1、函数的单调性函数的单调性知识梳理知识梳理1.1.函数的单调性的定义函数的单调性的定义一般地一般地,设函数设函数f(xf(x)的定义域为的定义域为I:I:如果对于定义域如果对于定义域I I内某个区内某个区间间D D上的任意两个自变量的值上的任意两个自变量的值x x1 1,x,x2 2,当当x x1 1xx2 2时时,都有都有f(xf(x1 1)f(x)f(x)f(x2 2)则则称称f(xf(x)在区间在区间D D上为减函数上为减函数,若若f(xf(x1 1)f(x)f(x2 2)则称则称f(xf(x)在区间在区间D D上为减函数上为减函数,区间区间D D叫做叫做y=f(xy=f(x)的单调区间的
2、单调区间,函数的单调性是函数的单调性是函数在某个区间上的整体性质函数在某个区间上的整体性质,所以讨论函数的单调性及单所以讨论函数的单调性及单调区间都必须考虑函数的定义域调区间都必须考虑函数的定义域;另外另外,在函数的单调性定义中的在函数的单调性定义中的x x1 1,x,x2 2满足满足:一是属于一个单一是属于一个单调区间调区间;二是任意性二是任意性;三是有大小三是有大小,即即x x1 1xxx2 2).).由于由于区间端点不具有单调性区间端点不具有单调性,因此写单调区间时因此写单调区间时,可以写成包含可以写成包含端点的闭区间端点的闭区间,也可以写成不包含端点的开区间也可以写成不包含端点的开区间
3、.2.2.函数单调性定义的等价形式函数单调性定义的等价形式(1)(1)对于任意对于任意x x1 1,x,x2 2a,b,(0)a,b,(0)0(0)(0时，设0 x xa则f(x)-f(x)=x+x于是当0 x f(x)所以f(x)在（0,上是减函数；当x x 时，f(x)f(x)所以f(x)在(,+)上是增函数。),)0aaaa因 为 f(x)是 一 个 奇 函 数，函 数 f(x)在对 称 区 间 上 具 有 相 同 的 单 调 性所 以 有(2)当 x0时 f(x)在-,0 上 是 减 函 数；在(-,-)上 是 增 函 数。综 上 知:函 数 f(x)的 单 调 递 增 区 间 为：(
4、-,-)，（a单 调 递 减 区 间 为：-,0，（，a2()(0)1(1,1)axfxax变 式 训 练：讨 论 函 数在 x上 的 单 调 性。2122122222222221121(1)()111)(1)10,10,0,0,1011axa x xxxxxxxxax x 1211211112解:设-1x 0所以f(x)在(,)上是减函数。例2：（1）函数y=-(x-3)|x|的单调递减区间是_（2）求函数22log(43)yxx的单调区间解：（1）图象法。答案：30,)2 （，（2）函数的定义域为：（-,-1)(4,+)令u=4+3x-x2,y=log2u,u=4+3x-x2在（-,-1)
5、上单调递增，在(4,+)上单调递减，y=log2u在（0，,+)上是增函数.由复合函数的单调性知：函数 的单调递增区间为：（-,-1)，单调递减区间为：(4,+)32x对22log(4 3)yx x变式训练：若函数y=log2(x2-ax+3a)在2，+)上是增函数，求实数a的取值范围。解：由题意知函数u=x2-ax+3a在2，+)上 是增函数，且u(2)0224230aaa解得：a(-4,4例3：已知函数（1）求的f(x)的单调区间，并针对减区间给予证明;（2）求f(x)在-3,0上的最值()|1|(3)f xxx解：(1)由图象知（图略）：f(x)的单调递增区间为：(-,-1,1,+)单调
6、递减区间为(-1,1)x(-1,1)时，f(x)=-x2-2x+3,(单调性证明略)(2)由(1)知f(x)在-3,-1上单调递增，在(-1,0上单调递减。f(-3)=0,f(-1)=4,f(0)=3所以，f(x)在-3,0上的最大值为4，最小值为0.例4.已知函数f(x)的定义域为（0，+），当x1时，f(x)0,且对于任意的正数x,y都有f(xy)=f(x)+f(y)(1)证明：函数f(x)在定义域上是增函数（2）如果f(2)=1且f(x)+f(8x-4)2,求x的取值范围1222221111111122211110()()()()()()()()1,()0,()()0.()xxxxxf
7、xf xfxf xff xf xfxxxxxff xf xxxf x（）证明：设则因为所以所以故在定义域上是增函数。22(2)()(84)(84)2(2)(2)(4)8440,18401,)f xfxfxxfffxxxxxxx因为所以 满足解得故实数 的取值范围是例5.已知函数y=f(x)是偶函数，y=f(x-2)在0,2上是单调减函数，试比较f(-1),f(0),f(2)的大小解：令t=x-2,当x0,2时，t-2,0t=x-2在0,2上是增函数，f(x-2)在0,2上是减函数，说明t-2,0时，f(t)单调递减又因为y=f(x)是偶函数所以y=f(x)在-2,0上是减函数，在0,2上是增函
8、。所以有：f(0)f(1)f(2),而f(1)=f(-1)故：f(0)f(-1)0,0,则有则有 ()()A.f(a)+f(b)f(-a)+f(-b)A.f(a)+f(b)f(-a)+f(-b)B.f(a)+f(b)f(-a)+f(-b)B.f(a)+f(b)f(-a)-f(-b)C.f(a)-f(b)f(-a)-f(-b)D.f(a)-f(b)f(-a)-f(-bD.f(a)-f(b)0,a-b,b:a+b0,a-b,b-a,-a,又又f(xf(x)为为R R上的增函数上的增函数,f(a)f(-b),f(bf(a)f(-b),f(b)f(-a),)f(-a),故有故有f(a)+f(b)f(-
9、a)+f(-bf(a)+f(b)f(-a)+f(-b).).4.若函数y=|x|(1-x)在区间A上是增函数，那么区间A可以是（）11A.(-,0).0,.0,.(,)22BCD 图象法，答案：B答案：答案：(-,0)(1,+)(-,0)(1,+)5.已知f(x)为R上的减函数,则满足f()f(1)的实数x的取值范围是_ 二.填空题1x()log(1)01xaf xaxa6.函数在，上的最大值与最小值的和为，则a=_12答案：27.4,0a10a1x,0 x0,a1a1x,0 x0,1log_.ayx 在给出的下列 个条件中能使函数为单调减函数的是答案答案:解析解析:利用复合函数的性质可知利用
10、复合函数的性质可知正确正确.28.()12,()fxxxfx设 函 数判 断 函 数在区 间 0,+)上 的 单 调 性，并 用 定 义 证 明121222121122121212221222112212221222112212120,),0,),()()12(12)()()2()11(21)(21)()11210,210,0()(x xxxf xf xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxf xf x 解：f(x)在上是一个减函数，证明如下：任取且)0()0,)f x在上是减函数。9.9.已知函数已知函数 (xa(xa).).(1)(1)若若a=-2,a=-2,试证试证f(xf
11、(x)在在(-,-2)(-,-2)内单调递增内单调递增;(2)(2)若若a0a0且且f(xf(x)在在(1,+)(1,+)内单调递减内单调递减,求求a a的取值范围的取值范围.xf xxa10.已知函数f(x)=a2x+b3x,其中a,b满足ab0 (1)若ab0，判断函数f(x)单调性 （2）若abf(x)时的x的取值范围。解：(1)当a0,b0时，任意x1,x2R,x1,x2,则121212121212xxxx12xxxxxxxx12f(x)-f(x)=a(2-2)+b(3-3)22,0(2-2)0,30,b0时，函数在上是减函数（2）当时函数在上是增函数32323(2)(1)()22302()2310,0()log();222320,0()log().222xxxxxf xf xabbaaaabxbbaaabxbb当（）时，（）时，
