1、1第三章 幂级数展开n第一节 复数项级数n第二节 幂级数n第三节 Taylor级数表示n第四节 解析延拓n第五节 Laurent级数表示n第六节 孤立奇点的分类2第一节 复数项级数n复数项级数概念形如 的表达式被称为复数项级数，其中wn是复数。121nnnwwww收敛与发散若 的前n项和 有极限(n),则称该级数收敛，且称此极限值为该无穷级数的和；否则称为发散。1nnwnjjnwS13收敛的充分必要条件设 ，则级数 收敛的充分必要条件是 和 都收敛，其中un和 vn皆为实数。),2,1(invuwnnn1nnw1nnu1nnv绝对收敛与条件收敛称级数 是绝对收敛的，如果 是收敛的1nnw1|n
2、nw称级数 是条件收敛的，如果 是发散的，而 是收敛的1nnw1|nnw1nnw4举例考察级数 的敛散性1/11nnien考察级数 的敛散性1nnz考察级数 的敛散性12)1(nnnin5n复函数项级数概念收敛与发散形如 的表达式被称为复数项级数，其中wn(z)是复变函数。121)()()()(nnnzwzwzwzw点收敛：域收敛：收敛称之10)(nnzw收敛，zB，称之1)(nnzw6收敛的充分必要条件级数 收敛的充分必要条件是 和 都收敛，其中),2,1(),(i),()(nyxvyxuzwnnn)(1zwnn),(1yxunn),(1yxvnn1 ()npkk nw z 对于 ，如果 0
3、，N(,z)，当nN(,z)时，有 其中p为任意正数)(1zwnn若与z无关则称一致收敛柯西收敛判据7性质连续性级数 在B内一致收敛，且wn(z)连续，则该级数在B内连续)(1zwnn可积性级数 在C上一致收敛，且wn(z)在C上连续，则)(1zwnn11)()(nCnCnndzzwdzzw解析性级数 在B内一致收敛于f(z)，且wn(z)在B内解析，则f(z)在B内解析，且)(1zwnn1)()()()(nknkzwzf8第二节 幂级数概念收敛半径与收敛圆形如 的级数被称为以z0为中心的幂级数，其中an是复常数。10)(nnnzza若存在正数R，使得当|z-z0|R时，级数 发散，则称R为级
4、数 的收敛半径收敛半径，其中|z-z0|R被称为收敛圆收敛圆。10)(nnnzza10)(nnnzza10)(nnnzza9收敛半径的求法1limnnnaaRnnnaR1limDAlembert公式Cauchy(根式)公式10举例求级数 的敛散半径及收敛圆1nnz11求级数 的敛散半径收敛圆12(1)1(1)nnnz12内闭一致收敛幂级数的性质在收敛园内幂级数具有连续性、可积性和解析性幂级数在收敛圆内内闭一致收敛13可积性14第三节 Taylor级数展开15nTaylor定理设函数 f(z)以z0为圆心的圆周CR内解析，则对于圆内任一点z，函数f(z)可写成00)()(kkkzzazf10()
5、01()2i()1()!RkkCkfadzfzk 其中z0zCRCRRR1617举例函数 f(z)=ez 在z=0点的Taylor级数展开18函数 f(z)=sin z和f(z)=cos z 在z=0点的Taylor级数展开19函数 f(z)=Ln z 在z=1点的Taylor级数展开函数 f(z)=(1+z)n 在z=0点的Taylor级数展开20n解析函数的一个等价命题函数 f(z)在B内解析的充分必要条件为 f(z)在B内任一点的邻域内可展成幂级数21n展成幂级数的几种方法直接方法间接方法函数 f(z)=arctan z 在z=0点的Taylor级数展开函数 f(z)=sin z 在z=
6、0点的Taylor级数展开函数 f(z)=1/(1-z)2 在z=0点的Taylor级数展开待定系数法函数 f(z)=tan z 在z=0点的Taylor级数展开22第四节 解析延拓211 (|1)1kttttt 246211 (|1)1zzzzz解析延拓：已给某个区域b上的解析函数f(z),能否找到另一个函数F(z),它在含有区域b的一个较大的区域B上是解析函数，而且在区域b上等同于f(z)。简单地说，解析延拓就是解析函数定义域的扩大！)(zf)(zF23原则上讲，解析延拓都可以利用泰勒级数进行。具体地说，选取区域b的任一内点z0，在z0的领域上把解析函数f(z)展开为泰勒级数，如果这个泰勒
7、级数的收敛圆有一部分超出b之外，解析函数f(z)的定义域就扩大了一步。这样一步又一步，定义域逐步扩大。解析延拓是唯一的！24第五节 Laurent级数表示n问题的提出已知结果：当 f(z)在圆|z-z0|R内解析，Taylor定理告诉我们，f(z)必可展开成幂级数。问题是：当 f(z)在圆|z-z0|R2外收敛。如果R2R1，那么双边幂级数就在环状域 R2|z-z0|R1 内收敛，所以 R2|z-z0|R1给出了双边幂级数的环状收敛域，称为收敛环。双边幂级数在收敛环内绝对一致收敛。2700)(nnnzza正幂部分10)(nnnzza负幂部分R1z0|z-z0|R1R2z0R2|z-z0|R2R
8、1z0收敛环R2|z-z0|R101zz 28n双边幂级数的性质R2R1z0B定理设双边幂级数 的收敛环B为R2|z-z0|R1，则nnnzza)(0nnnzzazf)()(0(1)在B内连续；(2)在B内解析，且于B内可逐项可导；(3)在B内可逐项积分。29nLaurent定理设函数 f(z)在环状域 R2|z-z0|R1 的内部单值解析，则对于环内任一点z，f(z)可展开成nnnzzazf)()(0Ckkdzfa10)()(i21其中zCR1CR2R2R1z0C30(3)Laurent级数中的z0点可能是f(z)的奇点，也可能不是f(z)的奇点说明(2)Laurent级数展开的唯一性)(!
9、10)(zfnann(1)与泰勒展开系数不同(4)与泰勒级数定理不一样，我们一般不利用洛朗级数定理计算洛朗级数展开怎么样求解洛朗级数展开呢？31例1在z0=0的邻域上把(sin z)/z 展开解：函数 f(z)=(sin z)/z 在z0=0点没有定义，z0=0 为奇点。为避开奇点，从复数平面挖去原点.已知357sin (|)1!3!5!7!zzzzzz 在挖去原点的复平面上用z遍除sin z即得 246sin1 (|)3!5!7!zzzzzz 0sin (0)()sinlim1 (0)zzzzf zzzz定义f(z)解析延拓32函数 f(z)=1/(1-z2)分别在1|z|和 0|z-1|2
10、内的Laurent级数展开11-11|z|例22222246021111111111kkzzzzzzzz z1中心为z=0，因此是要将f(z)展开成z的幂级数1z的定义域是211)(zzf（1）1|z|3321-10|z-1|2211 21 2111zzz220111111 1212 (0|1|2)kkkkzzzz210 z中心为z=1，因此是要将f(z)展开成(z1)的幂级数?011112141(1)211142kkkzzz负幂项（2）0|z-1|234在z=0的邻域上把 f(z)=e1/z 展开例3将z全换成1/z即得013201!111!311!211!1111!1kkzkkzzkezz
11、zzzke即zzzzzkekkz320!31!21!111!1已知35洛朗级数求解总结zzzzzkekkz320!31!21!111!1357sin (|)1!3!5!7!zzzzzz zzzzz642!61!41!211cos111132zzzzz36第六节 孤立奇点的分类n概念若函数 f(z)在某点z0在不可导，而在z0的任意邻域内除z0外连续可导，则称z0为f(z)的孤立奇点；若在z0的无论多小的邻域内总可以找到z0以外的不可导点，则称z0为f(z)的非孤立奇点。举例孤立奇点的例子2/111 ,1zezz非孤立奇点的例子)/1sin(1z1 ,21,0,21,137n孤立奇点的Laure
12、nt级数展开在区域 0|z-z0|R 内的单值解析函数 f(z)可展开成nnnzzazf)()(0其中正幂部分00)(nnnzza是该级数的解析部分10)(nnnzza是该级数的主要部分负幂部分这里a-1具有特殊的作用，被称为f(z)在点z=z0处的留数38n孤立奇点的分类主要部分不存在即没有负幂项主要部分有m项即有m项负幂项主要部分有无穷多项即有无穷多项负幂项nnnzzazf)()(0可去奇点：m阶极点：本性奇点：39n孤立奇点的等价命题内有界在可去奇点|z-|0)(lim00zlzfzz)(lim )0()()(lim 0)z()(),()(1)(00000zfaazfzzzzzzzfmzzmzzm解析且阶极点不存在且不为无穷本性奇点)(lim0zfzz40举例zzzfsin)(22)1)(1(2)(zzzzf232)(sin)2)(1()(zzzzfzzf1exp)(求下列函数的孤立奇点，并指出类型
