1、17.4 17.4 一元二次方程根的根与系数的关系一元二次方程根的根与系数的关系 2.2.求根公式是什么？根的个数怎么确定的？求根公式是什么？根的个数怎么确定的？ 复习引入复习引入 1.1.一元二次方程的解法有哪些，步骤呢？一元二次方程的解法有哪些，步骤呢？ 方程方程 x1 x2 x1+ x2 x1x2 x2-3x+2=0 x2-2x-3=0 x2-5x +4=0 问题：你发现这些一元二次方程的两根问题：你发现这些一元二次方程的两根x1+ x2，与与 x1 x2系数有什么规律系数有什么规律？ 2 1 3 2 -1 3 2 -3 1 4 5 4 合作探究合作探究 活动：探究一元二次方程的根与系数
2、的关系活动：探究一元二次方程的根与系数的关系 方方 程程 x1 x2 xx 21 xx 21. 0169 2 x x 0143 2 x x 0273 2 x x 3 1 3 1 3 2 9 1 3 72 3 4 3 1 3 1 -2 3 7 3 2 x1+ x2， ，x1x2与系数有什么规律 与系数有什么规律? 3 72 猜想：当二次项系数为猜想：当二次项系数为1时，方程时，方程 x2+px+q=0的两的两 根为根为x1, x2. qxxpxx 2121 猜想：猜想： 如果一元二次方程如果一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c是常是常 数且数且a0）的两根为）的两根为x1、x2， ，则：
3、 则： x1+x2和和x1.x2与系数与系数a，b，c 的关系的关系. a b xx 21 a c xx 21 04 2 acb 12 xx 22 44 22 bbacbbac aa 2 0(0)axbxca中 22 44 2 bbacbbac a 2 2 b a b a 22 12 44 , 22 bbacbbac xx aa 12 x x 22 44 22 bbacbbac aa 222 2 ()(4) 4 bbac a 22 2 (4) 4 bbac a 2 4 4 ac a c a 任何一个一元二次方程的根与系数的关系：任何一个一元二次方程的根与系数的关系： 如果方程如果方程ax2+b
4、x+c=0(a0)的两个根是的两个根是x1 , x2 , 那么那么x1 + x2= , x1 x2= a b - a c （韦达定理）（韦达定理） 注：能用根与系数的关系的前注：能用根与系数的关系的前 提条件为提条件为b2-4ac0 例例1.不解方程，求下列方程两根的和与积不解方程，求下列方程两根的和与积. 2 2 2 415) 3( 0973)2( 0156) 1 ( xx xx xx 在使用根与系数的关系时，应注意：在使用根与系数的关系时，应注意： 不是一般式的要先化成一般式；不是一般式的要先化成一般式； 在使用在使用x1+x2= 时，注意时，注意“ ”不要漏写不要漏写. a b 2 2
5、2 1 ) 1 (xx 21 11 )2( xx 例例2.设设 是方程是方程 的两个根，利的两个根，利 用根与系数的关系，求下列各式的值用根与系数的关系，求下列各式的值. 21 ,xx0342 2 xx ) 1)(1)(3 ( 21 xx 2 212 2 1 ) 4 (xxxx 2 1 1 2 )5( x x x x 2 21 )(6(xx 例例3.求一个一元二次方程，使它的两个根是求一个一元二次方程，使它的两个根是2和和3， 且二次项系数为且二次项系数为1. 变式：且二次项系数为变式：且二次项系数为5. 例例4.方程方程 的两根同为正数，求的两根同为正数，求p、q 的取值范围的取值范围. 0
6、 2 qpxx 四、求方程中的待定系数四、求方程中的待定系数 变式变式:方程方程 有一个正有一个正 根，一个负根，求根，一个负根，求m的取值范围的取值范围. 解解:由已知由已知, 0) 1(44 2 mmm= 0 1 21 m m xx 即即 m0 m-10 0m1 ) 0( 012 2 mmmxmx 一正根，一负根一正根，一负根 0 x1x20 两个正根两个正根 0 x1x20 x1+x20 两个负根两个负根 0 x1x20 x1+x20 一元二次方程根与系数的关系？一元二次方程根与系数的关系？ a c a b aCbxax xxxxxx 212121 2 .;, )0(0 则有 的两根分别是如果 注：能用根与系数的关系的前提条件为注：能用根与系数的关系的前提条件为b2-4ac0. 课堂小结课堂小结
