程中点的轨迹方程(3)求求AOB面积的最小值面积的最小值.三、小结三、小结1.有关直线与圆的位置关系，一般要用圆心到有关直线与圆的位置关系，一般要用圆心到直线的距离与半径的大小来确定。直线的距离与半径的大小来确定。2.弦长计算问题要用直角三角形。弦长计算问题要用直角三角形。
13、3直线系，圆系的应用直线系，圆系的应用四、四、【布置作业布置作业】优化设计优化设计P1153、弦长与切线方程，切线长的求法、弦长与切线方程，切线长的求法（1）弦长求法一般采用几何法：弦心距）弦长求法一般采用几何法：弦心距d，圆半径圆半径r，弦长，弦长l，则，则2222rld(3)(3)改写圆方程写出圆的切线方程：以改写圆方程写出圆的切线方程：以(x0,y0)为切点的圆的切线方程，分别以为切点的圆的切线方程，分别以x0 x,y0 y,2,200yyxx改写圆方程中的改写圆方程中的x2，y2,x,y 特殊地特殊地:过圆过圆(x-a)2+(y-b)2=r2上一点上一点M(x0,y0)的圆的切线方程为
14、的圆的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r25、圆系方程、圆系方程（1）以）以(a,b)为圆心的圆系方程：为圆心的圆系方程：0222rrbyax（2）过两圆）过两圆 0:111221FyExDyxC和和 0:222222FyExDyxC的交点的圆系方程：的交点的圆系方程：02222211122FyExDyxFyExDyx但不含但不含C2。为两圆公共弦所在直线方程，其中当两圆相为两圆公共弦所在直线方程，其中当两圆相切时，切时，L为过两圆公共切点所在直线的方程。为过两圆公共切点所在直线的方程。1时，时，0:212121FFyEExDDl两直线的位置关系两直线的位置关系 直线
15、与直线的位置关系：直线与直线的位置关系：（1）有斜率有斜率的两直线的两直线l1：y=k1x+b1；l2：y=k2x+b2 l1l2 k1=k2且且b1b2；l1l2 k1k2=-1；l1与与l2相交相交 k1k2 l1与与l2重合重合 k1=k2且且b1=b2。(2)一般式的直线一般式的直线l1：A1x+B1y+C1=0，l2：A2x+B2y+C2=0 l1l2 A1B2-A2B1=0 且且 B1C2-B2C10 l1l2 A1A2+B1B2=0 l1与与l2相交相交 A1B2-A2B10 l1与与l2重合重合 A1B2-A2B1=0且且B1C2-B2C1=0。到角与夹角：到角与夹角：两条直线
16、两条直线l1,l2相交构成四个角，它们是两对对顶角，把相交构成四个角，它们是两对对顶角，把l1依逆时针方向旋转到与依逆时针方向旋转到与l2重合时所转的角，叫做重合时所转的角，叫做l1到到l2的角的角，l1到到l2的角的范围是的角的范围是(0，)l1与与l2所成的角是指不大所成的角是指不大于直角的角，简称于直角的角，简称夹角夹角.到角的公式是到角的公式是 ，夹，夹角公式是角公式是 ，以上公式适用于两直线斜率都，以上公式适用于两直线斜率都存在，且存在，且k1k2-1，若不存在，由数形结合法处理，若不存在，由数形结合法处理.21121tankkk-k21121tankkk-k点与直线的位置关系：点与
17、直线的位置关系：设点设点P（x0，y0）,直线直线L：Ax+By+C=0上，则有上，则有（1）点在直线上：）点在直线上：Ax0+By0+C=0；（2）点不在直线上，则有）点不在直线上，则有Ax0+By0+C0（3）点）点 到直线到直线 的距离为：的距离为：),(00yxP0:CByAxl2200BACByAxd（4）.两条平行线两条平行线l1：Ax+By+C1=0，l2：Ax+By+C2=0的的距离为：距离为：2221BACCd注意：注意：1、两直线的位置关系判断时，、两直线的位置关系判断时，要注意斜率不存在要注意斜率不存在 的情况的情况2、注意、注意“到角到角”与与“夹角夹角”的区分。的区分
18、。3、在运用公式求平行直线间的距离、在运用公式求平行直线间的距离 时，一定要时，一定要把把x、y前面的系数化成相等。前面的系数化成相等。2221BACCd2.若直线若直线l1：mx+2y+6=0和直线和直线l2:x+(m-1)y+m2-1=0平行但不平行但不重合，则重合，则m的值是的值是_.1.已知点已知点P(1，2)，直线，直线l:2x+y-1=0，则，则 (1)过点过点P且与直线且与直线l平行的直线方程为平行的直线方程为_，(2)过点过点P且与直线且与直线l垂直的直线方程为垂直的直线方程为_；(3)过点过点P且直线且直线l夹角为夹角为45的直线方程为的直线方程为_；(4)点点P到直线到直线
19、L的距离为的距离为_，(5)直线直线L与直线与直线4x+2y-3=0的距离为的距离为_课前热身课前热身2x+y-4=0 x-2y+3=03x+y-5=0或或x+3y-7=0553105-11.已知两直线已知两直线l1：mx+8y+n=0和和l2：2x+my-1=0.试确定试确定 m、n的值，使的值，使l1与与l2相交于点相交于点P(m,-1)；l1l2；l1l2，且，且l1在在y轴上的截距为轴上的截距为-1.【解题回顾解题回顾】若直线若直线l1、l2的方程分别为的方程分别为A1x+B1y+C1=0和和A2x+B2y+C2=0，则，则l1l2的必要条件是的必要条件是A1B2-A2B1=0，而，而
20、l1l2的充要条件是的充要条件是A1A2+B1B2=0.解题中为避免讨论，常依解题中为避免讨论，常依据上面结论去操作据上面结论去操作.类型之一两条直线位置关系的判定与运用例例2、已知直线、已知直线l经过点经过点P（3，1），），且被两平行且被两平行直线直线l1：x+y+1=0和和l2：x+y+6=0截得的线段之长截得的线段之长为为5。求直线。求直线l的方程。的方程。解解:若直线若直线l的斜率不存在，则的斜率不存在，则直线直线l的方程为的方程为x=3，此时与此时与l1、l2的交点分别是的交点分别是A1（3，-4）和）和B1（3，-9），），截得的线段截得的线段AB的长的长|AB|=|-4+9|=
21、5，符合题意。符合题意。类型之二两条直线所成的角及交点B1A1AxPBOyl1l2(3,1)例例2、已知直线、已知直线l经过点经过点P（3，1），），且被两平行且被两平行直线直线l1：x+y+1=0和和l2：x+y+6=0截得的线段之长截得的线段之长为为5。求直线。求直线l的方程。的方程。若直线若直线l的斜率存在，则设的斜率存在，则设l的方程为的方程为y=k(x-3)+1，解方程组解方程组 y=k（x-3）+1 x+y+1=0 得A（）,123kk114kk解方程组 y=k（x-3）+1 x+y+6=0 得B（，）173kk119kk由|AB|=5得2225)119114()173123(kk
22、kkkkkk解之，得解之，得k=0，即所求的直线方程为，即所求的直线方程为y=1 综上可知，所求综上可知，所求l的方程为的方程为x=3或或y=1 B1A1AxPBOyl1l2(3,1)例例2、已知直线、已知直线l经过点经过点P（3，1），），且被两平行且被两平行直线直线l1：x+y+1=0和和l2：x+y+6=0截得的线段之长截得的线段之长为为5。求直线。求直线l的方程。的方程。解二解二由题意，直线由题意，直线l1、l2之间之间的距离为的距离为d=2252|61|且直线且直线l被直线被直线l1、l2所截的线段所截的线段AB的长为的长为5，设直线设直线l与与l1的夹角为的夹角为，则则 22522
23、5sin故故=450 由直线由直线l1：x+y+1=0的倾斜角为的倾斜角为1350，知直线知直线l的倾斜角为的倾斜角为00或或900，又由直线又由直线l过点过点P（3，1），故所求），故所求l的方程为的方程为x=3或或y=1。B1A1AxPBOyl1l2(3,1)例例2、已知直线、已知直线l经过点经过点P（3，1），），且被两平行且被两平行直线直线l1：x+y+1=0和和l2：x+y+6=0截得的线段之长截得的线段之长为为5。求直线。求直线l的方程。的方程。解三解三设直线设直线l与与l1、l2分别相交于分别相交于A（x1，y1）、）、B（x2，y2），则），则x1+y1+1=0，x2+y2+6
24、=0。两式相减，得（两式相减，得（x1-x2）+（y1-y2）=5 又又 (x1-x2)2+(y1-y2)2=25 联立 ，可得 x1-x2=5 或 x1-x2=0 y1-y2=0 y1-y2=5由上可知，直线由上可知，直线l的倾斜角为的倾斜角为00或或900，又由直线又由直线l过点过点P（3，1），故所求），故所求l的方程为的方程为x=3或或y=1。思维点拨思维点拨；要求直线方程只要有：点和；要求直线方程只要有：点和斜率（可有倾斜角算，也可以先找两点）。斜率（可有倾斜角算，也可以先找两点）。B1A1AxPBOyl1l2(3,1)例例3、点、点 关于直线关于直线 的对称点是的对称点是（）对称问
25、题对称问题(4,0)P54210 xyA（6，8）B(8，6)C（6，8)D（6，8）解：设点解：设点 关于直线关于直线 的对称点为的对称点为(4,0)P54210 xy111(,)P x y由轴对称概念由轴对称概念 的中点的中点 在对称轴在对称轴 上上 1PP1140(,)22xyM54210 xy且且 与对称轴垂直，与对称轴垂直，1PP则有则有 111145421 02244 5xyyx 解得解得 116,8,xy 1(6,8)P 点评：对称问题可化为点关于点对称，点关于直线对称的问题 D课前热身1、过点、过点A(3，0)，且平行于直线，且平行于直线 的直线方程是的直线方程是_ 230 x
26、y2360 xy2、两直线、两直线 与与 的夹角是的夹角是_ 320 xy3340 xy0603、两平行直线、两平行直线 和和 间的距离是间的距离是 _2yx25yx53、过直线、过直线l1：A1x+B1y+C1=0，l2：A2x+B2y+C2=0交点的直线系方程为：交点的直线系方程为：A1x+B1y+C1+（A2x+B2y+C2）=0（R）(除除l2外外)。1、与直线、与直线Ax+By+C=0平行的直线方程为平行的直线方程为 Ax+By+m=02、与直线、与直线Ax+By+C=0垂直的直线方程为垂直的直线方程为Bx-Ay+m=0【例题选讲】【例题选讲】例例1、(优化设计优化设计P105P10
27、5例例2)2)已知两条直线已知两条直线 l1:x+m2y+6=0,l2:(m-2)x+3my+2m=0，当当m为为何值时何值时,l1与与l2（）（）相交；（）平行；（）重合相交；（）平行；（）重合。思维点拨思维点拨 先讨论、系数为的情况。先讨论、系数为的情况。例例2、(优化设计优化设计P105P105例例1)1)等腰三角形一腰所等腰三角形一腰所在直线在直线 的方程是的方程是 ，底边所在直线，底边所在直线 的方程是的方程是 ，点（，点（-2-2，0 0）在另一腰上，）在另一腰上，求该腰所在直线求该腰所在直线 的方程。的方程。022 yx1l2l01yx3l评述本题根据条件作出评述本题根据条件作出
28、 =的结论，的结论，而后利用到角公式，最后利用点斜式求出而后利用到角公式，最后利用点斜式求出的方程。的方程。123l例例3(3(优化设计优化设计P105P105例例3)3)已知点已知点P P（2 2，-1-1），），求：求：（1）过过P P点与原点距离为点与原点距离为2 2的直线的直线 的方的方程；程；（2）过过P P点与原点距离最大的直线点与原点距离最大的直线 的的方程，最大距离是多少？方程，最大距离是多少？（3 3）是否存在过是否存在过P P点与原点距离为点与原点距离为6 6的的直线？若存在，求出方程；若不存在，请直线？若存在，求出方程；若不存在，请说明理由。说明理由。ll评述评述求直线方
29、程时一定求直线方程时一定要注意斜要注意斜率不存在的情况率不存在的情况 例例5、已知已知A（0，3），），B（-1，0），），C（3，0）求求D点的坐标，使四边形点的坐标，使四边形ABCD是等腰梯形。是等腰梯形。-1BOCAD2D1备用题：备用题：思维点拨；利用等腰三角形性质思维点拨；利用等腰三角形性质“两底平行两底平行且两腰相等且两腰相等”，用斜率相等及两点间距离公式。，用斜率相等及两点间距离公式。【课堂小结】课堂小结】1要认清直线平行、垂直的充要条件，应特要认清直线平行、垂直的充要条件，应特别注意别注意x、y的系数中一个为零的情况的讨论。的系数中一个为零的情况的讨论。2在运用一条直线到另一条直线的角的公式在运用一条直线到另一条直线的角的公式时要时要注意无斜率的情况注意无斜率的情况及及两直线垂直的情况两直线垂直的情况。点到直线的距离公式是一个基本公式，它涉及点到直线的距离公式是一个基本公式，它涉及绝对值、点在线上、最小值等内容。绝对值、点在线上、最小值等内容。【布置作业】优化设计优化设计P105、P106
