1、19.2 19.2 平行四边形平行四边形 第第4 4课时课时 三角形的中位线三角形的中位线 如图，如图，A、B两点被池塘隔开，现在要测量出两点被池塘隔开，现在要测量出A、B两点两点 间的距离，但又无法直接去测量，怎么办？这时，在间的距离，但又无法直接去测量，怎么办？这时，在A、B 外选一点外选一点C，连接，连接AC和和BC，并分别找出，并分别找出AC和和BC的中点的中点D、 E，如果能测量出，如果能测量出DE的长度，也就知道的长度，也就知道AB的距离了。这是的距离了。这是 什么道理呢？什么道理呢？ 情景引入情景引入 想一想，什想一想，什 么是三角形的么是三角形的 中线呢？中线呢？ A B C
2、D E 如图，在如图，在ABC中，中，D、E分别是分别是AB、AC的中点，的中点， 连接连接DE.则线段则线段DE就称为就称为ABC的的中位线中位线. 活动：探究三角形的中位线的定理及应用活动：探究三角形的中位线的定理及应用 合作探究合作探究 F 三角形的中位线和三角形的中位线和 三角形的中线一样三角形的中线一样 吗？吗？ 中位线中位线 A B C D E 中线中线 连接一连接一顶点顶点和它的和它的对边中点对边中点的线段的线段. . 三角形中位线三角形中位线 三角形三角形中位线中位线是连接三角是连接三角 形形两边中点两边中点的线段的线段 三角形中线三角形中线 (1)(1)一个三角形有几条中位线
3、？你能画出来吗？一个三角形有几条中位线？你能画出来吗？ A B C D E F 答：有三条，见图中中位线答：有三条，见图中中位线DE、 DF、EF. (2)请你猜想：三角形的中位线请你猜想：三角形的中位线 DE与与BC有什么样的位置关系有什么样的位置关系 和数量关系呢？和数量关系呢？ 猜想猜想 DE=1 2 BC,DE/BC 思考思考 已知：如图，已知：如图，D、E分别是分别是ABC的边的边AB、AC的的 中点，求证：中点，求证： 分析：分析：要证明线段的倍分关系，要证明线段的倍分关系， 可将可将DE加倍后证明与加倍后证明与BC相等相等.从而从而 转化为证明平行四边形的对边的关转化为证明平行四
4、边形的对边的关 系，系， 于是可作辅助线，利用全等三于是可作辅助线，利用全等三 角形来证明相应的边相等角形来证明相应的边相等. D E B C A DE=1 2 BC,DE/BC 证明：延长证明：延长DE至至F，使，使EF=DE，连接，连接FC、DC、AF. AE=CE， D E B C A F 四边形四边形DBCF是平行四边形是平行四边形. 1 . 2 DEBCDEBC, 四边形四边形ADCF是平行四边形，是平行四边形， CF/DA, CF/BD. 1 DE=DF, 2 又DF/BC E B C 有什么发现有什么发现 呢？呢？ 在在ABC中中 AD=BD，AE=CE 我们把连接三角形两边中点
5、的线段叫做三角形的我们把连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中中 位线位线. 三角形中位线定理：三角形中位线定理： 三角形的中位线三角形的中位线平行平行于三角形的第三边，且等于三角形的第三边，且等 于于第三边的一半第三边的一半. A B C D E 几何格式：几何格式： DEBC BC 2 1 DE 能测量出能测量出DE的长度，也就知道的长度，也就知道AB的距离了的距离了.这是什这是什 么道理呢？么道理呢？ 答：这是根据三角形答：这是根据三角形 中位线的性质定理中位线的性质定理. 例例1 如图，在如图，在ABC中，中，DE是中位线是中位线. （1）若）若ADE=60，则，则B= . （2）若）
6、若BC=8cm，则，则DE= cm. A B C D E （3）已知三角形三边分别为）已知三角形三边分别为4、6、8，则连，则连 接该三角形各边中点所得的三角形的周长接该三角形各边中点所得的三角形的周长 是是 . 6 0 4 9 A B C D E F 重要发现：重要发现： 中位线中位线DE、EF、DF把把ABC 分成四个全等的三角形；有三分成四个全等的三角形；有三 组共边的平行四边形，它们是组共边的平行四边形，它们是 四边形四边形ADFE和和BDEF，四边形，四边形 BFED和和CFDE，四边形，四边形ADFE 和和DFCE. 顶点是中点的三角形，我们称之为中点三角形；顶点是中点的三角形，我
7、们称之为中点三角形； 中点三角形的周长是原三角形的周长的一半中点三角形的周长是原三角形的周长的一半. . 例例2 （1）在）在ABC中，中，BD、CE分别是边分别是边AC，AB上的中线，上的中线， BD、CE相交于点相交于点O，H点点M、N分别是分别是OB、OC的中点，试的中点，试 猜想四边形猜想四边形DEMN是什么四边形？请加以证明是什么四边形？请加以证明. 解：四边形解：四边形DEMN是平行四边形是平行四边形. . 理由如下：理由如下： DE是是ABC的中位线的中位线 DE/BC，DE= = BC. . 1 2 MN是是OBC的中位线的中位线 MN/BC，MN= = BC. . 1 2 四
8、边形四边形DEMN是平行四边形是平行四边形. . DE/ MN ，DE= =MN. . 例例2 （2）上述条件不变，若）上述条件不变，若AO=4，BC=8，则四边，则四边 形形DEMN的周长是的周长是 . 提示提示 利用三角形中位线性质利用三角形中位线性质 定理可知定理可知EM=2，MN=4 12 三角形中位线是三角形中重要线段，它与三角形中线不同三角形中位线是三角形中重要线段，它与三角形中线不同. . 三角形中位线具体应用时，可视具体情况选用其中一个关三角形中位线具体应用时，可视具体情况选用其中一个关 系或两个关系系或两个关系. .熟悉三角形中位线基本图形，有时需要适当熟悉三角形中位线基本图形，有时需要适当 构造三角形中位线的条件是用好定理的条件构造三角形中位线的条件是用好定理的条件. . 三角形中位线定理：三角形中位线定理： 三角形的中位线三角形的中位线平行平行于三角形的第三边，且等于三角形的第三边，且等 于于第三边的一半第三边的一半. 课堂小结课堂小结
