1、17.1 17.1 一元二次方程一元二次方程 第17章 一元二次方程 1.你还记得什么叫方程？什么叫方程的解吗？你还记得什么叫方程？什么叫方程的解吗？ 2.什么是一元一次方程？它的一般形式是怎样的？什么是一元一次方程？它的一般形式是怎样的？ 一般形式：一般形式：ax+b=0 (a0) 3.我们知道了利用一元一次方程可以解决生活中的我们知道了利用一元一次方程可以解决生活中的 一些实际问题，你还记得利用一元一次方程解决实一些实际问题，你还记得利用一元一次方程解决实 际问题的步骤吗际问题的步骤吗? 1.审审;2.设设;3.列列;4.解解;5.验验;6.答答. 复习引入复习引入 问题问题1：某地为增加
2、农民收入，调整农作物种植结构，：某地为增加农民收入，调整农作物种植结构， 从而从而2007年无公害蔬菜的产量比年无公害蔬菜的产量比2005年翻一翻，那年翻一翻，那 么么2006年和年和2007年无公害蔬菜产量的年平均增长率年无公害蔬菜产量的年平均增长率 应是多少？应是多少？ 思考：思考： 1.根据以往的经验，你想用什么知识来解决这个实根据以往的经验，你想用什么知识来解决这个实 际问题？际问题？ 方程方程 合作探究合作探究 活动活动1 1：探究列一元二次方程及其一般形式：探究列一元二次方程及其一般形式 2.如图：如果假设无公害蔬菜产量的年平均增长率是如图：如果假设无公害蔬菜产量的年平均增长率是x
3、,2005年年 的产量为的产量为a，那么，那么2006年无公害蔬菜产量为年无公害蔬菜产量为 ， 2007年无公害蔬菜产量为年无公害蔬菜产量为 . a+ax=a(1+x) a(1+x)+a(1+x)x=a(1+x)2 3.你能根据题意，列出方程吗？你能根据题意，列出方程吗？ a(1+x)2=2a 把以上方程整理得：把以上方程整理得： . x2+2x-1=0 （1） 问题：问题： 在一块宽在一块宽20m、长、长32m的矩形空地上，修的矩形空地上，修 筑宽相等的三条小路（两条纵向，一条横向，纵向筑宽相等的三条小路（两条纵向，一条横向，纵向 与横向垂直），把矩形空地分成大小一样的六块，与横向垂直），把
4、矩形空地分成大小一样的六块， 建成小花坛建成小花坛.如图要使花坛的总面积为如图要使花坛的总面积为570m2，问小，问小 路的宽应为多少？路的宽应为多少？ 32 20 x 1.若设小路的宽是若设小路的宽是xm，那么，那么 横向小路的面横向小路的面_m2，纵，纵 向小路的面积是向小路的面积是 m2, 两者重叠的面积是两者重叠的面积是 m2. 32x 2. .由于花坛的总面积是由于花坛的总面积是570m2.你能根据题意，列出方程吗？你能根据题意，列出方程吗？ 整理以上方程可得：整理以上方程可得： 思考：思考： 220x 3220(32x220x)2x2=570 2x2 x2-36x35=0 （2）
5、32 20 x 还有其它的列法吗？试说明原因还有其它的列法吗？试说明原因. . (20-x)(32-2x)=570 32-2x 20-x 32 20 类比发现，探索新知类比发现，探索新知 1.请观察下面两个方程并回答问题：请观察下面两个方程并回答问题： x2+2x-1=0 x2-36x+35=0 （1）它们是一元一次方程吗？）它们是一元一次方程吗？ （2）与一元一次方程有何异同？）与一元一次方程有何异同？ （3）通过比较你能归纳出这类方程的特点吗？）通过比较你能归纳出这类方程的特点吗？ 1.等号两边都是整式等号两边都是整式 2.只含有一个未知数只含有一个未知数 3.未知数的最高次数是未知数的最
6、高次数是2 特点：特点： 能使一元二次方能使一元二次方 程两边相等的未程两边相等的未 知数的值叫一元知数的值叫一元 二次方程的二次方程的解解 ( (或根或根).). 一般地一般地,任何一个关于任何一个关于x 的一元二次方程都可以的一元二次方程都可以 化为化为 的形式的形式,我们把我们把 (a,b,c为常数，为常数，a0）称为）称为一元二次方程的一般形式一元二次方程的一般形式. 2 0axbxc 2 0axbxc 为什么要限制为什么要限制a0，b,c可以为零吗？可以为零吗？ 想一想想一想 a x 2 + b x + c = 0 (a 0) 二次项系数二次项系数 一次项系数一次项系数 （4）通过与
7、一元一次方程的对比，你能给这类方程取个合）通过与一元一次方程的对比，你能给这类方程取个合 理的名字吗？理的名字吗？ （1）列表填空：）列表填空： 方程方程 一般形式一般形式 二次项系数二次项系数 一次项系数一次项系数 常数项常数项 4x2=3x (x-1)2-9=0 x(x+2)=3(x+2 ) 4x2-3x=0 x2-2x-8=0 x2-x-6=0 4 -3 0 1 -2 -8 1 -1 -6 2.做一做：做一做： （2）下列方程中哪些是一元二次方程，并说明）下列方程中哪些是一元二次方程，并说明 理由？理由？ x+2=5x-3 x2=4 2x2-4=(x+2)2 ( (3) )方程（方程（2
8、a-4)x2-2bx+a=0在什么条件下为一在什么条件下为一 元二次方程？元二次方程？ 2 1 109000x x 通过以上习题的练习的情况，你认为在确定一元二次方程通过以上习题的练习的情况，你认为在确定一元二次方程 的各项系数及常数项的时候，需要注意哪些？的各项系数及常数项的时候，需要注意哪些？ （1）在确定一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常）在确定一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常 数项时必须把方程化为数项时必须把方程化为一般形式一般形式才能进行才能进行. （2）二次项系数、一次项系数以及常数项都要）二次项系数、一次项系数以及常数项都要连同连同它前面它前面 的的符号符号. （3
9、）二次项系数）二次项系数a0. 能使一元二次方程两边相等的未知数的值叫一元能使一元二次方程两边相等的未知数的值叫一元 二次方程二次方程的解的解(或根或根). 判断未知数的值判断未知数的值x= -1,x=0,x=2是不是方程是不是方程x2-2=x 的根的根. 活动活动2 2：探究一元二次方程的根：探究一元二次方程的根 1.判断下列各题括号内未知数的值是不是方程的根：判断下列各题括号内未知数的值是不是方程的根： x2-3x+2=0 (x1=1， x2=2 ，x3=3) 2.构造一个一元二次方程，要求：构造一个一元二次方程，要求： （1）常数项为零；（）常数项为零；（2）有一根为）有一根为2. 3.
10、已知关于已知关于x的一元二次方程的一元二次方程x2+ax+a=0的一个根是的一个根是3， 求求a的值的值. 解：由题意得解：由题意得 把把x=3代入方程代入方程x2+ax+a=0得，得， 32+3a+a=0 9+4a=0 9 4 a 4a=-9 4. 已知关于已知关于x的一元二次方程的一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a0)一个根为一个根为1, 求求a+b+c的值的值. 解：由题意得解：由题意得 2 110abc 0abc即即 思考思考:若若 a+b+c=0,你能通过观察你能通过观察,求出方程求出方程ax2+bx+c=0 (a0) 一个根吗一个根吗? 解：由题意得解：由题意得 2 110a
11、bc 即即 0abc 方程方程ax2+bx+c=0 (a0)一个根是一个根是1. 拓展拓展:若若 a-b +c=0,4a+2b +c=0 你能通过观察你能通过观察,求出方程求出方程 ax2+bx+c=0 (a0)一个根吗一个根吗? 课堂小结课堂小结 一般地一般地,任何一个关于任何一个关于x 的一元二次方程都可以的一元二次方程都可以 化为化为 的形式的形式,我们把我们把 (a,b,c为常数，为常数，a0）称为）称为一元二次方程的一般形式一元二次方程的一般形式. 2 0axbxc 2 0axbxc 能使一元二次方程两边相等的未知数的值叫一元二次方能使一元二次方程两边相等的未知数的值叫一元二次方 程程的解的解(或根或根).
